Телесный угол - Solid angle

Телесный угол
Общие символы	Ω
Единица СИ	Стерадиан
Прочие единицы	Квадратный градус
В базовых единицах СИ	м 2 / м 2
Сохранился ?	Нет
Производные от других величин	${\ displaystyle \ Omega = A / r ^ {2}}$
Измерение	${\ displaystyle 1}$

В геометрии , A телесный угол (символ: Ω ) является мерой количества поля зрения от некоторой конкретной точки , что данный предмет крышки. То есть это мера того, насколько большим объект кажется наблюдателю, смотрящему с этой точки. Точка, из которой виден объект, называется вершиной телесного угла, и говорят, что объект образует свой телесный угол из этой точки.

В Международной системе единиц (СИ) телесный угол выражается в безразмерной единице, называемой стерадианом (символ: sr). Один стерадиан соответствует одной единице площади на единичной сфере , окружающей верхушку, так объект , который блокирует все лучи от вершины будут охватывать ряд стерадианов , равный общую площадь поверхности единичной сферы, . Телесные углы также могут быть измерены в квадратах угловых единиц, таких как градусы , минуты и секунды. ${\ displaystyle 4 \ pi}$

Небольшой объект поблизости может образовывать тот же телесный угол, что и более крупный объект, находящийся дальше. Например, хотя Луна намного меньше Солнца , она также намного ближе к Земле . Действительно, если смотреть из любой точки на Земле, оба объекта имеют примерно одинаковый телесный угол и кажущийся размер. Это очевидно во время солнечного затмения .

Определение и свойства

Телесный угол объекта в стерадианах равен площади сегмента единичной сферы с центром в вершине, которую покрывает объект. Телесный угол в стерадианах равен площади сегмента единичной сферы точно так же, как плоский угол в радианах равен длине дуги единичной окружности ; следовательно, точно так же, как плоский угол в радианах представляет собой отношение длины дуги окружности к ее радиусу, телесный угол в стерадианах представляет собой следующее отношение:

${\ displaystyle \ Omega = {\ frac {A} {r ^ {2}}}}$

где A - площадь сферической поверхности, а r - радиус рассматриваемой сферы.

Телесные углы часто используются в астрономии , физике и, в частности, астрофизике . Телесный угол объекта, который находится очень далеко, примерно пропорционален отношению площади к квадрату расстояния. Здесь «площадь» означает площадь объекта при проецировании по направлению взгляда.

Любая область на сфере, площадь которой равна квадрату ее радиуса, если смотреть из ее центра, составляет ровно один стерадиан .

Телесный угол сферы, измеренный из любой точки внутри нее, равен 4 π  ср, а телесный угол, образуемый одной из граней куба в центре куба, составляет одну шестую этого, или2 π/3 SR. Телесные углы также могут быть измерены в квадратных градусах (1 ср = (180/π) ² квадратных градуса), в квадратных минутах и ​​квадратных секундах или в долях сферы (1 ср =1/4 πдробная площадь), также известный как spat (1 sp = 4 π  sr).

В сферических координатах есть формула для дифференциала ,

${\ Displaystyle д \ Омега = \ грех \ тета \, д \ тета \, д \ varphi}$

где θ - широта (угол от Северного полюса), а φ - долгота.

Телесный угол для произвольно ориентированной поверхности S, обращенной в точку P , равен телесному углу проекции поверхности S на единичную сферу с центром P , который может быть вычислен как поверхностный интеграл :

${\ displaystyle \ Omega = \ iint _ {S} {\ frac {{\ hat {r}} \ cdot {\ hat {n}}} {r ^ {2}}} \, dS \ = \ iint _ { S} \ sin \ theta \, d \ theta \, d \ varphi}$

где есть единичный вектор , соответствующий , в позиции вектор из области бесконечно малой поверхностных Ds по отношению к точке Р , и где представляет собой единичный вектор нормали к Ds . Даже если проекция единичной сферы на поверхность S не изоморфна , множественные складки правильно рассматриваются в соответствии с ориентацией поверхности, описываемой знаком скалярного произведения . ${\ displaystyle {\ hat {r}} = {\ vec {r}} / r}$${\ displaystyle {\ vec {r}}}$${\ Displaystyle {\ шляпа {п}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {r}} \ cdot {\ hat {n}}}$

Таким образом, можно аппроксимировать телесный угол, образованный небольшой гранью с плоской поверхностью dS , ориентацией и расстоянием r от наблюдателя, как: ${\ Displaystyle {\ шляпа {п}}}$

${\ displaystyle d \ Omega = 4 \ pi \ left ({\ frac {dS} {A}} \ right) \, ({\ hat {r}} \ cdot {\ hat {n}})}$

где площадь поверхности шара является = 4 π г ² .

