Преобразование Стирлинга - Stirling transform

В комбинаторной математике , то Стирлинга преобразование из последовательности { в _п  : п = 1, 2, 3, ...} чисел является последовательность { Ь _п  : п = 1, 2, 3, ...} задается

${\ displaystyle b_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ left \ {{\ begin {matrix} n \\ k \ end {matrix}} \ right \} a_ {k},}$

где это число Стирлинга второго рода, также обозначается S ( п , к ) (с большой буквой S ), который является количеством разделов набора размера п в K части. ${\ Displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} п \\ k \ end {matrix}} \ right \}}$

Обратное преобразование

${\ displaystyle a_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} s (n, k) b_ {k},}$

где s ( n , k ) (строчные буквы s ) - число Стирлинга первого рода.

Берштейн и Sloane (приведены ниже) состояние «Если _п есть число объектов в некотором классе с точками помечены 1, 2, ..., п (со всеми метками различны, т.е. обычных меченые структуры), то б _п есть число объектов с точками, обозначенными 1, 2, ..., n (с допустимым повторением). "

Если

${\ displaystyle f (x) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {a_ {n} \ over n!} x ^ {n}}$

является формальным степенным рядом , и

${\ displaystyle g (x) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {b_ {n} \ over n!} x ^ {n}}$

с a _n и b _n, как указано выше, тогда

${\ Displaystyle г (х) = е (е ^ {х} -1). \,}$

Точно так же обратное преобразование приводит к тождеству производящей функции

${\ Displaystyle е (х) = г (\ журнал (1 + х)).}$

Смотрите также

• Биномиальное преобразование
• Преобразование производящей функции
• Список факториальных и биномиальных тем

Рекомендации

• Бернштейн, М .; Слоан, штат Нью-Джерси (1995). «Некоторые канонические последовательности целых чисел». Линейная алгебра и ее приложения . 226/228: 57–72. arXiv : math / 0205301 . DOI : 10.1016 / 0024-3795 (94) 00245-9 . .
• Христо Н. Бояджиев, Заметки о биномиальном преобразовании, теории и таблице, с приложением о преобразовании Стирлинга (2018), World Scientific.