Теория Штурма – Лиувилля - Sturm–Liouville theory

В математике и ее приложениях классическая теория Штурма – Лиувилля - это теория вещественных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка вида:

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \! \! \ left [\, p (x) {\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm { d} x}} \ right] + q (x) y = - \ lambda \, w (x) y,}

( 1 )

для заданных коэффициентных функций $p (x)$ , $q (x)$ и $w (x)$ и неизвестной функции $y$ от свободной переменной $x$ . Функция $w (x)$ , иногда обозначаемая $r (x)$ , называется функцией веса или плотности . К этому виду сводятся все линейные обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка.

В простейшем случае, когда все коэффициенты непрерывны на конечном отрезке $[a, b]$ и $p$ имеет непрерывную производную, функция $y$ называется решением, если она непрерывно дифференцируема на $(a, b)$ и удовлетворяет уравнению ( 1 ) в каждой точке $(a, b)$ . (В случае более общих $p (x)$ , $q (x)$ , $w (x)$ решения следует понимать в слабом смысле ). Кроме того, $y$ обычно требуется для удовлетворения некоторых граничных условий в точках $a$ и $b$ . Каждое такое уравнение ( 1 ) вместе с его граничными условиями составляет задачу Штурма-Лиувилля (SL).

Значение $λ$ не указывается в уравнении: поиск $λ,$ для которого существует нетривиальное решение, является частью данной SL-задачи. Такие значения $λ$ , если они существуют, называются собственными значениями задачи, а соответствующие решения - собственными функциями, связанными с каждым $λ$ . Эта терминология объясняется тем, что решения соответствуют собственным значениям и собственным функциям одного эрмитова дифференциального оператора в соответствующем функциональном пространстве . Теория Штурма – Лиувилля изучает существование и асимптотическое поведение собственных значений, соответствующую качественную теорию собственных функций и их полноту в функциональном пространстве.

Эта теория важна в прикладной математике, где проблемы SL возникают очень часто, особенно когда речь идет о разделимых линейных уравнениях в частных производных . Например, в квантовой механике одномерное не зависящее от времени уравнение Шредингера является проблемой SL.

Задача Штурма-Лиувилля называется регулярной, если $p (x)$ , $w (x)> 0$ и $p (x)$ , $p' (x)$ , $q (x)$ , $w (x)$ - непрерывные функции над конечным интервал $[a, b]$ , а в задаче разделены граничные условия вида:

{\ displaystyle \ alpha _ {1} y (a) + \ alpha _ {2} y '(a) = 0 \ qquad \ alpha _ {1} ^ {2} + \ alpha _ {2} ^ {2} > 0,}

( 2 )

{\ displaystyle \ beta _ {1} y (b) \, + \, \ beta _ {2} y '(b) = 0 \ qquad \ beta _ {1} ^ {2} + \ beta _ {2} ^ {2}> 0.}

( 3 )

Основной результат теории Штурма – Лиувилля состоит в том, что для регулярной задачи Штурма – Лиувилля ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ):

Собственные значения $λ 1, λ 2, λ 3,\dots$ действительны и могут быть пронумерованы так, чтобы ${\ displaystyle \ lambda _ {1} <\ lambda _ {2} <\ lambda _ {3} <\ cdots <\ lambda _ {n} <\ cdots \ to \ infty;}$
Каждому собственному значению $λ n$ соответствует уникальная (с точностью до постоянного кратного) собственная функция $y n (x)$ с ровно $n -1$ нулями в $(a, b)$ , называемая $n-$ м фундаментальным решением .
Нормализованные собственные функции образуют ортонормированный базис относительно w- взвешенного скалярного произведения в гильбертовом пространстве . То есть: ${\ Displaystyle L ^ {2} ([a, b], w (x) \, dx)}$ ${\ displaystyle \ langle y_ {n}, y_ {m} \ rangle = \ int _ {a} ^ {b} y_ {n} (x) y_ {m} (x) w (x) \, \ mathrm { d} x = \ delta _ {mn},}$ где $δ mn$ - символ Кронекера .

Теория названа в честь Жака Шарля Франсуа Штурма (1803–1855) и Жозефа Лиувилля (1809–1882).

Приведение к форме Штурма – Лиувилля.

