Спирограф - Spirograph

Спирограф

Набор спирографа (версия для Великобритании начала 1980-х)
Компания	Hasbro
Страна	Объединенное Королевство
Доступность	1965 – настоящее время
Материалы	Пластик
Официальный веб-сайт

Спирограф - это устройство для геометрического рисования, которое создает математические кривые рулетки, которые технически известны как гипотрохоиды и эпитрохоиды . Всем известная версия игрушки была разработана британским инженером Денисом Фишером и впервые продана в 1965 году.

Название было зарегистрировано торговой маркой от Hasbro Inc. начиная с 1998 г. после приобретения компании , которая приобрела компанию Denys Fisher. Бренд спирографа был перезапущен во всем мире в 2013 году с оригинальными конфигурациями продуктов компанией Kahootz Toys .

История

В 1827 году английский архитектор и инженер греческого происхождения Питер Хуберт Десвиньс разработал и рекламировал «Speiragraph», устройство для создания сложных спиральных рисунков. Человек по имени Дж. Джоплинг вскоре заявил, что ранее изобрел аналогичные методы. Работая в Вене между 1845 и 1848 годами, Десвинь сконструировал версию машины, которая помогла бы предотвратить подделку банкнот, поскольку любой из почти бесконечных вариантов узоров рулетки, которые он мог производить, было чрезвычайно сложно перепроектировать. Математик Бруно Абаканович изобрел новый спирограф между 1881 и 1900 годами. Его использовали для вычисления площади, ограниченной кривыми.

Рисование игрушек на основе шестеренок существует по крайней мере с 1908 года, когда The Marvelous Wondergraph рекламировали в каталоге Sears . Статья, описывающая, как сделать машину для рисования Wondergraph, появилась в публикации Boys Mechanic в 1913 году.

Идеальная игрушка-спирограф была разработана британским инженером Денисом Фишером в период с 1962 по 1964 год, создав машины для рисования с деталями Meccano . Фишер выставил свой спирограф на Международной выставке игрушек в Нюрнберге в 1965 году . Впоследствии он был произведен его компанией. Права на распространение в США были приобретены Kenner , Inc., которая представила его на рынке США в 1966 году и продвигала как творческую детскую игрушку. Позже Кеннер представил Spirotot, Magnetic Spirograph, Spiroman и различные наборы для заправки.

В 2013 году бренд Spirograph был повторно запущен во всем мире с оригинальными шестернями и колесами от Kahootz Toys. В современных изделиях вместо штифтов используется съемная замазка, которая удерживает неподвижные детали на месте. Спирограф был назван игрушкой года в двух номинациях 2014 года, спустя 45 лет после того, как игрушка была названа игрушкой года в 1967 году.

Операция

Анимация спирографа

Несколько дизайнов спирографа, нарисованные с помощью набора спирографов с использованием нескольких разноцветных ручек

Первоначальный спирограф, выпущенный в США, состоял из двух пластиковых колец (или статоров ) разного размера с зубьями шестерен как на внутренней, так и на внешней окружности. Как только одно из этих колец будет удерживаться на месте (штифтами, клеем или вручную), любое из нескольких предоставленных зубчатых колес (или роторов ) - каждый из которых имеет отверстия для шариковой ручки - можно вращать вокруг кольца для рисования геометрических фигур. . Позже суперспирограф ввел дополнительные формы, такие как кольца, треугольники и прямые стержни. Все края каждой детали имеют зубцы, чтобы зацепиться с любой другой деталью; шестерни меньшего размера помещаются внутри больших колец, но они также могут вращаться вдоль внешнего края колец или даже вокруг друг друга. Шестерни можно комбинировать в самых разных комбинациях. В комплекты часто входили ручки разного цвета, которые могли улучшить дизайн, переключая цвета, как показано в приведенных здесь примерах.

Новички часто проскальзывают шестерни, особенно при использовании отверстий рядом с краями больших колес, что приводит к ломаным или неровным линиям. Опытные пользователи могут научиться перемещать несколько частей относительно друг друга (скажем, треугольник вокруг кольца, с кругом, «взбирающимся» с кольца на треугольник).

Математическая основа

Рассмотрим фиксированный внешний круг радиуса с центром в начале координат. Меньший внутренний круг радиуса катится внутрь и непрерывно к нему касается. будет считаться, что он никогда не скользит (в реальном спирографе зубцы на обеих окружностях предотвращают такое скольжение). Теперь предположим, что точка, лежащая где-то внутри , находится на некотором расстоянии от центра. Эта точка соответствует отверстию для ручки на внутреннем диске настоящего спирографа. Без ограничения общности можно предположить, что в начальный момент точка находилась на оси. Чтобы найти траекторию, созданную спирографом, следите за точкой, когда внутренний круг приводится в движение. ${\ displaystyle C_ {o}}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle C_ {i}}$${\ Displaystyle г <R}$${\ displaystyle C_ {o}}$${\ displaystyle C_ {i}}$${\ displaystyle C_ {o}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle C_ {i}}$${\ displaystyle \ rho <r}$${\ displaystyle C_ {i}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle A}$

Теперь отметьте две точки снова и снова . Точка всегда указывает место касания двух окружностей. Точка , однако, будет двигаться дальше , и ее первоначальное положение совпадает с . Приводится в движение против часовой стрелки , имеет вращение по часовой стрелке относительно своего центра. Расстояние, точка траверса на одно и то же, что и проходимые точки касания на , из - за отсутствие скольжения. ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle C_ {o}}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle C_ {i}}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle C_ {i}}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle C_ {i}}$${\ displaystyle C_ {o}}$${\ displaystyle C_ {i}}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle C_ {i}}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle C_ {o}}$

