Соболевское пространство - Sobolev space

В математике , А пространство Соболева является векторное пространство функций оснащен нормой , которая является комбинацией L ^р -нормы функции вместе со своими производными до заданного порядка. Производные понимаются в подходящем слабом смысле, чтобы сделать пространство полным , т. Е. Банаховым пространством . Интуитивно пространство Соболева - это пространство функций, обладающих достаточным количеством производных для некоторой области применения, например уравнений в частных производных , и снабженное нормой, которая измеряет как размер, так и регулярность функции.

Пространства Соболева названы в честь русского математика Сергея Соболева . Их важность проистекает из того факта, что слабые решения некоторых важных дифференциальных уравнений в частных производных существуют в подходящих пространствах Соболева, даже если нет сильных решений в пространствах непрерывных функций с производными, понимаемыми в классическом смысле.

Мотивация

В этом разделе и на протяжении всей статьи является открытым подмножеством из${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}.}$

Есть много критериев гладкости математических функций . Самым основным критерием может быть преемственность . Более сильное понятие гладкости - это понятие дифференцируемости (поскольку дифференцируемые функции также непрерывны), а еще более сильное понятие гладкости состоит в том, что производная также является непрерывной (эти функции называются классическими - см. Классы дифференцируемости ). Дифференцируемые функции важны во многих областях, в частности для дифференциальных уравнений . Однако в двадцатом веке было замечено, что пространство (или и т. Д.) Не совсем подходящее место для изучения решений дифференциальных уравнений. Пространства Соболева являются современной заменой этих пространств, в которых можно искать решения уравнений в частных производных. ${\ displaystyle C ^ {1}}$${\ displaystyle C ^ {1}}$${\ displaystyle C ^ {2}}$

Величины или свойства базовой модели дифференциального уравнения обычно выражаются в терминах интегральных норм, а не единой нормы . Типичный пример - измерение энергии распределения температуры или скорости с помощью -нормы. Поэтому важно разработать инструмент для дифференцирования функций пространства Лебега . ${\ displaystyle L ^ {2}}$

Формула интегрирования по частям дает, что для каждого , где - натуральное число , и для всех бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем${\ Displaystyle и \ в С ^ {к} (\ Омега)}$${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle \ varphi \ in C_ {c} ^ {\ infty} (\ Omega),}$

${\ Displaystyle \ int _ {\ Omega} и \, D ^ {\ альфа \!} \ varphi \, dx = (- 1) ^ {| \ alpha |} \ int _ {\ Omega} \ varphi \, D ^ {\ alpha \!} и \, dx,}$

где - мультииндекс порядка, и мы используем обозначение: ${\ displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle | \ альфа | = к}$

${\ displaystyle D ^ {\ alpha \!} f = {\ frac {\ partial ^ {| \ alpha |} \! f} {\ partial x_ {1} ^ {\ alpha _ {1}} \ dots \ partial x_ {n} ^ {\ alpha _ {n}}}}.}$

Левая часть этого уравнения все еще имеет смысл, если мы только предполагаем, что она локально интегрируема . Если существует локально интегрируемая функция такая, что ${\ displaystyle u}$${\ displaystyle v}$

${\ displaystyle \ int _ {\ Omega} u \, D ^ {\ alpha \!} \ varphi \; dx = (- 1) ^ {| \ alpha |} \ int _ {\ Omega} v \, \ varphi \; dx \ qquad {\ text {для всех}} \ varphi \ in C_ {c} ^ {\ infty} (\ Omega),}$

то мы называем на слабом ие частные производные от . Если существует слабая -я частная производная от , то она определяется почти всюду однозначно и, таким образом, однозначно определяется как элемент пространства Лебега . С другой стороны, если , то классическая и слабая производная совпадают. Таким образом, если - слабая -я частная производная от , мы можем обозначать ее через . ${\ displaystyle v}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle u}$${\ Displaystyle и \ в С ^ {к} (\ Омега)}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle D ^ {\ alpha} u: = v}$

Например, функция

${\ displaystyle u (x) = {\ begin {cases} 1 + x & -1 <x <0 \\ 10 & x = 0 \\ 1-x & 0 <x <1 \\ 0 & {\ text {else}} \ end { случаи}}}$

не непрерывна в нуле и не дифференцируема в -1, 0 или 1. Однако функция

${\ displaystyle v (x) = {\ begin {cases} 1 & -1 <x <0 \\ - 1 & 0 <x <1 \\ 0 & {\ text {else}} \ end {cases}}}$

удовлетворяет определению как слабая производная, которая затем квалифицируется как находящаяся в пространстве Соболева (для любых разрешенных , см. определение ниже). ${\ Displaystyle и (х),}$${\ displaystyle W ^ {1, p}}$${\ displaystyle p}$

Пространства Соболева объединяют понятия слабой дифференцируемости и норм Лебега . ${\ Displaystyle W ^ {к, p} (\ Omega)}$