Говорят, что дифференциальное уравнение ( 1 ) имеет форму Штурма – Лиувилля или самосопряженную форму . Все линейные обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка могут быть преобразованы в форму, приведенную в левой части ( 1 ), путем умножения обеих частей уравнения на соответствующий интегрирующий коэффициент (хотя это не относится к уравнениям в частных производных второго порядка. , или если $у$ является вектор ). Ниже приведены некоторые примеры.

Уравнение Бесселя

{\ displaystyle x ^ {2} y '' + xy '+ \ left (x ^ {2} - \ nu ^ {2} \ right) y = 0}

который можно записать в форме Штурма – Лиувилля (сначала разделив на x, а затем свернув первые два члена слева в один член) как

{\ displaystyle \ left (xy '\ right)' + \ left (x - {\ frac {\ nu ^ {2}} {x}} \ right) y = 0.}

Уравнение Лежандра

{\ displaystyle \ left (1-x ^ {2} \ right) y '' - 2xy '+ \ nu (\ nu +1) y = 0}

которое легко переписывается в форму Штурма – Лиувилля, поскольку $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} d/d x(1 - x 2 ) = −2 x$ , поэтому уравнение Лежандра эквивалентно

{\ Displaystyle \ влево (\ влево (1-х ^ {2} \ вправо) у '\ вправо)' + \ ню (\ ню +1) у = 0}

Уравнение системы двух тел

{\ displaystyle \ left (Ly '\ right)' + Ly = {\ frac {1} {L}}}

Уравнение системы двух тел описывает эволюцию системы двух тел под действием крутящего момента. Форма уравнения Штурма-Лиувилля помогает понять спектральный состав системы двух тел.

Пример использования интегрирующего множителя

{\ displaystyle x ^ {3} y '' - xy '+ 2y = 0}

Разделите все на $x 3$ :

{\ displaystyle y '' - {\ frac {1} {x ^ {2}}} y '+ {\ frac {2} {x ^ {3}}} y = 0}

Умножив на протяжении с помощью интегрирующего фактора в

{\ displaystyle \ mu (x) = \ exp \ left (\ int - {\ frac {\ mathrm {d} x} {x ^ {2}}} \ right) = e ^ {{1} / {x} },}

дает

{\ displaystyle e ^ {{1} / {x}} y '' - {\ frac {e ^ {{1} / {x}}} {x ^ {2}}} y '+ {\ frac {2e ^ {{1} / {x}}} {x ^ {3}}} y = 0}

который легко переходит в форму Штурма – Лиувилля, поскольку

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} e ^ {{1} / {x}} = - {\ frac {e ^ {{1} / {x}} } {х ^ {2}}}}

так что дифференциальное уравнение эквивалентно

{\ displaystyle \ left (e ^ {{1} / {x}} y '\ right)' + {\ frac {2e ^ {{1} / {x}}} {x ^ {3}}} y = 0.}

Интегрирующий множитель для общего уравнения второго порядка

{\ Displaystyle P (x) y '' + Q (x) y '+ R (x) y = 0}

Умножение на интегрирующий коэффициент

{\ displaystyle \ mu (x) = {\ frac {1} {P (x)}} \ exp \ left (\ int {\ frac {Q (x)} {P (x)}} \, \ mathrm { d} x \ right),}

а затем сбор дает форму Штурма – Лиувилля:

{\ Displaystyle {\ гидроразрыва {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} {\ bigl (} \ mu (x) P (x) y '{\ bigr)} + ​​\ mu (x) R (x) y = 0,}

или явно:

{\ Displaystyle {\ гидроразрыва {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ left (\ exp \ left (\ int {\ frac {Q (x)} {P (x)}} \, \ mathrm {d} x \ right) y '\ right) + {\ frac {R (x)} {P (x)}} \ exp \ left (\ int {\ frac {Q (x)} {P ( x)}} \, \ mathrm {d} x \ right) y = 0.}

Уравнения Штурма – Лиувилля как самосопряженные дифференциальные операторы

Отображение определяется:

{\ displaystyle Lu = - {\ frac {1} {w (x)}} \ left ({\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ left [p (x) \, {\ frac {\ mathrm {d} u} {\ mathrm {d} x}} \ right] + q (x) u \ right)}

можно рассматривать как линейный оператор $L,$ отображающий функцию $u$ в другую функцию $Lu$ , и его можно изучать в контексте функционального анализа . Фактически уравнение ( 1 ) можно записать как

