Сфера -Sphere

Сфера
Каркас сферы 10deg 6r.svg
Перспективная проекция сферы
Тип Гладкая поверхность
Алгебраическая поверхность
Эйлер хар. 2
Группа симметрии О(3)
Площадь поверхности 4πr 2
Объем 4/33

Сфера (от древнегреческого σφαῖρα ( sphaîra ) «  шар, шар») — геометрический объект, являющийся трехмерным аналогом двумерного круга . Сфера — это множество точек , находящихся на одинаковом расстоянии r от данной точки в трехмерном пространстве. Эта заданная точка является центром сферы, а r - радиусом сферы. Самые ранние известные упоминания о сферах появляются в работах древнегреческих математиков .

Сфера является фундаментальным объектом во многих областях математики . Сферы и почти сферические формы также появляются в природе и промышленности. Пузыри , такие как мыльные пузыри , в равновесии принимают сферическую форму. Земля часто аппроксимируется как сфера в географии , а небесная сфера является важным понятием в астрономии . Промышленные изделия, включая сосуды под давлением и большинство изогнутых зеркал и линз , основаны на сферах. Сферы плавно катятся в любом направлении, поэтому большинство мячей , используемых в спорте и игрушках, имеют сферическую форму, как и шарикоподшипники .

Основная терминология

Два ортогональных радиуса сферы

Как упоминалось ранее , r — это радиус сферы; любая линия из центра в точку на сфере также называется радиусом.

Если радиус продлить через центр к противоположной стороне сферы, он создает диаметр . Как и радиус, длина диаметра также называется диаметром и обозначается d . Диаметры — это самые длинные отрезки, которые можно провести между двумя точками на сфере: их длина в два раза больше радиуса, d = 2 r . Две точки на сфере, соединенные диаметром, являются противоположными точками друг другу.

Единичная сфера — это сфера с единичным радиусом ( r =1). Для удобства часто считается, что центр сфер находится в начале координат, а в этой статье центр сфер находится в начале координат, если центр не упоминается.

Большой круг на сфере имеет тот же центр и радиус, что и сфера, и делит ее на два равных полушария .

Хотя Земля не является идеально сферической, термины, заимствованные из географии, удобно применять к сфере. Если конкретная точка на сфере (произвольно) обозначается как ее северный полюс , ее противоположная точка называется южным полюсом . Тогда большой круг, равноудаленный от каждого из них, является экватором . Большие круги, проходящие через полюса, называются линиями долготы или меридианами . Линия, соединяющая два полюса, может быть названа осью вращения . Маленькие кружки на сфере, параллельные экватору, являются линиями широты . В геометрии, не связанной с астрономическими телами, геоцентрическую терминологию следует использовать только для иллюстрации и отмечать как таковую, если только нет возможности неправильного понимания.

Математики считают сферу двумерной замкнутой поверхностью , вложенной в трехмерное евклидово пространство . Они проводят различие между сферой и шаром , который представляет собой трехмерное многообразие с границей , включающей объем, заключенный в сфере. Открытый шар исключает саму сферу, а закрытый шар включает сферу: закрытый шар есть объединение открытого шара и сферы, а сфера есть граница шара (закрытого или открытого). Различие между шаром и сферой не всегда сохранялось, и особенно старые математические справочники говорят о сфере как о твердом теле. Различие между « кругом » и « диском » на плоскости такое же.

Маленькие сферы иногда называют сферулами, например, марсианскими сферулами .

Уравнения

В аналитической геометрии сфера с центром ( x 0 , y 0 , z 0 ) и радиусом r является геометрическим местом всех точек ( x , y , z ) таких, что

Так как это может быть выражено как квадратичный многочлен, сфера является квадратичной поверхностью , типом алгебраической поверхности .

Пусть a, b, c, d, e — действительные числа, где a ≠ 0 , и положим

Тогда уравнение

не имеет действительных точек в качестве решений, если и называется уравнением мнимой сферы . Если единственным решением является точка и уравнение называется уравнением точечной сферы . Наконец, в случае – уравнение сферы с центром и радиусом .

Если a в приведенном выше уравнении равно нулю, то f ( x , y , z ) = 0 является уравнением плоскости. Таким образом, плоскость можно рассматривать как сферу бесконечного радиуса, центр которой находится в бесконечно удаленной точке .