Теперь определите новую (относительную) систему координат с ее началом в центре и осями, параллельными и . Пусть параметр будет угол , с помощью которого касательные точка поворачивается на , и быть угол , на который поворачивается (т.е. , по которому перемещается) в относительной системе координат. Поскольку проскальзывания нет, расстояния, пройденные по соответствующим кругам и вдоль них, должны быть одинаковыми, поэтому ${\ displaystyle (X ', Y')}$${\ displaystyle C_ {i}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle C_ {o}}$${\ displaystyle t '}$${\ displaystyle C_ {i}}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle T}$

${\ displaystyle tR = (t-t ') r,}$

или эквивалентно,

${\ displaystyle t '= - {\ frac {Rr} {r}} t.}$

Принято считать, что движение против часовой стрелки соответствует положительному изменению угла, а движение по часовой стрелке - отрицательному изменению угла. Знак минус в приведенной выше формуле ( ) соответствует этому соглашению. ${\ displaystyle t '<0}$

Позвольте быть координаты центра в абсолютной системе координат. Затем представляет радиус траектории центра , который (опять же в абсолютной системе) совершает круговое движение таким образом: ${\ displaystyle (x_ {c}, y_ {c})}$${\ displaystyle C_ {i}}$${\ displaystyle Rr}$${\ displaystyle C_ {i}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} x_ {c} & = (Rr) \ cos t, \\ y_ {c} & = (Rr) \ sin t. \ end {align}}}$

Как определено выше, это угол поворота в новой относительной системе. Поскольку точка подчиняется обычному закону кругового движения, ее координаты в новой относительной системе координат равны ${\ displaystyle t '}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle (х ', у')}$

${\ displaystyle {\ begin {align} x '& = \ rho \ cos t', \\ y '& = \ rho \ sin t'. \ end {align}}}$

Чтобы получить траекторию движения в абсолютной (старой) системе координат, сложите эти два движения: ${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle {\ begin {align} x & = x_ {c} + x '= (Rr) \ cos t + \ rho \ cos t', \\ y & = y_ {c} + y '= (Rr) \ sin t + \ rho \ sin t ', \\\ конец {выровнен}}}$

где определено выше. ${\ displaystyle \ rho}$

Теперь используйте соотношение между и, полученное выше, чтобы получить уравнения, описывающие траекторию точки с точки зрения одного параметра : ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle t '}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle t}$

${\ displaystyle {\ begin {align} x & = x_ {c} + x '= (Rr) \ cos t + \ rho \ cos {\ frac {Rr} {r}} t, \\ y & = y_ {c} + y '= (Rr) \ sin t- \ rho \ sin {\ frac {Rr} {r}} t \\\ конец {выровнено}}}$

(используя тот факт , что функция является нечетной ). ${\ displaystyle \ sin}$

Это удобно представить уравнение выше в терминах радиуса от и безразмерных параметров , характеризующих структуру Спирографа. А именно пусть ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle C_ {o}}$

${\ displaystyle l = {\ frac {\ rho} {r}}}$

а также

${\ displaystyle k = {\ frac {r} {R}}.}$

Параметр показывает, как далеко точка расположена от центра . В то же время показывает , насколько большой внутренний круг по отношению к внешнему . ${\ Displaystyle 0 \ Leq L \ Leq 1}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle C_ {i}}$${\ Displaystyle 0 \ Leq К \ Leq 1}$${\ displaystyle C_ {i}}$${\ displaystyle C_ {o}}$

Теперь замечено, что

${\ displaystyle {\ frac {\ rho} {R}} = lk,}$

и поэтому уравнения траекторий принимают вид

${\ displaystyle {\ begin {align} x (t) & = R \ left [(1-k) \ cos t + lk \ cos {\ frac {1-k} {k}} t \ right], \\ y (t) & = R \ left [(1-k) \ sin t-lk \ sin {\ frac {1-k} {k}} t \ right]. \\\ конец {выровнено}}}$

Параметр является параметром масштабирования и не влияет на структуру спирографа. При разных значениях будут получены похожие рисунки спирографа. ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$

Два крайних случая и приводят к вырожденным траекториям спирографа. В первом крайнем случае, когда у нас есть простая окружность радиуса , соответствующая случаю, когда она была сжата в точку. (Деление на в формуле не является проблемой, поскольку обе и являются ограниченными функциями). ${\ displaystyle k = 0}$${\ displaystyle k = 1}$${\ displaystyle k = 0}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle C_ {i}}$${\ displaystyle k = 0}$${\ displaystyle \ sin}$${\ displaystyle \ cos}$

В другом крайнем случае соответствует внутреннему кругу «с радиусом , соответствующий радиус внешней окружности , то есть . В этом случае траектория представляет собой единую точку. Интуитивно понятно, что он слишком велик, чтобы катиться внутрь такого же размера, не поскользнувшись. ${\ displaystyle k = 1}$${\ displaystyle C_ {i}}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle C_ {o}}$${\ displaystyle r = R}$${\ displaystyle C_ {i}}$${\ displaystyle C_ {o}}$

Если , то точка находится на окружности . В этом случае траектории называются гипоциклоидами, а приведенные выше уравнения сводятся к уравнениям для гипоциклоиды. ${\ displaystyle l = 1}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle C_ {i}}$

Смотрите также

использованная литература

внешние ссылки

• Официальный веб-сайт
• Воевудко, А.Е. (12 марта 2018 г.). «Гирографические кривые» . Код проекта .