Соболевские пространства с целым k

Одномерный случай

В одномерном случае пространство Соболева для определяется как подмножество функций в таких, что и его слабые производные до порядка имеют конечную норму L ^p . Как упоминалось выше, необходимо проявлять осторожность при определении производных в правильном смысле. В одномерной задаче достаточно предположить, что -я производная дифференцируема почти всюду и почти всюду равна интегралу Лебега от своей производной (это исключает нерелевантные примеры, такие как функция Кантора ). ${\ Displaystyle W ^ {к, p} (\ mathbb {R})}$${\ displaystyle 1 \ leq p \ leq \ infty}$${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle L ^ {p} (\ mathbb {R})}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle (к {-} 1)}$${\ displaystyle f ^ {(k-1)}}$

При таком определении пространства Соболева допускают естественную норму :

${\ Displaystyle \ | е \ | _ {к, р} = \ влево (\ сумма _ {я = 0} ^ {k} \ влево \ | е ^ {(я)} \ вправо \ | _ {р} ^ {p} \ right) ^ {\ frac {1} {p}} = \ left (\ sum _ {i = 0} ^ {k} \ int \ left | f ^ {(i)} (t) \ right | ^ {p} \, dt \ right) ^ {\ frac {1} {p}}.}$

Это можно распространить на случай , при этом норма определяется с помощью существенной супремума формулой ${\ displaystyle p = \ infty}$

${\ Displaystyle \ | е \ | _ {к, \ infty} = \ max _ {я = 0, \ ldots, k} \ left \ | f ^ {(i)} \ right \ | _ {\ infty} = \ max _ {i = 0, \ ldots, k} \ left ({\ text {ess}} \, \ sup _ {t} \ left | f ^ {(i)} (t) \ right | \ right) .}$

Оборудованный нормой становится банаховым пространством . Оказывается, достаточно взять только первое и последнее в последовательности, т. Е. Норму, определяемую ${\ Displaystyle \ | \ cdot \ | _ {k, p}, W ^ {k, p}}$

${\ displaystyle \ left \ | f ^ {(k)} \ right \ | _ {p} + \ | f \ | _ {p}}$

эквивалентно указанной выше норме (т. е. индуцированные топологии норм одинаковы).

Случай p = 2

Пространства Соболева с p = 2 особенно важны из-за их связи с рядами Фурье и потому, что они образуют гильбертово пространство . Для этого случая возникли специальные обозначения, поскольку пространство является гильбертовым:

${\ displaystyle H ^ {k} = W ^ {k, 2}.}$

Пространство можно естественным образом определить в терминах ряда Фурье , коэффициенты которого убывают достаточно быстро, а именно: ${\ displaystyle H ^ {k}}$

${\ Displaystyle Н ^ {К} (\ mathbb {T}) = \ влево \ {е \ в L ^ {2} (\ mathbb {T}): \ sum _ {п = - \ infty} ^ {\ infty } \ left (1 + n ^ {2} + n ^ {4} + \ dots + n ^ {2k} \ right) \ left | {\ widehat {f}} (n) \ right | ^ {2} < \ infty \ right \}}$

где - ряд Фурье и обозначает 1-тор. Как и выше, можно использовать эквивалентную норму ${\ displaystyle {\ widehat {f}}}$${\ displaystyle f,}$${\ Displaystyle \ mathbb {T}}$

${\ Displaystyle \ | е \ | _ {к, 2} ^ {2} = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ left (1+ | n | ^ {2} \ right) ^ {k} \ left | {\ widehat {f}} (n) \ right | ^ {2}.}$

Оба представления легко следуют из теоремы Парсеваля и того факта, что дифференцирование эквивалентно умножению коэффициента Фурье на in .

Кроме того, пространство допускает внутренний продукт , как и пространство. Фактически, внутренний продукт определяется в терминах внутреннего продукта: ${\ displaystyle H ^ {k}}$${\ displaystyle H ^ {0} = L ^ {2}.}$${\ displaystyle H ^ {k}}$${\ displaystyle L ^ {2}}$

${\ displaystyle \ langle u, v \ rangle _ {H ^ {k}} = \ sum _ {i = 0} ^ {k} \ left \ langle D ^ {i} u, D ^ {i} v \ right \ rangle _ {L ^ {2}}.}$

Пространство становится гильбертовым пространством с этим внутренним продуктом. ${\ displaystyle H ^ {k}}$

Другие примеры

В одном измерении некоторые другие пространства Соболева допускают более простое описание. Например, это пространство абсолютно непрерывных функций на (0, 1) (или , точнее, классы эквивалентности функций, равных почти везде такие), в то время как это пространство функций Липшица на I , для каждого интервала I . Однако эти свойства потеряны или не так просты для функций более чем одной переменной. ${\ Displaystyle W ^ {1,1} (0,1)}$${\ Displaystyle W ^ {1, \ infty} (I)}$

Все пространства являются (нормированной) алгеброй , то есть произведение двух элементов еще раз функция этого пространства Соболева, которая не относится к (например, функции ведут себя как | х | ^-1/3 в начале координат в но произведения двух таких функций нет в ). ${\ Displaystyle W ^ {к, \ infty}}$${\ displaystyle p <\ infty.}$${\ displaystyle L ^ {2},}$${\ displaystyle L ^ {2}}$