параметрический

Параметрическое уравнение для сферы с радиусом и центром может быть параметризовано с помощью тригонометрических функций .

Здесь используются те же символы, что и в сферических координатах . r постоянно, а θ изменяется от 0 до π и изменяется от 0 до 2 π .

Характеристики

Закрытый объем

Сфера и описанный цилиндр

В трех измерениях объем внутри сферы (то есть объем шара , но классически называемый объемом сферы) равен

где r — радиус , d — диаметр сферы. Архимед впервые вывел эту формулу, показав, что объем внутри сферы вдвое больше объема между сферой и описанным цилиндром этой сферы (с высотой и диаметром, равными диаметру сферы). Это можно доказать, вписав перевернутый конус в полусферу, заметив, что площадь поперечного сечения конуса плюс площадь поперечного сечения сферы равна площади поперечного сечения описывающего цилиндра. , и применяя принцип Кавальери . Эта формула также может быть получена с использованием интегрального исчисления , т . е. интегрирования по кругу для суммирования объемов бесконечного числа круглых дисков бесконечно малой толщины, сложенных рядом друг с другом и центрированных вдоль оси x от x =r до x = r , при условии, что сфера радиуса r имеет центр в начале координат.

Доказательство объема сферы с помощью исчисления

При любом заданном x дополнительный объем ( δV ) равен произведению площади поперечного сечения диска в точке x и его толщины ( δx ):

Общий объем представляет собой сумму всех дополнительных объемов:

В пределе, когда δx приближается к нулю, это уравнение принимает вид:

При любом данном x прямоугольный треугольник соединяет x , y и r с началом координат; следовательно, применение теоремы Пифагора дает:

Использование этой замены дает

которые могут быть оценены, чтобы дать результат

Альтернативная формула находится с использованием сферических координат с элементом объема

так

Для большинства практических целей объем внутри сферы, вписанной в куб, может быть приблизительно равен 52,4% объема куба, поскольку V =π/6 d 3 , где d — диаметр сферы, а также длина стороны куба иπ/6 ≈ 0,5236. Например, сфера диаметром 1  м имеет 52,4% объема куба с длиной ребра 1  м, или около 0,524 м 3 .

Площадь поверхности

Площадь поверхности сферы радиуса r равна:

Архимед впервые вывел эту формулу из того факта, что проекция на боковую поверхность описанного цилиндра сохраняет площадь. Другой подход к получению формулы исходит из того факта, что она равна производной формулы объема по r , потому что полный объем внутри сферы радиуса r можно рассматривать как сумму площадей поверхности бесконечного числа сферических оболочек бесконечно малой толщины, концентрически уложенных друг в друга от радиуса 0 до радиуса r . При бесконечно малой толщине несоответствие между площадью внутренней и внешней поверхности любой данной оболочки бесконечно мало, а элементарный объем радиуса r представляет собой просто произведение площади поверхности радиуса r на бесконечно малую толщину.

Доказательство площади поверхности с помощью исчисления

При любом заданном радиусе r дополнительный объем ( δV ) равен произведению площади поверхности на радиусе r ( A ( r ) ) и толщины оболочки ( δr ):

Общий объем представляет собой сумму всех объемов оболочки:

В пределе, когда δr приближается к нулю, это уравнение принимает вид:

Замена В :

Дифференцирование обеих частей этого уравнения по r дает A как функцию r :

Обычно это обозначается аббревиатурой:

где r теперь считается фиксированным радиусом сферы.

В качестве альтернативы элемент площади на сфере задается в сферических координатах как dA = r 2 sin θ dθ dφ . В декартовых координатах элемент площади равен

Таким образом, общая площадь может быть получена путем интегрирования :

Сфера имеет наименьшую площадь поверхности из всех поверхностей, которые заключают в себе данный объем, и она заключает в себе наибольший объем среди всех замкнутых поверхностей с данной площадью поверхности. Таким образом, сфера появляется в природе: например, пузырьки и маленькие капли воды имеют примерно сферическую форму, потому что поверхностное натяжение локально минимизирует площадь поверхности.

Площадь поверхности по отношению к массе мяча называется удельной площадью поверхности и может быть выражена из приведенных выше уравнений как

где ρплотность (отношение массы к объему).

