Спиновый момент количества движения света - Spin angular momentum of light

Спиновый момент света ( СЭМ ) является составляющей углового момента света , который связан с квантовым спином и вращением между поляризационными степенями свободы фотона.

Вступление

Спин - это фундаментальное свойство, которое различает два типа элементарных частиц: фермионы с полуцелыми спинами и бозоны с целыми спинами. Фотоны, являющиеся квантами света, долгое время считались калибровочными бозонами спина 1. Поляризация света обычно считается его «внутренней» спиновой степенью свободы. Однако в свободном пространстве допустимы только две поперечные поляризации. Таким образом, спин фотона всегда связан только с двумя круговыми поляризациями. Чтобы построить полный квантовый спиновый оператор света, необходимо ввести продольно поляризованные фотонные моды.

Левая и правая круговая поляризация и связанные с ними угловые моменты

Считается, что электромагнитная волна имеет круговую поляризацию, когда ее электрическое и магнитное поля непрерывно вращаются вокруг оси луча во время распространения. Круговая поляризация остается ( ) или вправо ( ) в зависимости от направления вращения поля и, в соответствии с конвенцией , используемой: либо с точки зрения источника или приемника. Оба соглашения используются в науке в зависимости от контекста. ${\ Displaystyle \ mathrm {L}}$${\ Displaystyle \ mathrm {R}}$

Когда световой луч имеет круговую поляризацию, каждый из его фотонов имеет спиновый угловой момент (SAM), равный , где - приведенная постоянная Планка, а знак положительный для левой и отрицательный для правой круговой поляризации (здесь принято соглашение с точки зрения обзора приемника, наиболее часто используемого в оптике ). Этот ЗРК направлен вдоль оси луча (параллельно, если положительный, антипараллельный, если отрицательный). На приведенном выше рисунке показана мгновенная структура электрического поля света с левой ( ) и правой ( ) круговой поляризацией в пространстве. Зеленые стрелки указывают направление распространения . ${\ displaystyle \ pm \ hbar}$${\ displaystyle \ hbar}$${\ displaystyle \ pm}$${\ Displaystyle \ mathrm {L}}$${\ Displaystyle \ mathrm {R}}$

Математические выражения, представленные под рисунками, дают три компонента электрического поля циркулярно поляризованной плоской волны, распространяющейся в направлении, в комплексных обозначениях. ${\ displaystyle z}$

Математическое выражение

Общее выражение для спинового углового момента имеет вид

${\ displaystyle \ mathbf {S} = {\ frac {1} {c}} \ int d ^ {3} x \ mathbf {\ pi} \ times \ mathbf {A},}$

где это скорость света в свободном пространстве и является сопряженным каноническим импульсом от векторного потенциала . Общее выражение для орбитального углового момента света имеет вид ${\ displaystyle c}$${\ Displaystyle \ mathbf {\ pi}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$

${\ displaystyle \ mathbf {L} = {\ frac {1} {c}} \ int d ^ {3} x \ pi ^ {\ mu} \ mathbf {x} \ times \ mathbf {\ nabla} A _ {\ mu},}$

где обозначает четыре индекса пространства-времени, и было применено соглашение Эйнштейна о суммировании . Чтобы квантовать свет, основной ${\ Displaystyle \ му = \ {0,1,2,3 \}}$

должны быть постулированы соотношения равновременной коммутации,

${\ displaystyle [A ^ {\ mu} (\ mathbf {x}, t), \ pi ^ {\ mu} (\ mathbf {x} ', t)] = i \ hbar cg ^ {\ mu \ nu} \ delta ^ {3} (\ mathbf {x} - \ mathbf {x} '),}$

${\ displaystyle [A ^ {\ mu} (\ mathbf {x}, t), A ^ {\ nu} (\ mathbf {x} ', t)] = [\ pi ^ {\ mu} (\ mathbf { x}, t), \ pi ^ {\ mu} (\ mathbf {x} ', t)] = 0,}$

где это приведенная постоянная Планка и метрический тензор пространства Минковского . ${\ displaystyle \ hbar}$${\ displaystyle g ^ {\ mu \ nu} = {\ rm {{diag} \ {1, -1, -1, -1 \}}}}$

Тогда можно проверить, что оба и удовлетворяют каноническим соотношениям коммутации углового момента ${\ displaystyle \ mathbf {S}}$${\ displaystyle \ mathbf {L}}$

${\ displaystyle [S_ {i}, S_ {j}] = i \ hbar \ epsilon _ {ijk} S_ {k},}$

${\ displaystyle [L_ {i}, L_ {j}] = i \ hbar \ epsilon _ {ijk} L_ {k},}$

и они ездят друг с другом . ${\ displaystyle [S_ {i}, L_ {j}] = 0}$

После расширения плоской волны спин фотона может быть перевыражен в простой и интуитивно понятной форме в пространстве волновых векторов

${\ displaystyle \ mathbf {S} = \ hbar \ int d ^ {3} k {\ hat {\ phi}} _ {\ mathbf {k}} ^ {\ dagger} \ mathbf {\ hat {s}} { \ шляпа {\ phi}} _ {\ mathbf {k}}}$

где вектор-столбец - это полевой оператор фотона в пространстве волновых векторов, а матрица ${\ displaystyle {\ hat {\ phi}} _ {\ mathbf {k}} = [{\ hat {a}} _ {\ mathbf {k}, 1}, {\ hat {a}} _ {\ mathbf {k}, 2}, {\ hat {a}} _ {\ mathbf {k}, 3}] ^ {T}}$${\ displaystyle 3 \ times 3}$