{\ displaystyle Lu = \ lambda u.}

Это как раз проблема собственных значений ; то есть, один ищет собственные значения $Х 1, λ 2, λ 3, ...$ , и соответствующие собственные векторы $U 1, U 2, U 3, ...$ из $L$ оператора. Правильная постановка этой проблемы - гильбертово пространство со скалярным произведением ${\ Displaystyle L ^ {2} ([a, b], w (x) \, dx)}$

{\ displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {a} ^ {b} {\ overline {f (x)}} g (x) w (x) \, \ mathrm {d} x.}

В этом пространстве $L$ определена на достаточно гладких функциях, удовлетворяющих указанным выше регулярным граничным условиям. Более того, L - самосопряженный оператор:

{\ displaystyle \ langle Lf, g \ rangle = \ langle f, Lg \ rangle.}

Формально это можно увидеть, если использовать интегрирование по частям дважды, когда граничные члены обращаются в нуль в силу граничных условий. Отсюда следует, что собственные значения оператора Штурма – Лиувилля вещественны и что собственные функции оператора $L,$ соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. Однако этот оператор неограничен, поэтому существование ортонормированного базиса собственных функций не очевидно. Чтобы преодолеть эту проблему, нужно взглянуть на резольвенту

{\ displaystyle \ left (Lz \ right) ^ {- 1}, \ qquad z \ in \ mathbb {C},}

где $z$ выбрано как некоторое действительное число, которое не является собственным значением. Тогда вычисление резольвенты сводится к решению неоднородного уравнения, что можно сделать, используя формулу вариации параметров . Это показывает, что резольвента является интегральным оператором с непрерывным симметричным ядром ( функция Грина задачи). Как следствие теоремы Арзела – Асколи , этот интегральный оператор компактен, и существование последовательности собственных значений $α n,$ сходящихся к 0, и собственных функций, образующих ортонормированный базис, следует из спектральной теоремы для компактных операторов . Наконец, обратите внимание, что

{\ Displaystyle \ влево (Lz \ вправо) ^ {- 1} и = \ альфа и, \ qquad Lu = \ влево (г + \ альфа ^ {- 1} \ вправо) и,}

эквивалентны, поэтому мы можем взять с теми же собственными функциями. ${\ Displaystyle \ лямбда = г + \ альфа ^ {- 1}}$

Если интервал неограничен или коэффициенты имеют особенности в граничных точках, $L$ называют сингулярным. В этом случае спектр больше не состоит из одних только собственных значений и может содержать непрерывную составляющую. По-прежнему существует связанное с ним разложение по собственным функциям (аналогично ряду Фурье по сравнению с преобразованием Фурье). Это важно в квантовой механике , поскольку одномерное не зависящее от времени уравнение Шредингера является частным случаем уравнения SL.

Приложение к неоднородным краевым задачам второго порядка

Рассмотрим общее неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка

{\ Displaystyle P (x) y '' + Q (x) y '+ R (x) y = f}

для заданных функций . Как и раньше, это можно свести к форме SL : написать общий оператор SL как:

{\ Displaystyle P (x), Q (x), R (x), f (x)}

{\ displaystyle Ly = f}

{\ displaystyle Lu = {\ frac {p} {w (x)}} u '' + {\ frac {p '} {w (x)}} u' + {\ frac {q} {w (x) }} u,}

один решает систему:

{\ displaystyle p = Pw, \ quad p '= Qw, \ quad q = Rw.}

Достаточно решить первые два уравнения, что сводится к решению $(Pw) ' = Qw$ , или

{\ displaystyle w '= {\ frac {Q-P'} {P}} w: = \ alpha w.}

Решение:

{\ displaystyle w = \ exp \ left (\ int \ alpha \, \ mathrm {d} x \ right), \ quad p = P \ exp \ left (\ int \ alpha \, \ mathrm {d} x \ right ), \ quad q = R \ exp \ left (\ int \ alpha \, \ mathrm {d} x \ right).}

Учитывая это преобразование, остается решить:

{\ displaystyle Ly = f.}

В общем случае, если в некоторой точке указаны начальные условия, например $y (a) = 0$ и $y' (a) = 0$ , дифференциальное уравнение второго порядка может быть решено с использованием обычных методов, а теорема Пикара – Линделёфа гарантирует, что дифференциальное уравнение уравнение имеет единственное решение в окрестности точки, в которой заданы начальные условия.