Практическое применение

• Определение силы света и яркости , а также соответствующих радиометрических величин силы излучения и яркости
• Расчет сферического избытка Е в виде сферического треугольника
• Расчет потенциалов методом граничных элементов (БЭМ)
• Оценка размера лигандов в металлических комплексах, см. Угол конуса лиганда.
• Расчет электрического поля и напряженности магнитного поля вокруг распределений заряда
• Вывод закона Гаусса
• Расчет мощности излучения и излучения при теплопередаче
• Расчет сечений резерфордского рассеяния
• Расчет сечений комбинационного рассеяния света
• Телесный угол приема конуса из оптического волокна

Телесные углы для обычных объектов

Конус, сферическая крышка, полусфера

Сечение конуса (1) и сферической крышки (2) внутри сферы. На этом рисунке θ = A / 2 и r = 1 .

Телесный угол конуса с вершиной на вершине телесного угла и с углом при вершине 2 θ - это площадь сферической крышки на единичной сфере.

$${\ displaystyle \ Omega = 2 \ pi \ left (1- \ cos \ theta \ right) \ = 4 \ pi \ sin ^ {2} {\ frac {\ theta} {2}}.}$$

При малых & thetas такое , что соз & thetas ; ≈ 1 - & thetas ; ² /2 , это сводится к области окружности П & thetas ; ² .

Вышеупомянутое находится путем вычисления следующего двойного интеграла с использованием элемента единичной поверхности в сферических координатах :

$${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ int _ {0} ^ {\ theta} \ sin \ theta '\, d \ theta' \, d \ phi = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} d \ phi \ int _ {0} ^ {\ theta} \ sin \ theta '\, d \ theta' =}$$

$${\ displaystyle \ qquad 2 \ pi \ int _ {0} ^ {\ theta} \ sin \ theta '\, d \ theta' = 2 \ pi \ left [- \ cos \ theta '\ right] _ {0} ^ {\ theta} \ = 2 \ pi \ left (1- \ cos \ theta \ right).}$$

Эта формула также может быть получена без использования исчисления . Более 2200 лет назад Архимед доказал, что площадь поверхности сферической крышки всегда равна площади круга, радиус которого равен расстоянию от края сферической крышки до точки, где ось симметрии крышки пересекает крышку. На схеме этот радиус обозначен как

$${\ displaystyle 2r \ sin {\ frac {\ theta} {2}}.}$$

Следовательно, для единичной сферы телесный угол сферической крышки задается как

$${\ displaystyle \ Omega = 4 \ pi \ sin ^ {2} {\ frac {\ theta} {2}} = 2 \ pi \ left (1- \ cos \ theta \ right).}$$

Когда θ =π/2сферическая крышка становится полусферой с телесным углом 2 π .

Телесный угол дополнения конуса равен

$${\ displaystyle 4 \ pi - \ Omega = 2 \ pi \ left (1+ \ cos \ theta \ right) = 4 \ pi \ cos ^ {2} {\ frac {\ theta} {2}}.}$$

Это также телесный угол той части небесной сферы, которую астрономический наблюдатель, находящийся на широте θ, может видеть во время вращения Земли. На экваторе видна вся небесная сфера; на любом полюсе только одна половина.

Телесный угол, образованный сегментом сферической крышки, разрезанной плоскостью под углом γ от оси конуса и проходящей через вершину конуса, можно рассчитать по формуле

$${\ Displaystyle \ Omega = 2 \ left [\ arccos \ left ({\ frac {\ sin \ gamma} {\ sin \ theta}} \ right) - \ cos \ theta \ arccos \ left ({\ frac {\ tan \ gamma} {\ tan \ theta}} \ right) \ right].}$$

Например, если γ = - θ , то формула сводится к формуле сферической крышки, приведенной выше: первый член становится π , а второй π cos θ .