Многомерный случай

Переход к множественным измерениям приносит больше трудностей, начиная с самого определения. Требование быть интегралом от не является обобщением, и самое простое решение - рассматривать производные в смысле теории распределения . ${\ displaystyle f ^ {(k-1)}}$${\ displaystyle f ^ {(k)}}$

Теперь следует формальное определение. Пусть пространство Соболева определяется как множество всех функций на таких, что для каждого мультииндекса со смешанной частной производной${\ displaystyle k \ in \ mathbb {N}, 1 \ leqslant p \ leqslant \ infty.}$${\ Displaystyle W ^ {к, p} (\ Omega)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle | \ альфа | \ leqslant k,}$

${\ displaystyle f ^ {(\ alpha)} = {\ frac {\ partial ^ {| \ alpha | \!} f} {\ partial x_ {1} ^ {\ alpha _ {1}} \ dots \ partial x_ {n} ^ {\ alpha _ {n}}}}}$

существует в слабом смысле и находится в ie ${\ Displaystyle L ^ {p} (\ Omega),}$

${\ displaystyle \ left \ | f ^ {(\ alpha)} \ right \ | _ {L ^ {p}} <\ infty.}$

То есть пространство Соболева определяется как ${\ Displaystyle W ^ {к, p} (\ Omega)}$

${\ Displaystyle W ^ {к, p} (\ Omega) = \ left \ {u \ in L ^ {p} (\ Omega): D ^ {\ alpha} u \ in L ^ {p} (\ Omega) \, \, \ forall | \ alpha | \ leqslant k \ right \}.}$

Натуральное число называется порядком пространства Соболева${\ displaystyle k}$${\ displaystyle W ^ {k, p} (\ Omega).}$

Существует несколько вариантов нормы для следующих двух норм являются общими и эквивалентными в смысле эквивалентности норм : ${\ displaystyle W ^ {k, p} (\ Omega).}$

${\ Displaystyle \ | U \ | _ {W ^ {k, p} (\ Omega)}: = {\ begin {case} \ left (\ sum _ {| \ alpha | \ leqslant k} \ left \ | D ^ {\ alpha} u \ right \ | _ {L ^ {p} (\ Omega)} ^ {p} \ right) ^ {\ frac {1} {p}} & 1 \ leqslant p <\ infty; \\ \ max _ {| \ alpha | \ leqslant k} \ left \ | D ^ {\ alpha} u \ right \ | _ {L ^ {\ infty} (\ Omega)} & p = \ infty; \ end {case} }}$

а также

${\ displaystyle \ | u \ | '_ {W ^ {k, p} (\ Omega)}: = {\ begin {case} \ sum _ {| \ alpha | \ leqslant k} \ left \ | D ^ { \ alpha} u \ right \ | _ {L ^ {p} (\ Omega)} & 1 \ leqslant p <\ infty; \\\ sum _ {| \ alpha | \ leqslant k} \ left \ | D ^ {\ alpha} u \ right \ | _ {L ^ {\ infty} (\ Omega)} & p = \ infty. \ end {case}}}$

Относительно любой из этих норм - банахово пространство. Ибо - это тоже отделимое пространство . Обычно обозначают через, поскольку это гильбертово пространство с нормой . ${\ Displaystyle W ^ {к, p} (\ Omega)}$${\ Displaystyle р <\ infty, W ^ {k, p} (\ Omega)}$${\ Displaystyle W ^ {к, 2} (\ Omega)}$${\ Displaystyle Н ^ {к} (\ Омега)}$${\ Displaystyle \ | \ cdot \ | _ {W ^ {k, 2} (\ Omega)}}$

Приближение гладкими функциями

Работать с пространствами Соболева, опираясь только на их определение, довольно сложно. Поэтому интересно знать, что по теореме Мейерса – Серрина функция может быть аппроксимирована гладкими функциями . Этот факт часто позволяет нам переводить свойства гладких функций в функции Соболева. Если конечно и открыто, то для любой аппроксимирующей последовательности функций существует такая, что: ${\ Displaystyle и \ в W ^ {k, p} (\ Omega)}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle и \ в W ^ {k, p} (\ Omega)}$${\ Displaystyle и_ {м} \ в C ^ {\ infty} (\ Omega)}$

${\ displaystyle \ left \ | u_ {m} -u \ right \ | _ {W ^ {k, p} (\ Omega)} \ до 0.}$

Если есть Липшица граница , мы можем даже предположить , что это ограничение гладких функций с компактным носителем на все${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle u_ {m}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}.}$

Примеры

В более высоких измерениях уже неверно, например, что он содержит только непрерывные функции. Например, где находится единичный шар в трех измерениях. При k > n / p пространство будет содержать только непрерывные функции, но для которых k это уже верно, зависит как от p, так и от размерности. Например, как легко проверить, используя сферические полярные координаты для функции, определенной на n- мерном шаре, мы имеем: ${\ displaystyle W ^ {1,1}}$${\ Displaystyle | х | ^ {- 1} \ в W ^ {1,1} (\ mathbb {B} ^ {3})}$${\ Displaystyle \ mathbb {B} ^ {3}}$${\ Displaystyle W ^ {к, p} (\ Omega)}$${\ displaystyle f: \ mathbb {B} ^ {n} \ to \ mathbb {R} \ чашка \ {\ infty \}}$

${\ displaystyle f (x) = | x | ^ {- \ alpha} \ in W ^ {k, p} (\ mathbb {B} ^ {n}) \ Longleftrightarrow \ alpha <{\ tfrac {n} {p }} - k.}$

Интуитивно понятно, что раздутие f при 0 «считается меньшим», когда n велико, поскольку единичный шар имеет «больше снаружи и меньше внутри» в более высоких измерениях.