Другие геометрические свойства

Сфера может быть построена как поверхность, образованная вращением круга вокруг любого из его диаметров ; по сути, это традиционное определение сферы, данное в «Началах» Евклида . Так как круг — это особый тип эллипса , то сфера — это особый тип эллипсоида вращения . Заменив круг эллипсом, вращающимся вокруг своей главной оси , форма становится вытянутым сфероидом ; вращается вокруг малой оси, сплюснутый сфероид.

Сфера однозначно определяется четырьмя точками, не лежащими в одной плоскости . В более общем смысле сфера однозначно определяется четырьмя условиями, такими как прохождение через точку, касание плоскости и т. д. Это свойство аналогично тому, что три неколлинеарные точки определяют уникальную окружность на плоскости.

Следовательно, сфера однозначно определяется (то есть проходит через) окружностью и точкой, не лежащей в плоскости этой окружности.

Изучая общие решения уравнений двух сфер , можно увидеть, что две сферы пересекаются по окружности, а плоскость, содержащая эту окружность, называется радикальной плоскостью пересекающихся сфер. Хотя радикальная плоскость является реальной плоскостью, окружность может быть воображаемой (сферы не имеют реальной общей точки) или состоять из одной точки (сферы касаются в этой точке).

Угол между двумя сферами в реальной точке пересечения — это двугранный угол , определяемый касательными плоскостями к сферам в этой точке. Два шара пересекаются под одинаковым углом во всех точках окружности их пересечения. Они пересекаются под прямым углом ( ортогональны ) тогда и только тогда, когда квадрат расстояния между их центрами равен сумме квадратов их радиусов.

Карандаш сфер

Если f ( x , y , z ) = 0 и g ( x , y , z ) = 0 являются уравнениями двух различных сфер, то

также является уравнением сферы при произвольных значениях параметров s и t . Набор всех сфер, удовлетворяющих этому уравнению, называется пучком сфер , определяемым исходными двумя сферами. В этом определении сфера может быть плоскостью (бесконечный радиус, центр в бесконечности), и если обе исходные сферы являются плоскостями, то все сферы карандаша являются плоскостями, в противном случае в плоскости имеется только одна плоскость (радиальная плоскость). карандаш.

Одиннадцать свойств сферы

Вектор нормали к сфере, плоскости нормали и ее нормальному сечению. Кривизна кривой пересечения является секционной кривизной. Для сферы каждое нормальное сечение через данную точку будет окружностью того же радиуса: радиуса сферы. Это означает, что каждая точка на сфере будет пупочной точкой.

В своей книге « Геометрия и воображение » Дэвид Гильберт и Стефан Кон-Фоссен описывают одиннадцать свойств сферы и обсуждают, однозначно ли эти свойства определяют сферу. Несколько свойств выполняются для плоскости , которую можно рассматривать как сферу с бесконечным радиусом. Эти свойства:

  1. Все точки на сфере находятся на одинаковом расстоянии от фиксированной точки. Кроме того, отношение расстояния его точек от двух фиксированных точек постоянно.
    Первая часть является обычным определением сферы и определяет ее однозначно. Вторая часть может быть легко выведена и следует аналогичному результату Аполлония Пергского для круга . Эта вторая часть справедлива и для плоскости .
  2. Контуры и плоские сечения сферы представляют собой окружности.
    Это свойство однозначно определяет сферу.
  3. Сфера имеет постоянную ширину и постоянный обхват.
    Ширина поверхности — это расстояние между парами параллельных касательных плоскостей. Многие другие замкнутые выпуклые поверхности имеют постоянную ширину, например тело Мейснера . Обхват поверхности — это окружность границы ее ортогональной проекции на плоскость. Каждое из этих свойств подразумевает другое.
  4. Все точки сферы являются омбиликами .
    В любой точке поверхности нормальное направление находится под прямым углом к ​​поверхности, потому что на сфере это линии, исходящие из центра сферы. Пересечение плоскости, содержащей нормаль, с поверхностью образует кривую, называемую нормальным сечением, а кривизна этой кривой — нормальная кривизна . Для большинства точек на большинстве поверхностей разные сечения будут иметь разную кривизну; их максимальное и минимальное значения называются главными кривизнами . Любая замкнутая поверхность будет иметь по крайней мере четыре точки, называемые омбилическими точками . У пуповины все секционные кривизны равны; в частности, главные кривизны равны. Пупочные точки можно рассматривать как точки, в которых поверхность близко аппроксимируется сферой.
    Для сферы кривизны всех нормальных сечений равны, поэтому каждая точка является пуповиной. Сфера и плоскость — единственные поверхности, обладающие этим свойством.
  5. Сфера не имеет поверхности центров.
    Для данного нормального сечения существует окружность кривизны, равная кривизне сечения, касательная к поверхности, центральные линии которой лежат на нормальной линии. Например, два центра, соответствующие максимальной и минимальной кривизне сечения, называются фокальными точками , а совокупность всех таких центров образует фокальную поверхность .
    Для большинства поверхностей фокальная поверхность образует два листа, каждый из которых представляет собой поверхность и встречается в точках пупка. Несколько случаев являются особыми:
    * Для поверхностей каналов один лист образует кривую, а другой лист — поверхность
    * Для конусов , цилиндров, торов и циклид оба листа образуют кривые.
    * Для сферы центр каждой соприкасающейся окружности находится в центре сферы, а фокальная поверхность образует единую точку. Это свойство уникально для сферы.
  6. Все геодезические сферы являются замкнутыми кривыми.
    Геодезические — это кривые на поверхности, которые дают кратчайшее расстояние между двумя точками. Они представляют собой обобщение понятия прямой линии на плоскости. Для сферы геодезическими являются большие окружности. Многие другие поверхности разделяют это свойство.
  7. Из всех тел, имеющих заданный объем, сфера имеет наименьшую площадь поверхности; из всех тел с заданной площадью поверхности сфера имеет наибольший объем.
    Это следует из изопериметрического неравенства . Эти свойства однозначно определяют сферу, и их можно увидеть в мыльных пузырях : мыльный пузырь окружает фиксированный объем, а поверхностное натяжение минимизирует площадь его поверхности для этого объема. Таким образом, свободно плавающий мыльный пузырь приближается к сфере (хотя такие внешние силы, как гравитация, немного искажают форму пузыря). Это также можно увидеть на планетах и ​​​​звездах, где гравитация сводит к минимуму площадь поверхности больших небесных тел.
  8. Сфера имеет наименьшую общую среднюю кривизну среди всех выпуклых тел с данной площадью поверхности.
    Средняя кривизна - это среднее значение двух главных кривизн, которое является постоянным, поскольку две главные кривизны постоянны во всех точках сферы.
  9. Сфера имеет постоянную среднюю кривизну.
    Сфера - единственная вложенная поверхность, у которой отсутствуют границы или особенности с постоянной положительной средней кривизной. Другие такие погруженные поверхности, как минимальные поверхности , имеют постоянную среднюю кривизну.
  10. Сфера имеет постоянную положительную гауссову кривизну.
    Гауссова кривизна является произведением двух главных кривизн. Это внутреннее свойство, которое можно определить путем измерения длины и углов, и оно не зависит от того, как поверхность встроена в пространство. Следовательно, изгиб поверхности не изменит гауссову кривизну, а другие поверхности с постоянной положительной гауссовой кривизной можно получить, вырезав в сфере небольшую щель и изогнув ее. Все эти другие поверхности будут иметь границы, и сфера — единственная поверхность, не имеющая границы с постоянной положительной гауссовой кривизной. Псевдосфера является примером поверхности с постоянной отрицательной гауссовой кривизной .
  11. Сфера превращается в себя трехпараметрическим семейством жестких движений.
    Вращение единичной сферы вокруг любой оси в начале координат отобразит сферу на себя. Любой поворот вокруг линии, проходящей через начало координат, может быть выражен как комбинация поворотов вокруг трехкоординатной оси (см. Углы Эйлера ). Следовательно, существует трехпараметрическое семейство вращений, такое что каждое вращение переводит сферу на себя; это семейство является группой вращений SO(3) . Плоскость — единственная другая поверхность с трехпараметрическим семейством преобразований ( перемещения по осям x и y и повороты вокруг начала координат). Круглые цилиндры - единственные поверхности с двухпараметрическими семействами жестких движений, а поверхности вращения и геликоиды - единственные поверхности с однопараметрическим семейством.

Лечение по областям математики

Сферическая геометрия

Большой круг на сфере

Основными элементами евклидовой плоской геометрии являются точки и линии . На сфере точки определяются в обычном смысле. Аналогом «линии» является геодезическая , представляющая собой большой круг ; определяющей характеристикой большого круга является то, что плоскость, содержащая все его точки, также проходит через центр сферы. Измерение по длине дуги показывает, что кратчайший путь между двумя точками, лежащими на сфере, — это более короткий отрезок большого круга , включающий эти точки.