Тетраэдр

Пусть OABC - это вершины тетраэдра с началом в точке O, соединенные треугольной гранью ABC, где - векторные положения вершин A, B и C. Определим угол при вершине θ _a как угол BOC и определим θ _b , θ. _c соответственно. Пусть будет двугранным углом между плоскостями , которые содержат тетраэдрическое лицо ОБПА и ОВС и определяют , соответственно. Телесный угол Ω, образуемый треугольной поверхностью ABC, определяется выражением ${\ displaystyle {\ vec {a}} \, \, {\ vec {b}} \, \, {\ vec {c}}}$ ${\ displaystyle \ phi _ {ab}}$${\ displaystyle \ phi _ {ac}}$${\ displaystyle \ phi _ {bc}}$

${\ displaystyle \ Omega = \ left (\ phi _ {ab} + \ phi _ {bc} + \ phi _ {ac} \ right) \ - \ pi \}$

Это следует из теории сферического избытка и приводит к тому, что существует аналогичная теорема теореме о том, что «сумма внутренних углов плоского треугольника равна π » для суммы четырех внутренних телесных углов тетраэдр следующим образом:

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {4} \ Omega _ {i} = 2 \ sum _ {i = 1} ^ {6} \ phi _ {i} \ -4 \ pi \}$

где проходит по всем шести двугранным углам между любыми двумя плоскостями, содержащими тетраэдрические грани OAB, OAC, OBC и ABC. ${\ displaystyle \ phi _ {я}}$

Полезная формула для вычисления телесного угла тетраэдра в начале координат O, который является чисто функцией углов при вершинах θ _a , θ _b , θ _c , дается теоремой L'Huilier как

${\ displaystyle \ tan \ left ({\ frac {1} {4}} \ Omega \ right) = {\ sqrt {\ tan \ left ({\ frac {\ theta _ {s}} {2}} \ right) ) \ tan \ left ({\ frac {\ theta _ {s} - \ theta _ {a}} {2}} \ right) \ tan \ left ({\ frac {\ theta _ {s} - \ theta _ {b}} {2}} \ right) \ tan \ left ({\ frac {\ theta _ {s} - \ theta _ {c}} {2}} \ right)}}}$

куда

${\ displaystyle \ theta _ {s} = {\ frac {\ theta _ {a} + \ theta _ {b} + \ theta _ {c}} {2}}}$.

Другая интересная формула включает выражение вершин как векторов в трехмерном пространстве. Позвольте быть векторными положениями вершин A, B и C, и пусть a , b и c будут величиной каждого вектора (расстояние от начала до точки). Телесный угол Ω, образованный треугольной поверхностью ABC, равен: ${\ displaystyle {\ vec {a}} \, \, {\ vec {b}} \, \, {\ vec {c}}}$

${\ displaystyle \ tan \ left ({\ frac {1} {2}} \ Omega \ right) = {\ frac {\ left | {\ vec {a}} \ {\ vec {b}} \ {\ vec {c}} \ right |} {abc + \ left ({\ vec {a}} \ cdot {\ vec {b}} \ right) c + \ left ({\ vec {a}} \ cdot {\ vec {c }} \ right) b + \ left ({\ vec {b}} \ cdot {\ vec {c}} \ right) a}}}$

куда

${\ displaystyle \ left | {\ vec {a}} \ {\ vec {b}} \ {\ vec {c}} \ right | = {\ vec {a}} \ cdot ({\ vec {b}} \ times {\ vec {c}})}$

обозначает скалярное тройное произведение трех векторов и обозначает скалярное произведение . ${\ displaystyle {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {b}}}$

Здесь необходимо соблюдать осторожность, чтобы избежать отрицательных или неправильных телесных углов. Одним из источников потенциальных ошибок является то, что тройное скалярное произведение может быть отрицательным, если a , b , c имеют неправильную обмотку . Вычисления - достаточное решение, поскольку никакая другая часть уравнения не зависит от обмотки. Другая ловушка возникает, когда скалярное тройное произведение положительно, а делитель отрицателен. В этом случае возвращается отрицательное значение, которое необходимо увеличить на π .