Абсолютно непрерывная на линиях (ACL) характеризация соболевских функций

Пусть если функция находится внутри, то, возможно, после изменения функции на множестве нулевой меры, ограничение на почти каждую линию, параллельную координатным направлениям в, является абсолютно непрерывным ; более того, классическая производная вдоль линий, которые параллельны координатных направлений в Наоборот, если ограничение на почти каждую линию , параллельные координатных направления абсолютно непрерывно, то градиент точечно существует почти всюду , и в предусмотренном In в частности, в этом случае почти всюду совпадают слабые частные производные от и поточечные частные производные от . ACL-характеризация пространств Соболева была установлена Отто М. Никодимом ( 1933 ); см. ( Мазья 2011 , §1.1.3). ${\ Displaystyle 1 \ leqslant p \ leqslant \ infty.}$${\ Displaystyle W ^ {1, p} (\ Omega),}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ displaystyle L ^ {p} (\ Omega).}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ nabla f}$${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle W ^ {1, p} (\ Omega)}$${\ displaystyle f, | \ nabla f | \ in L ^ {p} (\ Omega).}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$

Более сильный результат имеет место, когда функция в после модификации на множестве нулевой меры является непрерывной по Гёльдеру экспоненты по неравенству Морри . В частности, если и имеет липшицеву границу, то функция липшицева . ${\ Displaystyle p> п.}$${\ Displaystyle W ^ {1, p} (\ Omega)}$${\ displaystyle \ gamma = 1 - {\ tfrac {n} {p}},}$${\ displaystyle p = \ infty}$${\ displaystyle \ Omega}$

Функции, исчезающие на границе

Пространство Соболева также обозначается как Это гильбертово пространство с важным подпространством, определяемым как замыкание бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем в в . Норма Соболева, определенная выше, сводится здесь к ${\ Displaystyle W ^ {1,2} (\ Omega)}$${\ displaystyle H ^ {1} \! (\ Omega).}$${\ displaystyle H_ {0} ^ {1} \! (\ Omega)}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle H ^ {1} \! (\ Omega).}$

${\ Displaystyle \ | е \ | _ {H ^ {1}} = \ left (\ int _ {\ Omega} \! | f | ^ {2} \! + \! | \ nabla \! f | ^ { 2} \ right) ^ {\! {\ Frac {1} {2}}}.}$

Когда имеет регулярную границу, можно описать как пространство функций в нуль на границе в смысле следов ( см. Ниже ). Когда если - ограниченный интервал, то состоит из непрерывных функций на вида ${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle H_ {0} ^ {1} \! (\ Omega)}$${\ Displaystyle Н ^ {1} \! (\ Омега)}$${\ Displaystyle п = 1,}$${\ Displaystyle \ Omega = (а, Ь)}$${\ displaystyle H_ {0} ^ {1} (а, б)}$${\ Displaystyle [а, б]}$

${\ Displaystyle е (х) = \ int _ {a} ^ {x} f '(t) \, \ mathrm {d} t, \ qquad x \ in [a, b]}$

где обобщенная производная равна нулю и имеет интеграл 0, так что${\ displaystyle f '}$${\ Displaystyle L ^ {2} (а, б)}$${\ Displaystyle f (b) = f (a) = 0.}$

Когда ограничено, неравенство Пуанкаре утверждает, что существует такая константа , что: ${\ displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle С = С (\ Омега)}$

${\ Displaystyle \ int _ {\ Omega} | е | ^ {2} \ leqslant C ^ {2} \ int _ {\ Omega} | \ nabla f | ^ {2}, \ qquad f \ in H_ {0} ^ {1} (\ Omega).}$

Когда ограничена, впрыскивание из к является компактным . Этот факт играет важную роль в изучении задачи Дирихле , а в том , что существует ортонормированный базис в состоящий из собственных векторов оператора Лапласа (с граничными условиями Дирихле ). ${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle H_ {0} ^ {1} \! (\ Omega)}$${\ Displaystyle L ^ {2} \! (\ Omega),}$${\ Displaystyle L ^ {2} (\ Omega)}$

Следы

Пространства Соболева часто рассматриваются при исследовании уравнений в частных производных. Важно учитывать граничные значения соболевских функций. Если эти граничные значения описываются ограничением . Однако неясно, как описывать значения на границе для , поскольку n- мерная мера границы равна нулю. Следующая теорема решает проблему: ${\ Displaystyle и \ в С (\ Омега)}$${\ displaystyle u | _ {\ partial \ Omega}}$${\ Displaystyle и \ в W ^ {k, p} (\ Omega)}$

Теорема о следе. Предположим, что Ω ограничена с липшицевой границей . Тогда существует ограниченный линейный оператор такой, что ${\ Displaystyle T: W ^ {1, p} (\ Omega) \ к L ^ {p} (\ partial \ Omega)}$