${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {s}} = \ sum _ {\ lambda = 1} ^ {3} {\ hat {s}} _ {\ lambda} \ mathbf {\ epsilon} (\ mathbf {k} , \ lambda)}$

- оператор спина 1 фотона с генераторами вращения SO (3)

${\ displaystyle {\ hat {s}} _ {1} = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \ end {bmatrix}}}$, , , ${\ displaystyle {\ hat {s}} _ {2} = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & i \\ 0 & 0 & 0 \\ - i & 0 & 0 \ end {bmatrix}}}$${\ displaystyle {\ hat {s}} _ {3} = {\ begin {bmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix}}}$

и два единичных вектора обозначают две поперечные поляризации света в свободном пространстве, а единичный вектор обозначает продольную поляризацию. ${\ Displaystyle \ mathbf {\ epsilon} (\ mathbf {k}, 1) \ cdot \ mathbf {k} = \ mathbf {\ epsilon} (\ mathbf {k}, 2) \ cdot \ mathbf {k} = 0 }$${\ Displaystyle \ mathbf {\ epsilon} (\ mathbf {k}, 3) = \ mathbf {k} / | \ mathbf {k} |}$

Благодаря продольному поляризованный фотон и скалярный фотон был вовлечен в процесс, как и не измерить инварианта. Чтобы включить калибровочную инвариантность в угловые моменты фотонов, необходимо выполнить повторное разложение полного углового момента КЭД и условие калибровки Лоренца. Наконец, прямая наблюдаемая часть спинового и орбитального угловых моментов света определяется выражением ${\ displaystyle \ mathbf {S}}$${\ displaystyle \ mathbf {L}}$

${\ displaystyle \ mathbf {S} ^ {\ rm {obs}} = я \ hbar \ int d ^ {3} k ({\ hat {a}} _ {\ mathbf {k}, 2} ^ {\ dagger } {\ hat {a}} _ {\ mathbf {k}, 1} - {\ hat {a}} _ {\ mathbf {k}, 1} ^ {\ dagger} {\ hat {a}} _ { \ mathbf {k}, 2}) {\ frac {\ mathbf {k}} {| \ mathbf {k} |}} = \ varepsilon _ {0} \ int d ^ {3} x \ mathbf {E} _ {\ perp} \ times \ mathbf {A} _ {\ perp},}$

а также

${\ displaystyle \ mathbf {L} _ {M} ^ {\ rm {obs}} = \ varepsilon _ {0} \ int d ^ {3} xE _ {\ perp} ^ {j} \ mathbf {x} \ times \ mathbf {\ nabla} A _ {\ perp} ^ {j}}$

восстанавливающие угловые моменты классического поперечного света. Здесь ( ) - поперечная часть электрического поля ( векторный потенциал ), - диэлектрическая проницаемость вакуума , и мы используем единицы СИ . ${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {\ perp}}$${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {\ perp}}$${\ displaystyle \ varepsilon _ {0}}$

Мы можем определить операторы аннигиляции для циркулярно поляризованных поперечных фотонов:

${\ displaystyle {\ hat {a}} _ {\ mathbf {k}, \ mathrm {L}} = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ left ({\ hat {a}} _ {\ mathbf {k}, 1} -i {\ hat {a}} _ {\ mathbf {k}, 2} \ right),}$

${\ displaystyle {\ hat {a}} _ {\ mathbf {k}, \ mathrm {R}} = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ left ({\ hat {a}} _ {\ mathbf {k}, 1} + i {\ hat {a}} _ {\ mathbf {k}, 2} \ right),}$

с единичными векторами поляризации

${\ displaystyle \ mathbf {e} (\ mathbf {k}, \ mathrm {L}) = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ left [\ mathbf {e} (\ mathbf {k} , 1) + i \ mathbf {e} (\ mathbf {k}, 2) \ right],}$

${\ displaystyle \ mathbf {e} (\ mathbf {k}, \ mathrm {R}) = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ left [\ mathbf {e} (\ mathbf {k} , 1) -i \ mathbf {e} (\ mathbf {k}, 2) \ right].}$

Тогда спин фотона в поперечном поле можно переформулировать как

${\ displaystyle \ mathbf {S} ^ {\ rm {obs}} = \ int d ^ {3} k \ hbar \ left ({\ hat {a}} _ {\ mathbf {k}, L} ^ {\ кинжал} {\ hat {a}} _ {\ mathbf {k}, L} - {\ hat {a}} _ {\ mathbf {k}, R} ^ {\ dagger} {\ hat {a}} _ {\ mathbf {k}, R} \ right) {\ frac {\ mathbf {k}} {| \ mathbf {k} |}},}$

Для одиночного фотона с плоской волной спин может иметь только два значения , которые являются собственными значениями оператора спина . Соответствующие собственные функции, описывающие фотоны с четко определенными значениями SAM, описываются как волны с круговой поляризацией: ${\ displaystyle \ pm \ hbar}$${\ displaystyle {\ hat {s}} _ {3}}$

${\ displaystyle | \ pm \ rangle = {\ begin {pmatrix} 1 \\\ pm i \\ 0 \ end {pmatrix}}.}$

Смотрите также

• Уравнение Гельмгольца
• Орбитальный угловой момент света
• Поляризация фотона
• Спиновая поляризация

Рекомендации

дальнейшее чтение