Многие теоремы классической геометрии верны и для сферической геометрии, но не все, потому что сфера не удовлетворяет некоторым постулатам классической геометрии , включая постулат параллельности . В сферической тригонометрии углы определяются между большими кругами. Сферическая тригонометрия во многом отличается от обычной тригонометрии . Например, сумма внутренних углов сферического треугольника всегда превышает 180 градусов. Кроме того, любые два подобных сферических треугольника конгруэнтны.

Любая пара точек на сфере, лежащих на прямой линии, проходящей через центр сферы (т. е. диаметр), называется противоположными точками — на сфере расстояние между ними равно половине длины окружности. Любая другая (т.е. не противоположная) пара различных точек на сфере

  • лежать на уникальном большом круге,
  • сегментировать его на одну малую (т.е. более короткую) и одну большую (т.е. более длинную) дугу , и
  • пусть длина малой дуги будет кратчайшим расстоянием между ними на сфере.

Сферическая геометрия — форма эллиптической геометрии , которая вместе с гиперболической геометрией составляет неевклидову геометрию .

Дифференциальная геометрия

Сфера представляет собой гладкую поверхность с постоянной гауссовой кривизной в каждой точке, равной 1/ r 2 . Согласно теореме Гаусса Egregium , эта кривизна не зависит от вложения сферы в трехмерное пространство. Кроме того, согласно Гауссу, сферу нельзя отобразить на плоскость, сохранив при этом как площади, так и углы. Поэтому любая картографическая проекция вносит некоторую форму искажения.

Сфера радиуса r имеет элемент площади . Это можно найти из элемента объема в сферических координатах при постоянном r .

Сфера любого радиуса с центром в нуле является интегральной поверхностью следующей дифференциальной формы :

Это уравнение отражает, что вектор положения и касательная плоскость в точке всегда ортогональны друг другу. Кроме того, обращенный наружу вектор нормали равен вектору положения, масштабированному на 1/r .

В римановой геометрии гипотеза о площади заполнения утверждает , что полусфера является оптимальным (наименьшим по площади) изометрическим заполнением римановой окружности .

Топология

В топологии n -сфера определяется как пространство, гомеоморфное границе ( n + 1) -шара ; таким образом, он гомеоморфен евклидовой n -сфере, но, возможно, не имеет своей метрики .

  • 0-сфера — это пара точек с дискретной топологией .
  • 1-сфера — это окружность ( с точностью до гомеоморфизма); так, например, (образ) любого узла является 1-сферой.
  • 2-сфера — обычная сфера (с точностью до гомеоморфизма); так, например, любой сфероид является 2-сферой.

n - сфера обозначается Sn . Это пример компактного топологического многообразия без края . Сфера не обязательно должна быть гладкой ; если он гладкий, он не обязан быть диффеоморфным евклидовой сфере ( экзотическая сфера ).

Сфера есть прообраз одноточечного множества при непрерывной функции || х || , поэтому он закрыт; S n также ограничено, поэтому оно компактно по теореме Гейне–Бореля .

Примечательно, что можно вывернуть обычную сферу наизнанку в трехмерном пространстве с возможными самопересечениями, но без образования складок, в процессе, называемом выворачиванием сферы .

Противоположный фактор сферы - это поверхность, называемая реальной проективной плоскостью , которую также можно рассматривать как Северное полушарие с идентифицированными противоположными точками экватора.

Кривые на сфере

Плоское сечение сферы: 1 круг
Соосное пересечение сферы и цилиндра: 2 окружности

Круги

Окружности на сфере, как и окружности на плоскости, состоят из всех точек, находящихся на определенном расстоянии от фиксированной точки на сфере. Пересечение сферы и плоскости есть окружность, точка или пустота. Большие круги — это пересечение сферы с плоскостью, проходящей через центр сферы; другие называются малыми кругами.

Более сложные поверхности также могут пересекать сферу по окружностям: пересечение сферы с поверхностью вращения , ось которой проходит через центр сферы ( соосны ), состоит из окружностей и/или точек, если не пусто. Например, на диаграмме справа показано пересечение сферы и цилиндра, состоящего из двух окружностей. Если бы радиус цилиндра был радиусом сферы, пересечение было бы одним кругом. Если бы радиус цилиндра был больше радиуса сферы, пересечение было бы пустым.