${\ displaystyle {\ begin {align} Tu & = u | _ {\ partial \ Omega} && u \ in W ^ {1, p} (\ Omega) \ cap C ({\ overline {\ Omega}}) \\\ | Tu \ | _ {L ^ {p} (\ partial \ Omega)} & \ leqslant c (p, \ Omega) \ | u \ | _ {W ^ {1, p} (\ Omega)} && u \ in W ^ {1, p} (\ Omega). \ End {выравнивается}}}$

Ту называется следом u . Грубо говоря, эта теорема распространяет оператор ограничения на пространство Соболева для корректного Ω. Отметим, что оператор следа T, вообще говоря, не сюръективен, но при 1 < p <∞ он непрерывно отображается на пространство Соболева-Слободецкого${\ Displaystyle W ^ {1, p} (\ Omega)}$ ${\ displaystyle W ^ {1 - {\ frac {1} {p}}, p} (\ partial \ Omega).}$

Интуитивно понятно, что взятие трассировки стоит 1 / p производной. Функции u из W ^{1, p} (Ω) с нулевым следом, т.е. Tu  = 0, можно охарактеризовать равенством

${\ Displaystyle W_ {0} ^ {1, p} (\ Omega) = \ left \ {u \ in W ^ {1, p} (\ Omega): Tu = 0 \ right \},}$

куда

${\ Displaystyle W_ {0} ^ {1, p} (\ Omega): = \ left \ {u \ in W ^ {1, p} (\ Omega): \ exists \ {u_ {m} \} _ { m = 1} ^ {\ infty} \ subset C_ {c} ^ {\ infty} (\ Omega), \ {\ text {такой, что}} \ u_ {m} \ to u \ {\ textrm {in}} \ W ^ {1, p} (\ Omega) \ right \}.}$

Другими словами, для Ω, ограниченной с липшицевой границей, функции с нулевым следом в in могут быть аппроксимированы гладкими функциями с компактным носителем. ${\ Displaystyle W ^ {1, p} (\ Omega)}$

Соболевские пространства с нецелым k

Бесселевские потенциальные пространства

Для натурального числа k и 1 < p <∞ можно показать (используя множители Фурье ), что пространство может быть эквивалентно определено как ${\ Displaystyle W ^ {к, p} (\ mathbb {R} ^ {n})}$

${\ displaystyle W ^ {k, p} (\ mathbb {R} ^ {n}) = H ^ {k, p} (\ mathbb {R} ^ {n}): = \ left \ {f \ in L ^ {p} (\ mathbb {R} ^ {n}): {\ mathcal {F}} ^ {- 1} \ left [(1+ | \ xi | ^ {2}) ^ {\ frac {k} {2}} {\ mathcal {F}} f \ right] \ in L ^ {p} (\ mathbb {R} ^ {n}) \ right \},}$

с нормой

${\ displaystyle \ | е \ | _ {H ^ {k, p} (\ mathbb {R} ^ {n})}: = \ left \ | {\ mathcal {F}} ^ {- 1} \ left [ \ left (1+ | \ xi | ^ {2} \ right) ^ {\ frac {k} {2}} {\ mathcal {F}} f \ right] \ right \ | _ {L ^ {p} ( \ mathbb {R} ^ {n})}.}$

Это мотивирует пространства Соболева с нецелым порядком, поскольку в приведенном выше определении мы можем заменить k любым действительным числом s . Полученные пространства

${\ displaystyle H ^ {s, p} (\ mathbb {R} ^ {n}): = \ left \ {f \ in {\ mathcal {S}} '(\ mathbb {R} ^ {n}): {\ mathcal {F}} ^ {- 1} \ left [\ left (1+ | \ xi | ^ {2} \ right) ^ {\ frac {s} {2}} {\ mathcal {F}} f \ right] \ in L ^ {p} (\ mathbb {R} ^ {n}) \ right \}}$

называются потенциальными пространствами Бесселя (названы в честь Фридриха Бесселя ). Это банаховы пространства в общем и гильбертовы пространства в частном случае p = 2.

For - множество ограничений функций из в Ω, снабженное нормой ${\ displaystyle s \ geq 0, H ^ {s, p} (\ Omega)}$${\ Displaystyle H ^ {s, p} (\ mathbb {R} ^ {n})}$

${\ Displaystyle \ | е \ | _ {H ^ {s, p} (\ Omega)}: = \ inf \ left \ {\ | g \ | _ {H ^ {s, p} (\ mathbb {R} ^ {n})}: g \ in H ^ {s, p} (\ mathbb {R} ^ {n}), g | _ {\ Omega} = f \ right \}}$.

Снова H ^{s, p} (Ω) - банахово пространство, а в случае p = 2 - гильбертово пространство.

