Простые гармонические колебания - Simple harmonic motion

В механике и физике , простое гармоническое движение (иногда сокращенно ШМ ) представляет собой особый тип периодического движения , где возвращающая сила на движущийся объект прямо пропорциональна величине смещения объекта и действует в направлении положения равновесия объекта. Это приводит к колебанию , которые, если сдерживаются трением или любой другой диссипацией от энергии , продолжаются до бесконечности.

Простое гармоническое движение может служить математической моделью для множества движений, но типичным примером является колебание массы на пружине, когда на нее действует линейная упругая восстанавливающая сила, определяемая законом Гука . Движение является синусоидальным во времени и демонстрирует единственную резонансную частоту. Другие явления могут быть смоделированы простым гармоническим движением, включая движение простого маятника , хотя для того, чтобы это была точная модель, результирующая сила, действующая на объект на конце маятника, должна быть пропорциональна смещению (и даже в этом случае, это только хорошее приближение, когда угол поворота небольшой; см. приближение малых углов ). Простое гармоническое движение также можно использовать для моделирования молекулярных колебаний .

Простое гармоническое движение обеспечивает основу для характеристики более сложного периодического движения с помощью методов анализа Фурье .

Вступление

Движение частицы, движущейся по прямой линии с ускорением , направление которого всегда направлено к фиксированной точке на линии и величина которого пропорциональна расстоянию от фиксированной точки, называется простым гармоническим движением.

Простое гармоническое движение показано как в реальном, так и в фазовом пространстве . Орбита является периодической . (Здесь оси скорости и положения были перевернуты по сравнению со стандартным соглашением, чтобы выровнять две диаграммы)

На схеме показан простой гармонический осциллятор , состоящий из груза, прикрепленного к одному концу пружины. Другой конец пружины прикреплен к жесткой опоре, например к стене. Если систему оставить в состоянии покоя в положении равновесия, то на массу не будет действовать результирующая сила . Однако, если масса смещается из положения равновесия, пружина проявляет восстанавливающую силу упругости , подчиняющуюся закону Гука .

Математически восстанавливающая сила F определяется выражением

где F - восстанавливающая сила упругости, прилагаемая пружиной (в единицах СИ : Н ), k - жесткость пружины ( Н · м -1 ), а x - смещение из положения равновесия (м).

Для любого простого механического гармонического осциллятора:

  • Когда система смещается из положения равновесия, восстанавливающая сила, подчиняющаяся закону Гука, стремится вернуть систему в состояние равновесия.

Как только масса смещается из положения равновесия, она испытывает результирующую восстанавливающую силу. В результате он ускоряется и начинает возвращаться в положение равновесия. Когда масса приближается к положению равновесия, восстанавливающая сила уменьшается. В положении равновесия результирующая восстанавливающая сила исчезает. Однако при x = 0 масса имеет импульс из-за ускорения, передаваемого возвращающей силой. Таким образом, масса продолжает движение за положение равновесия, сжимая пружину. Затем результирующая восстанавливающая сила замедляет его, пока его скорость не достигнет нуля, после чего он снова ускоряется до положения равновесия.

Пока в системе нет потерь энергии , масса продолжает колебаться. Таким образом, простое гармоническое движение - это тип периодического движения. Если в системе теряется энергия, масса демонстрирует затухающие колебания .

Обратите внимание, если график реального пространства и фазового пространства не совпадает с линейной, движение фазового пространства становится эллиптическим. Ограниченная площадь зависит от амплитуды и максимального импульса.

Динамика

В механике Ньютона для одномерного простого гармонического движения, уравнения движения, которое является вторым порядком линейного обыкновенного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, может быть получено с помощью 2 - го закона Ньютона и закона Гук для массы на пружинах .

где m - инерционная масса колеблющегося тела, x - его смещение из положения равновесия (или среднего), а k - постоянная величина ( жесткость пружины для массы на пружине).

Следовательно,

Решение приведенного выше дифференциального уравнения дает решение, которое является синусоидальной функцией :

где Значение констант и можно легко найти: задав уравнение выше, мы видим, что , так что это начальное положение частицы ,; взяв производную этого уравнения и оценки в нуле, получаем , что , таким образом , что начальная скорость частицы , деленная на угловой частотой, . Таким образом, мы можем написать:

Это уравнение также можно записать в виде:

куда
или эквивалентно
В решении c 1 и c 2 - две константы, определяемые начальными условиями (в частности, начальное положение в момент времени t = 0 - c 1 , а начальная скорость - c 2 ω ), а начало координат установлено как положение равновесия. Каждая из этих констант несет физический смысл движения: A - амплитуда (максимальное смещение от положения равновесия), ω = 2 πf - угловая частота , φ - начальная фаза .