Пирамида

Телесный угол четырехгранной прямоугольной пирамиды с углами при вершине a и b ( двугранные углы, измеренные по отношению к противоположным боковым граням пирамиды) равен

${\ displaystyle \ Omega = 4 \ arcsin \ left (\ sin \ left ({a \ over 2} \ right) \ sin \ left ({b \ over 2} \ right) \ right)}$

Если известны длины сторон ( α и β ) основания пирамиды и расстояние ( d ) от центра базового прямоугольника до вершины пирамиды (центра сферы), то приведенное выше уравнение может манипулировать, чтобы дать

${\ displaystyle \ Omega = 4 \ arctan {\ frac {\ alpha \ beta} {2d {\ sqrt {4d ^ {2} + \ alpha ^ {2} + \ beta ^ {2}}}}}}$

Телесный угол прямой n- угольной пирамиды, в которой основание пирамиды представляет собой правильный n- сторонний многоугольник с радиусом описанной окружности r , с высотой пирамиды h равен

${\ displaystyle \ Omega = 2 \ pi -2n \ arctan \ left ({\ frac {\ tan \ left ({\ pi \ over n} \ right)} {\ sqrt {1+ {r ^ {2} \ over h ^ {2}}}}} \ right)}$

Телесный угол произвольной пирамиды с n- сторонним основанием, определяемым последовательностью единичных векторов, представляющих ребра { s ₁ , s ₂ }, ... s _n, можно эффективно вычислить с помощью:

${\ displaystyle \ Omega = 2 \ pi - \ arg \ prod _ {j = 1} ^ {n} \ left (\ left (s_ {j-1} s_ {j} \ right) \ left (s_ {j}) s_ {j + 1} \ right) - \ left (s_ {j-1} s_ {j + 1} \ right) + i \ left [s_ {j-1} s_ {j} s_ {j + 1} \ верно-верно)}$

где круглые скобки (* *) - скалярное произведение, квадратные скобки [* * *] - тройное скалярное произведение , а i - мнимая единица . Индексы циклически меняются: s ₀ = s _n и s ₁ = s _{n + 1} .

Прямоугольник широты и долготы

Телесный угол прямоугольника широты и долготы на глобусе равен

${\ displaystyle \ left (\ sin \ phi _ {\ mathrm {N}} - \ sin \ phi _ {\ mathrm {S}} \ right) \ left (\ theta _ {\ mathrm {E}} - \ theta _ {\ mathrm {W}} \, \! \ right) \; \ mathrm {sr}}$,

где φ _N и φ _S - северная и южная линии широты (отсчитываемые от экватора в радианах с углом, увеличивающимся к северу), а θ _E и θ _W - восточная и западная линии долготы (где угол в радианах увеличивается к востоку). Математически это представляет собой дугу угла ϕ _N - ϕ _S, охватывающую сферу на θ _E - θ _W радиан. Когда долгота составляет 2 π радиан, а широта - π радиан, телесный угол равен углу сферы.

Прямоугольник широты и долготы не следует путать с телесным углом прямоугольной пирамиды. Все четыре стороны прямоугольной пирамиды пересекают поверхность сферы по дугам большого круга . В прямоугольнике широты и долготы только линии долготы являются дугами большого круга; линий широты нет.

Небесные объекты

Используя определение углового диаметра , формулу для телесного угла небесного объекта можно определить в терминах радиуса объекта , и расстояния от наблюдателя до объекта : ${\ textstyle R}$${\ displaystyle d}$

${\ displaystyle \ Omega = 2 \ pi \ left (1 - {\ frac {\ sqrt {d ^ {2} -R ^ {2}}} {d}} \ right): d \ geq R}$

При вводе соответствующих средних значений для Солнца и Луны (по отношению к Земле) средний телесный угол Солнца составляет 6,794 × 10 ^{- 5} стерадиан, а средний телесный угол Луны составляет 6,418 × 10 ^{- 5} стерадиан. Что касается всей небесной сферы, Солнце и Луна имеют средние доли площади 0,0005406% (5,406 частей на миллион ) и 0,0005107% (5,107 частей на миллион), соответственно. Поскольку эти телесные углы примерно одинакового размера, Луна может вызывать как полные, так и кольцевые солнечные затмения в зависимости от расстояния между Землей и Луной во время затмения.