Используя теоремы о расширении для пространств Соболева, можно показать, что W ^{k, p} (Ω) = H ^{k, p} (Ω) также выполняется в смысле эквивалентных норм, если Ω - область с равномерной C ^k- границей, k - естественная число и 1 <p <∞ . По вложениям

${\ displaystyle H ^ {k + 1, p} (\ mathbb {R} ^ {n}) \ hookrightarrow H ^ {s ', p} (\ mathbb {R} ^ {n}) \ hookrightarrow H ^ {s , p} (\ mathbb {R} ^ {n}) \ hookrightarrow H ^ {k, p} (\ mathbb {R} ^ {n}), \ quad k \ leqslant s \ leqslant s '\ leqslant k + 1 }$

потенциальные пространства Бесселя образуют непрерывную шкалу между пространствами Соболева С абстрактной точки зрения потенциальные пространства Бесселя возникают как комплексные интерполяционные пространства пространств Соболева, т. е. в смысле эквивалентных норм выполняется ${\ Displaystyle H ^ {s, p} (\ mathbb {R} ^ {n})}$${\ displaystyle W ^ {k, p} (\ mathbb {R} ^ {n}).}$

${\ displaystyle \ left [W ^ {k, p} (\ mathbb {R} ^ {n}), W ^ {k + 1, p} (\ mathbb {R} ^ {n}) \ right] _ { \ theta} = H ^ {s, p} (\ mathbb {R} ^ {n}),}$

куда:

${\ displaystyle 1 \ leqslant p \ leqslant \ infty, \ 0 <\ theta <1, \ s = (1- \ theta) k + \ theta (k + 1) = k + \ theta.}$

Пространства Соболева – Слободецкого

Другой подход к определению пространств Соболева дробного порядка основан на идее обобщения условия Гёльдера на L ^p -множество. Для получения и полнормы Slobodeckij (примерно аналогичны полунорме гёльдерового) определяются ${\ Displaystyle 1 \ leqslant p <\ infty, \ theta \ in (0,1)}$${\ Displaystyle е \ в L ^ {p} (\ Omega),}$

${\ displaystyle [f] _ {\ theta, p, \ Omega}: = \ left (\ int _ {\ Omega} \ int _ {\ Omega} {\ frac {| f (x) -f (y) | ^ {p}} {| xy | ^ {\ theta p + n}}} \; dx \; dy \ right) ^ {\ frac {1} {p}}.}$

Пусть s > 0 не целое и положено . Используя ту же идею, что и для пространств Гельдера , то пространство Соболева Slobodeckij определяется как ${\ Displaystyle \ тета = s- \ lfloor s \ rfloor \ in (0,1)}$ ${\ Displaystyle W ^ {s, p} (\ Omega)}$

${\ Displaystyle W ^ {s, p} (\ Omega): = \ left \ {е \ in W ^ {\ lfloor s \ rfloor, p} (\ Omega): \ sup _ {| \ alpha | = \ lfloor s \ rfloor} [D ^ {\ alpha} f] _ {\ theta, p, \ Omega} <\ infty \ right \}.}$

Это банахово пространство для нормы

${\ Displaystyle \ | е \ | _ {W ^ {s, p} (\ Omega)}: = \ | f \ | _ {W ^ {\ lfloor s \ rfloor, p} (\ Omega)} + \ sup _ {| \ alpha | = \ lfloor s \ rfloor} [D ^ {\ alpha} f] _ {\ theta, p, \ Omega}.}$

Если является подходящим образом регулярным в том смысле, что существуют определенные операторы расширения, то также пространства Соболева – Слободецкого образуют шкалу банаховых пространств, т. Е. Имеют непрерывные инъекции или вложения${\ displaystyle \ Omega}$

${\ displaystyle W ^ {k + 1, p} (\ Omega) \ hookrightarrow W ^ {s ', p} (\ Omega) \ hookrightarrow W ^ {s, p} (\ Omega) \ hookrightarrow W ^ {k, p} (\ Omega), \ quad k \ leqslant s \ leqslant s '\ leqslant k + 1.}$

Существуют примеры нерегулярных Ω таких, что не является даже векторным подпространством для 0 < s <1 (см. Пример 9.1 из) ${\ Displaystyle W ^ {1, p} (\ Omega)}$${\ Displaystyle W ^ {s, p} (\ Omega)}$

С абстрактной точки зрения эти пространства совпадают с вещественными интерполяционными пространствами соболевских пространств, т. Е. В смысле эквивалентных норм имеет место следующее: ${\ Displaystyle W ^ {s, p} (\ Omega)}$

${\ Displaystyle W ^ {s, p} (\ Omega) = \ left (W ^ {k, p} (\ Omega), W ^ {k + 1, p} (\ Omega) \ right) _ {\ theta , p}, \ quad k \ in \ mathbb {N}, s \ in (k, k + 1), \ theta = s- \ lfloor s \ rfloor}$.

Пространства Соболева – Слободецкого играют важную роль в изучении следов соболевских функций. Это частные случаи пространств Бесова .

Операторы расширения

Если это область , граница которой ведет себя не слишком плохо (например, если ее граница является многообразием или удовлетворяет более разрешающему « условию конуса »), то существует оператор A, отображающий функции от на такие функции , что: ${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

1. Au ( x ) = u ( x ) для почти каждого x в и${\ displaystyle \ Omega}$
2. ${\ Displaystyle A: W ^ {k, p} (\ Omega) \ к W ^ {k, p} (\ mathbb {R} ^ {n})}$непрерывна для любых 1 ≤ p ≤ ∞ и целого k .