Локсодром

Локсодром

В навигации локсодромия или локсодромия представляет собой дугу, пересекающую все меридианы долготы под одним и тем же углом. Локсодромы такие же, как прямые линии в проекции Меркатора . Румбическая линия не является сферической спиралью . За исключением некоторых простых случаев, формула локсодромии усложняется.

Кривые Клелия

сферическая спираль с

Кривая Клелия — это кривая на сфере, долгота и коширота которой удовлетворяют уравнению

.

Частными случаями являются: кривая Вивиани ( ) и сферические спирали ( ), такие как спираль Зейфферта . Кривые Клелия аппроксимируют путь спутников на полярной орбите .

Сферические коники

Аналогом конического сечения на сфере является сферическая коника , кривая четвертой степени , которую можно определить несколькими эквивалентными способами, в том числе:

Многие теоремы, относящиеся к плоским коническим сечениям, распространяются и на сферические коники.

Пересечение сферы с более общей поверхностью

Общее пересечение сфера-цилиндр

Если сфера пересекается с другой поверхностью, могут быть более сложные сферические кривые.

Пример
сфера – цилиндр

Пересечение сферы с уравнением и цилиндра с уравнением — это не просто одна или две окружности. Это решение нелинейной системы уравнений

(см. неявную кривую и диаграмму)

Обобщения

Эллипсоиды

Эллипсоид — это сфера, растянутая или сжатая в одном или нескольких направлениях. Точнее, это образ сферы при аффинном преобразовании . Эллипсоид имеет такое же отношение к сфере, как эллипс к окружности.

Размерность

Сферы могут быть обобщены на пространства любого количества измерений . Для любого натурального числа n « n -сфера», которую часто записывают как Sn , представляет собой набор точек в ( n + 1 )-мерном евклидовом пространстве, которые находятся на фиксированном расстоянии r от центральной точки этого пространства, где r , как и прежде, положительное действительное число. Особенно:

  • S 0 : 0-сфера состоит из двух дискретных точек,r и r
  • S 1 : 1-сфера – это окружность радиуса r
  • S 2 : 2-сфера - обычная сфера
  • S 3 : 3-сфера — это сфера в 4-мерном евклидовом пространстве.

Сферы для n > 2 иногда называют гиперсферами .

n - сфера единичного радиуса с центром в начале координат обозначается S n и часто упоминается как «эта» n -сфера. Обычная сфера — это 2-сфера, потому что это 2-мерная поверхность, вложенная в 3-мерное пространство.

Метрические пространства

В более общем смысле, в метрическом пространстве ( E , d ) сфера с центром x и радиусом r > 0 является набором точек y таких, что d ( x , y ) = r .

Если центр является выделенной точкой, которая считается началом E , как в нормированном пространстве, он не упоминается в определении и обозначениях. То же самое относится и к радиусу, если он принимается равным единице, как в случае с единичной сферой .

В отличие от шара , даже большая сфера может быть пустым множеством. Например, в Z n с евклидовой метрикой сфера радиуса r непуста, только если r 2 можно записать в виде суммы n квадратов целых чисел .

Октаэдр — это сфера в геометрии такси , а куб — ​​это сфера в геометрии, использующей расстояние Чебышева .

История

Геометрию сферы изучали греки. «Элементы» Евклида определяют сферу в книге XI, обсуждают различные свойства сферы в книге XII и показывают, как вписать пять правильных многогранников в сферу в книге XIII. Евклид не включает площадь и объем сферы, а только теорему о том, что объем сферы изменяется как третья степень ее диаметра, вероятно, из-за Евдокса Книдского . Формулы объема и площади были впервые определены в « О сфере и цилиндре » Архимеда методом исчерпывания . Зенодор был первым, кто заявил, что для данной площади поверхности сфера является телом максимального объема.

Архимед писал о задаче о делении сферы на сегменты, объемы которых находятся в заданном отношении, но не решил ее. Решение с помощью параболы и гиперболы дал Дионисодор Амисский (ок. I в. до н. э.), а аналогичная задача — построить отрезок, равный по объему данному отрезку, а по поверхности — другому отрезку — была решена позднее Аль- Кухи .

Галерея

Регионы

Смотрите также

Примечания и ссылки

Заметки

использованная литература

дальнейшее чтение

внешние ссылки