Телесные углы произвольных размеров

Телесный угол, образованный полной ( d - 1 ) -мерной сферической поверхностью единичной сферы в d -мерном евклидовом пространстве, может быть определен в любом количестве измерений d . Этот коэффициент телесного угла часто требуется при расчетах со сферической симметрией. Он задается формулой

${\ displaystyle \ Omega _ {d} = {\ frac {2 \ pi ^ {\ frac {d} {2}}} {\ Gamma \ left ({\ frac {d} {2}} \ right)}} \}$

где Γ - гамма-функция . Когда d является целым числом, гамма-функция может быть вычислена явно. Следует, что

${\ displaystyle \ Omega _ {d} = {\ begin {cases} {\ frac {1} {\ left ({\ frac {d} {2}} - 1 \ right)!}} 2 \ pi ^ {\ frac {d} {2}} \ & d {\ text {even}} \\ {\ frac {\ left ({\ frac {1} {2}} \ left (d-1 \ right) \ right)!} {(d-1)!}} 2 ^ {d} \ pi ^ {{\ frac {1} {2}} (d-1)} \ & d {\ text {odd}} \ end {cases}}}$

Это дает ожидаемые результаты в 4 π стерадиана для трехмерной сферы, ограниченной поверхностью площадью 4π r ^2, и 2 π радиан для двумерной окружности, ограниченной окружностью длиной 2π r . Это также дает немного менее очевидное значение 2 для одномерного случая, в котором одномерная «сфера» с центром в начале координат является интервалом [- r , r ], и он ограничен двумя предельными точками.

Аналог векторной формулы в произвольной размерности был получен Аомото и независимо Рибандо. Он выражает их как бесконечный многомерный ряд Тейлора:

${\ displaystyle \ Omega = \ Omega _ {d} {\ frac {| \ operatorname {det} (V) |} {(4 \ pi) ^ {d / 2}}} \ sum _ {{\ vec {a }} \ in \ mathbb {N} ^ {\ binom {d} {2}}} \ left [{\ frac {(-2) ^ {\ sum _ {i <j} a_ {ij}}} {\ prod _ {i <j} a_ {ij}!}} \ prod _ {i} \ Gamma \ left ({\ frac {1+ \ sum _ {m \ neq i} a_ {im}} {2}} \ right) \ right] {\ vec {\ alpha}} ^ {\ vec {a}}.}$

Для заданных d единичных векторов, определяющих угол, пусть V обозначает матрицу, образованную их объединением, так что i- й столбец равен , и . Переменные образуют многовариантную . Для "конгруэнтной" целой мультиэкспоненты мы определяем . Обозначение для означает переменную , аналогично для показателей степени . Следовательно, термин означает сумму по всем членам, в которых l появляется либо как первый, либо как второй индекс. Там, где этот ряд сходится, он сходится к телесному углу, определяемому векторами. ${\ displaystyle {\ vec {v_ {i}}}}$${\ displaystyle {\ vec {v_ {i}}}}$${\ displaystyle \ alpha _ {ij} = {\ vec {v_ {i}}} \ cdot {\ vec {v_ {j}}} = \ alpha _ {ji}, \ alpha _ {ii} = 1}$${\ Displaystyle \ альфа _ {ij}, 1 \ leq я <j \ leq d}$${\ displaystyle {\ vec {\ alpha}} = (\ alpha _ {12}, \ dotsc, \ alpha _ {1d}, \ alpha _ {23}, \ dotsc, \ alpha _ {d-1, d} ) \ in \ mathbb {R} ^ {\ binom {d} {2}}}$${\ displaystyle {\ vec {a}} = (a_ {12}, \ dotsc, a_ {1d}, a_ {23}, \ dotsc, a_ {d-1, d}) \ in \ mathbb {N} ^ {\ binom {d} {2}}}$${\ displaystyle {\ vec {\ alpha}} ^ {\ vec {a}} = \ prod \ alpha _ {ij} ^ {a_ {ij}}}$${\ displaystyle \ alpha _ {ji}}$${\ displaystyle j> i}$${\ displaystyle \ alpha _ {ij}}$${\ displaystyle a_ {ji}}$${\ Displaystyle \ сумма _ {м \ neq l} а_ {lm}}$${\ displaystyle {\ vec {a}}}$