Такой оператор A назовем оператором расширения для${\ displaystyle \ Omega.}$

Случай p = 2

Операторы расширения - наиболее естественный способ определения для нецелых s (мы не можем работать напрямую, поскольку преобразование Фурье является глобальной операцией). Мы определяем , говоря, что тогда и только тогда , когда Эквивалентно, сложная интерполяция дает те же пробелы, пока есть оператор расширения. Если нет оператора расширения, сложная интерполяция - единственный способ получить пробелы. ${\ Displaystyle H ^ {s} (\ Omega)}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle H ^ {s} (\ Omega)}$${\ Displaystyle и \ в Н ^ {s} (\ Omega)}$${\ displaystyle Au \ in H ^ {s} (\ mathbb {R} ^ {n}).}$${\ Displaystyle H ^ {s} (\ Omega)}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle H ^ {s} (\ Omega)}$

В результате интерполяционное неравенство сохраняется.

Продление на ноль

Как и выше , мы определяем замыкание в пространстве бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем. Учитывая определение следа, приведенное выше, мы можем сформулировать следующее: ${\ displaystyle H_ {0} ^ {s} (\ Omega)}$${\ Displaystyle H ^ {s} (\ Omega)}$${\ Displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (\ Omega)}$

Теорема. Пусть равномерно C ^м регулярные, м ≥ сек и пусть P линейное отображение , переводящее U в к ${\ displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle H ^ {s} (\ Omega)}$

${\ displaystyle \ left. \ left (u, {\ frac {du} {dn}}, \ dots, {\ frac {d ^ {k} u} {dn ^ {k}}} \ right) \ right | _{ГРАММ}}$

где d / dn - производная, нормальная к G , а k - наибольшее целое число, меньшее s . Тогда именно ядро Р .${\ displaystyle H_ {0} ^ {s}}$

Если мы можем определить его продолжение нулем естественным образом, а именно ${\ Displaystyle и \ в H_ {0} ^ {s} (\ Omega)}$ ${\ Displaystyle {\ тильда {и}} \ в L ^ {2} (\ mathbb {R} ^ {n})}$

${\ displaystyle {\ tilde {u}} (x) = {\ begin {cases} u (x) & x \ in \ Omega \\ 0 & {\ text {else}} \ end {cases}}}$

Теорема. Пусть Карта является непрерывной в том и только в том случае, если s не имеет формы для целого числа n .${\ displaystyle s> {\ tfrac {1} {2}}.}$${\ displaystyle u \ mapsto {\ tilde {u}}}$${\ Displaystyle Н ^ {s} (\ mathbb {R} ^ {n})}$${\ displaystyle n + {\ tfrac {1} {2}}}$

Для f  ∈  L ^p (Ω) его продолжение нулем

${\ displaystyle Ef: = {\ begin {cases} f & {\ textrm {on}} \ \ Omega, \\ 0 & {\ textrm {else}} \ end {cases}}}$

является элементом Кроме того, ${\ displaystyle L ^ {p} (\ mathbb {R} ^ {n}).}$

${\ displaystyle \ | Ef \ | _ {L ^ {p} (\ mathbb {R} ^ {n})} = \ | f \ | _ {L ^ {p} (\ Omega)}.}$

В случае пространства Соболева W ^{1, p} (Ω) для 1 ≤ p ≤ ∞ продолжение функции u нулем не обязательно даст элемент из But, если Ω ограничено липшицевой границей (например, ∂Ω - это C ¹ ) , то для любого ограниченного открытого множества O такого, что Ω⊂⊂O (т. е. Ω компактно содержится в O), существует ограниченный линейный оператор ${\ displaystyle W ^ {1, p} (\ mathbb {R} ^ {n}).}$

${\ Displaystyle E: W ^ {1, p} (\ Omega) \ к W ^ {1, p} (\ mathbb {R} ^ {n}),}$

такая, что для каждого п.в. на Ω Eu имеет компактный носитель внутри O, и существует постоянная C, зависящая только от p , Ω, O и размерности n , такая, что ${\ Displaystyle и \ в W ^ {1, p} (\ Omega): Eu = u}$

${\ Displaystyle \ | Eu \ | _ {W ^ {1, p} (\ mathbb {R} ^ {n})} \ leqslant C \ | u \ | _ {W ^ {1, p} (\ Omega) }.}$

Мы называем Eu продолжением u до${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}.}$

Соболевские вложения

Возникает естественный вопрос, является ли функция Соболева непрерывной или даже непрерывно дифференцируемой. Грубо говоря, достаточно много слабых производных (т.е. большие k ) приводят к классической производной. Эта идея обобщается и уточняется в теореме вложения Соболева .