Используя методы исчисления , можно найти скорость и ускорение как функцию времени:

Скорость:
Максимальная скорость: v = ωA (в точке равновесия)
Максимальное ускорение: 2 (в крайних точках)

По определению, если масса m находится под действием SHM, ее ускорение прямо пропорционально смещению.

куда

Поскольку ω = 2 πf ,

и, поскольку T = 1/жгде T - период времени,

Эти уравнения демонстрируют, что простое гармоническое движение изохронно (период и частота не зависят от амплитуды и начальной фазы движения).

Энергия

Подставляя ω 2 наk/м, кинетическая энергия K системы в момент времени t равна

а потенциальная энергия равна
При отсутствии трения и других потерь энергии общая механическая энергия имеет постоянное значение

Примеры

Незатухающая система пружина-масса совершает простое гармоническое движение.

Следующие физические системы являются некоторыми примерами простого гармонического осциллятора .

Масса на пружине

Масса m, прикрепленная к пружине с жесткостью пружины k, демонстрирует простое гармоническое движение в замкнутом пространстве . Уравнение для описания периода

показывает, что период колебаний не зависит от амплитуды, хотя на практике амплитуда должна быть небольшой. Вышеприведенное уравнение также справедливо в случае, когда к массе прилагается дополнительная постоянная сила, т.е. дополнительная постоянная сила не может изменить период колебаний.

Равномерное круговое движение

Простое гармоническое движение можно рассматривать одномерную проекцию из равномерного кругового движения . Если объект движется с угловой скоростью со вокруг окружности радиуса г с центром в начале координат в ху плоскости, то его движение по каждой координате просто гармоническое движение с амплитудой г и угловой частотой со .

Колебательное движение

Это движение тела, когда оно движется взад и вперед вокруг определенной точки. Этот тип движения также называется колебательным движением или колебательным движением.

Масса простого маятника

Движение незатухающего маятника приближается к простому гармоническому движению, если колебания малы.

В малоугловом приближении движение простого маятника аппроксимируется простым гармоническим движением. Период массы, прикрепленной к маятнику длиной l с ускорением свободного падения , определяется выражением

Это показывает, что период колебаний не зависит от амплитуды и массы маятника, но не от ускорения свободного падения , поэтому маятник такой же длины на Луне будет качаться медленнее из-за более низкой напряженности гравитационного поля Луны. Поскольку значение немного варьируется по поверхности земли, период времени будет немного отличаться от места к месту, а также будет изменяться в зависимости от высоты над уровнем моря.

Это приближение является точным только для малых углов, поскольку выражение для углового ускорения α пропорционально синусу угла смещения:

где I - момент инерции . Когда θ мало, sin  θθ, и поэтому выражение становится
что делает угловое ускорение прямо пропорциональным θ , удовлетворяя определению простого гармонического движения.

Скотч-кокетка

Механизм скотча может использоваться для преобразования между вращательным движением и линейным возвратно-поступательным движением. Линейное движение может принимать различные формы в зависимости от формы паза, но базовая вилка с постоянной скоростью вращения производит линейное движение, которое имеет простую гармоническую форму.

Скотч-кокетка анимация

Смотрите также

Примечания

  1. ^
    Выбор использования косинуса в этом уравнении является условным. Другие допустимые составы:

    куда
    поскольку cos θ = sin (π/2- θ ) .
  2. ^
    Максимальное смещение (то есть, амплитуда), х макс , происходит тогда , когда соз ( ωt ± ф ) = 1 , и , таким образом , когда х макс = .


использованная литература

  1. ^ "Простое гармоническое движение - концепции" .
  • Fowles, Grant R .; Кэссидей, Джордж Л. (2005). Аналитическая механика (7-е изд.). Томсон Брукс / Коул. ISBN 0-534-49492-7.
  • Тейлор, Джон Р. (2005). Классическая механика . Книги университетских наук. ISBN 1-891389-22-X.
  • Торнтон, Стивен Т .; Мэрион, Джерри Б. (2003). Классическая динамика частиц и систем (5-е изд.). Брукс Коул. ISBN 0-534-40896-6.
  • Уокер, Джерл (2011). Принципы физики (9-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: Wiley. ISBN 978-0-470-56158-4.

внешние ссылки