Простые гармонические колебания - Simple harmonic motion
Часть серии по |
Классическая механика |
---|
В механике и физике , простое гармоническое движение (иногда сокращенно ШМ ) представляет собой особый тип периодического движения , где возвращающая сила на движущийся объект прямо пропорциональна величине смещения объекта и действует в направлении положения равновесия объекта. Это приводит к колебанию , которые, если сдерживаются трением или любой другой диссипацией от энергии , продолжаются до бесконечности.
Простое гармоническое движение может служить математической моделью для множества движений, но типичным примером является колебание массы на пружине, когда на нее действует линейная упругая восстанавливающая сила, определяемая законом Гука . Движение является синусоидальным во времени и демонстрирует единственную резонансную частоту. Другие явления могут быть смоделированы простым гармоническим движением, включая движение простого маятника , хотя для того, чтобы это была точная модель, результирующая сила, действующая на объект на конце маятника, должна быть пропорциональна смещению (и даже в этом случае, это только хорошее приближение, когда угол поворота небольшой; см. приближение малых углов ). Простое гармоническое движение также можно использовать для моделирования молекулярных колебаний .
Простое гармоническое движение обеспечивает основу для характеристики более сложного периодического движения с помощью методов анализа Фурье .
Вступление
Движение частицы, движущейся по прямой линии с ускорением , направление которого всегда направлено к фиксированной точке на линии и величина которого пропорциональна расстоянию от фиксированной точки, называется простым гармоническим движением.
На схеме показан простой гармонический осциллятор , состоящий из груза, прикрепленного к одному концу пружины. Другой конец пружины прикреплен к жесткой опоре, например к стене. Если систему оставить в состоянии покоя в положении равновесия, то на массу не будет действовать результирующая сила . Однако, если масса смещается из положения равновесия, пружина проявляет восстанавливающую силу упругости , подчиняющуюся закону Гука .
Математически восстанавливающая сила F определяется выражением
Для любого простого механического гармонического осциллятора:
- Когда система смещается из положения равновесия, восстанавливающая сила, подчиняющаяся закону Гука, стремится вернуть систему в состояние равновесия.
Как только масса смещается из положения равновесия, она испытывает результирующую восстанавливающую силу. В результате он ускоряется и начинает возвращаться в положение равновесия. Когда масса приближается к положению равновесия, восстанавливающая сила уменьшается. В положении равновесия результирующая восстанавливающая сила исчезает. Однако при x = 0 масса имеет импульс из-за ускорения, передаваемого возвращающей силой. Таким образом, масса продолжает движение за положение равновесия, сжимая пружину. Затем результирующая восстанавливающая сила замедляет его, пока его скорость не достигнет нуля, после чего он снова ускоряется до положения равновесия.
Пока в системе нет потерь энергии , масса продолжает колебаться. Таким образом, простое гармоническое движение - это тип периодического движения. Если в системе теряется энергия, масса демонстрирует затухающие колебания .
Обратите внимание, если график реального пространства и фазового пространства не совпадает с линейной, движение фазового пространства становится эллиптическим. Ограниченная площадь зависит от амплитуды и максимального импульса.
Динамика
В механике Ньютона для одномерного простого гармонического движения, уравнения движения, которое является вторым порядком линейного обыкновенного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, может быть получено с помощью 2 - го закона Ньютона и закона Гук для массы на пружинах .
Следовательно,
Решение приведенного выше дифференциального уравнения дает решение, которое является синусоидальной функцией :
Это уравнение также можно записать в виде:
Используя методы исчисления , можно найти скорость и ускорение как функцию времени:
По определению, если масса m находится под действием SHM, ее ускорение прямо пропорционально смещению.
Поскольку ω = 2 πf ,
и, поскольку T = 1/жгде T - период времени,
Эти уравнения демонстрируют, что простое гармоническое движение изохронно (период и частота не зависят от амплитуды и начальной фазы движения).
Энергия
Подставляя ω 2 наk/м, кинетическая энергия K системы в момент времени t равна
Примеры
Следующие физические системы являются некоторыми примерами простого гармонического осциллятора .
Масса на пружине
Масса m, прикрепленная к пружине с жесткостью пружины k, демонстрирует простое гармоническое движение в замкнутом пространстве . Уравнение для описания периода
Равномерное круговое движение
Простое гармоническое движение можно рассматривать одномерную проекцию из равномерного кругового движения . Если объект движется с угловой скоростью со вокруг окружности радиуса г с центром в начале координат в ху плоскости, то его движение по каждой координате просто гармоническое движение с амплитудой г и угловой частотой со .
Колебательное движение
Это движение тела, когда оно движется взад и вперед вокруг определенной точки. Этот тип движения также называется колебательным движением или колебательным движением.
Масса простого маятника
В малоугловом приближении движение простого маятника аппроксимируется простым гармоническим движением. Период массы, прикрепленной к маятнику длиной l с ускорением свободного падения , определяется выражением
Это показывает, что период колебаний не зависит от амплитуды и массы маятника, но не от ускорения свободного падения , поэтому маятник такой же длины на Луне будет качаться медленнее из-за более низкой напряженности гравитационного поля Луны. Поскольку значение немного варьируется по поверхности земли, период времени будет немного отличаться от места к месту, а также будет изменяться в зависимости от высоты над уровнем моря.
Это приближение является точным только для малых углов, поскольку выражение для углового ускорения α пропорционально синусу угла смещения:
Скотч-кокетка
Механизм скотча может использоваться для преобразования между вращательным движением и линейным возвратно-поступательным движением. Линейное движение может принимать различные формы в зависимости от формы паза, но базовая вилка с постоянной скоростью вращения производит линейное движение, которое имеет простую гармоническую форму.
Смотрите также
Примечания
использованная литература
- Fowles, Grant R .; Кэссидей, Джордж Л. (2005). Аналитическая механика (7-е изд.). Томсон Брукс / Коул. ISBN 0-534-49492-7.
- Тейлор, Джон Р. (2005). Классическая механика . Книги университетских наук. ISBN 1-891389-22-X.
- Торнтон, Стивен Т .; Мэрион, Джерри Б. (2003). Классическая динамика частиц и систем (5-е изд.). Брукс Коул. ISBN 0-534-40896-6.
- Уокер, Джерл (2011). Принципы физики (9-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: Wiley. ISBN 978-0-470-56158-4.