Напишите для пространства Соболева некоторого компактного риманова многообразия размерности n . Здесь k может быть любым действительным числом и 1 ≤  p  ≤ ∞. (При p  = ∞ пространство Соболева определяется как пространство Гельдера C ^{n , α,} где k  =  n  + α и 0 <α ≤ 1.) Теорема вложения Соболева утверждает, что если и тогда ${\ displaystyle W ^ {k, p}}$${\ Displaystyle W ^ {к, \ infty}}$ ${\ displaystyle k \ geqslant m}$${\ displaystyle k - {\ tfrac {n} {p}} \ geqslant m - {\ tfrac {n} {q}}}$

${\ Displaystyle W ^ {к, p} \ substeq W ^ {m, q}}$

и вложение непрерывно. Более того, если и тогда вложение вполне непрерывно (это иногда называют теоремой Кондрахова или теоремой Реллиха-Кондрахова ). Функции в имеют все производные порядка меньше m непрерывны, поэтому, в частности, это дает условия на пространства Соболева для непрерывности различных производных. Неформально эти вложения говорят, что преобразование оценки L ^{p в} оценку ограниченности стоит 1 / p производных на измерение. ${\ displaystyle k> m}$${\ displaystyle k - {\ tfrac {n} {p}}> m - {\ tfrac {n} {q}}}$${\ Displaystyle W ^ {м, \ infty}}$

Существуют аналогичные варианты теоремы вложения для некомпактных многообразий, например ( Stein 1970 ). Некомпактные вложения Соболева часто обладают родственным, но более слабым свойством кокомпактности . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

Примечания

использованная литература

• Адамс, Роберт А .; Фурнье, Джон (2003) [1975]. Соболевские пространства . Чистая и прикладная математика. 140 (2-е изд.). Бостон, Массачусетс: Academic Press . ISBN 978-0-12-044143-3..
• Обен, Тьерри (1982), Нелинейный анализ на многообразиях. Уравнения Монжа-Ампера , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Фундаментальные принципы математических наук], 252 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-1-4612-5734-9 , ISBN 978-0-387-90704-8, MR  0681859.
• Берг, Йоран; Лёфстрем, Йорген (1976), Интерполяционные пространства, Введение , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 223 , Springer-Verlag, стр. X + 207, ISBN 978-7-5062-6011-4, Руководство по ремонту  0482275 , Zbl  0344.46071
• Эванс, Лоуренс К. (2010) [1998]. Уравнения с частными производными . Аспирантура по математике . 19 (2-е изд.). Американское математическое общество. п. 749. ISBN 978-0-8218-4974-3.
• Леони, Джованни (2009). Первый курс в пространствах Соболева . Аспирантура по математике . 105 . Американское математическое общество. С. xvi + 607. ISBN 978-0-8218-4768-8. Руководство по ремонту  2527916 . Zbl  1180.46001 .
• Мазья, Владимир Г. (1985), Пространства Соболева , ряды Спрингера в советской математике, Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. Xix + 486, doi : 10.1007 / 978-3-662-09922-3 , ISBN 0-387-13589-8, Руководство по ремонту  0817985 , Zbl  0692.46023
• Мазья Владимир Григорьевич ; Поборчи, Сергей В. (1997), Дифференцируемые функции на плохих доменах , Сингапур – Нью-Джерси – Лондон – Гонконг: World Scientific , стр. Xx + 481, ISBN 981-02-2767-1, Руководство по ремонту  1643072 , Zbl  0918.46033.
• Мазья, Владимир Г. (2011) [1985], Пространства Соболева. С приложениями к эллиптическим уравнениям с частными производными , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 342 (2-е исправленное и дополненное издание), Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк: Springer Verlag , стр. Xxviii + 866, doi : 10.1007 / 978-3-642-15564 -2 , ISBN 978-3-642-15563-5, Руководство по ремонту  2777530 , Zbl  1217.46002.
• Лунарди, Алессандра (1995), Аналитические полугруппы и оптимальная регулярность в параболических задачах , Базель: Birkhäuser Verlag.
• Никодим, Отто (1933), "Sur une classe de fonctions considérée dans l'étude du problème de Dirichlet" , Fund. Математика. , 21 : 129-150, DOI : 10,4064 / FM-21-1-129-150.
• Никольский С.М. (2001) [1994], "Теоремы вложения" , Энциклопедия математики , EMS Press.
• Никольский С.М. (2001) [1994], "Пространство Соболева" , Энциклопедия математики , EMS Press.
• Соболев, С.Л. (1963), "Об одной теореме функционального анализа", Пер. Амер. Математика. Soc. , Американского математического общества Перевод: Серия 2, 34 (2): 39-68, DOI : 10,1090 / trans2 / 034/02 , ISBN 9780821817346; перевод мат. Сб., 4 (1938) с. 471–497.
• Соболев С.Л. Некоторые приложения функционального анализа в математической физике // Амер. Математика. Soc..
• Стейн Э. (1970), Сингулярные интегралы и свойства дифференцируемости функций , Princeton Univ. Пресса, ISBN 0-691-08079-8.
• Трибель, Х. (1995), Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы , Гейдельберг: Иоганн Амброзиус Барт.
• Цимер, Уильям П. (1989), Слабо дифференцируемые функции , Graduate Texts in Mathematics, 120 , Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-1-4612-1015-3 , hdl : 10338.dmlcz / 143849 , ISBN 978-0-387-97017-2, Руководство по ремонту  1014685.

внешние ссылки

• Элеонора Ди Незза, Джампьеро Палатуччи, Энрико Вальдиночи (2011). «Автостопом по дробным пространствам Соболева».