использованная литература

дальнейшее чтение

• Джеффи, AH (1954). «Телесный угол, образуемый круглой апертурой в точечных и рассеянных источниках: формулы и некоторые таблицы». Rev. Sci. Instrum . 25 . С. 349–354. Bibcode : 1954RScI ... 25..349J . DOI : 10.1063 / 1.1771061 .
• Маскет, А. Виктор (1957). «Контурные интегралы телесного угла, ряды и таблицы». Rev. Sci. Instrum . 28 (3). п. 191. Bibcode : 1957RScI ... 28..191M . DOI : 10.1063 / 1.1746479 .
• Найто, Минору (1957). «Метод расчета телесного угла, образуемого круглой апертурой». J. Phys. Soc. Jpn . 12 (10). С. 1122–1129. Bibcode : 1957JPSJ ... 12.1122N . DOI : 10,1143 / JPSJ.12.1122 .
• Пакстон, Ф. (1959). «Расчет телесного угла круглого диска». Rev. Sci. Instrum . 30 (4). п. 254. Bibcode : 1959RScI ... 30..254P . DOI : 10.1063 / 1.1716590 .
• Гарднер, Р.П .; Карнесейл, А. (1969). «Телесный угол, ограниченный в точке круглым диском». Nucl. Instrum. Методы . 73 (2). С. 228–230. Bibcode : 1969NucIM..73..228G . DOI : 10.1016 / 0029-554X (69) 90214-6 .
• Гарднер, Р.П .; Verghese, К. (1971). «О телесном угле, образованном круговым диском». Nucl. Instrum. Методы . 93 (1). С. 163–167. Bibcode : 1971NucIM..93..163G . DOI : 10.1016 / 0029-554X (71) 90155-8 .
• Асвестас, Джон С.; Инглунд, Дэвид К. (1994). «Вычисление телесного угла, представленного плоской фигурой». Опт. Англ . 33 (12). С. 4055–4059. Bibcode : 1994OptEn..33.4055A . DOI : 10.1117 / 12.183402 .
• Трика, Станислав (1997). «Угловое распределение телесного угла в точке, охватываемой круговым диском». Опт. Commun . 137 (4–6). С. 317–333. Bibcode : 1997OptCo.137..317T . DOI : 10.1016 / S0030-4018 (96) 00789-4 .
• Прата, MJ (2004). «Аналитический расчет телесного угла, полученного дисковым детектором с точечным косинусом». Nucl. Instrum. Методы Phys. Res. . 521 . п. 576. arXiv : math-ph / 0305034 . Bibcode : 2004NIMPA.521..576P . DOI : 10.1016 / j.nima.2003.10.098 .
• Тимус, DM; Прата, MJ; Калла, SL; Аббас, Мичиган; Oner, F .; Галиано, Э. (2007). «Некоторые дальнейшие аналитические результаты о телесном угле, образованном в точке круглым диском с использованием эллиптических интегралов». Nucl. Instrum. Методы Phys. Res. . 580 . С. 149–152. Bibcode : 2007NIMPA.580..149T . DOI : 10.1016 / j.nima.2007.05.055 .

внешние ссылки

• Теория многоугольника HCR (телесный угол, образуемый любым многоугольником) от Academia.edu
• Артур П. Нортон, Звездный Атлас, Галл и Инглис, Эдинбург, 1969.
• М.Г. Кендалл, Курс геометрии N измерений, № 8 Статистических монографий и курсов Гриффина, изд. М.Г. Кендалл, Charles Griffin & Co. Ltd, Лондон, 1961 г.
• Вайсштейн, Эрик В. «Твердый угол» . MathWorld .