Но если вместо задания начальных значений в одной точке желательно указать значения в двух разных точках (так называемые граничные значения), например, $y (a) = 0$ и $y (b) = 1$ , проблема оказывается быть намного сложнее. Обратите внимание, что, добавляя подходящую известную дифференцируемую функцию к $y$ , значения которой в $a$ и $b$ удовлетворяют желаемым граничным условиям, и вводя внутрь предлагаемого дифференциального уравнения, можно без ограничения общности предположить, что граничные условия имеют вид $y (а) = 0$ и $y (b) = 0$ .

Здесь в игру вступает теория Штурма – Лиувилля: действительно, большой класс функций $f$ может быть расширен с помощью ряда ортонормированных собственных функций $u i$ ассоциированного оператора Лиувилля с соответствующими собственными значениями $λ i$ :

{\ displaystyle f (x) = \ sum _ {i} \ alpha _ {i} u_ {i} (x), \ quad \ alpha _ {i} \ in {\ mathbb {R}}.}

Тогда решение предложенного уравнения очевидно:

{\ displaystyle y = \ sum _ {i} {\ frac {\ alpha _ {i}} {\ lambda _ {i}}} u_ {i}.}

Это решение будет действительным только в открытом интервале $a < x < b$ и может потерпеть неудачу на границах.

Пример: ряд Фурье

Рассмотрим проблему Штурма – Лиувилля:

{\ displaystyle Lu = - {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} x ^ {2}}} = \ lambda u}

( 4 )

для неизвестных $λ$ и $u (x)$ . В качестве граничных условий возьмем, например:

{\ Displaystyle и (0) = и (\ пи) = 0.}

Заметим, что если $k$ - любое целое число, то функция

{\ Displaystyle и_ {к} (х) = \ грех kx}

- решение с собственным значением $λ = k 2$ . Мы знаем, что решения SL-задачи образуют ортогональный базис , и мы знаем из рядов Фурье, что этот набор синусоидальных функций является ортогональным базисом. Поскольку ортогональные базисы всегда максимальны (по определению), мы заключаем, что задача SL в этом случае не имеет других собственных векторов.

Учитывая вышесказанное, давайте теперь решим неоднородную задачу

{\ Displaystyle Ly = х, \ qquad х \ in (0, \ pi)}

с такими же граничными условиями . В этом случае мы должны разложить $f$ $($ $x$ $) =$ $x$ в ряд Фурье. Читатель может проверить, либо интегрировав $\int$ $e$ $ikx$ $x$ $d$ $x,$ либо обратившись к таблице преобразований Фурье, что, таким образом, мы получаем ${\ Displaystyle у (0) = у (\ пи) = 0}$

{\ displaystyle Ly = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} -2 {\ frac {\ left (-1 \ right) ^ {k}} {k}} \ sin kx.}

Этот конкретный ряд Фурье вызывает затруднения из-за его плохой сходимости. Не ясно , априори ли точечно ряд сходится. Из анализа Фурье, так как коэффициенты Фурье являются « квадратично суммируемых », сходится ряд Фурье в $L 2$ , который все , что нужно для этой конкретной теории к функции. Отметим для заинтересованного читателя, что в этом случае мы можем полагаться на результат, который гласит, что ряды Фурье сходятся в каждой точке дифференцируемости, а в точках скачка (функция x , рассматриваемая как периодическая функция, имеет скачок в точке $π$ ) сходится к среднему от левого и правого пределов (см. сходимость ряда Фурье ).

Следовательно, используя формулу ( 4 ), получаем решение:

{\ displaystyle y = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} 2 {\ frac {(-1) ^ {k}} {k ^ {3}}} \ sin kx = {\ tfrac {1} {6}} (x ^ {3} - \ pi ^ {2} x).}

В этом случае мы могли бы найти ответ, используя антидифференциацию , но это больше не полезно в большинстве случаев, когда дифференциальное уравнение состоит из многих переменных.

Приложение к уравнениям в частных производных

Нормальные режимы

Некоторые уравнения в частных производных могут быть решены с помощью теории SL. Предположим, нас интересуют колебательные моды тонкой мембраны, удерживаемой в прямоугольной рамке, $0 \leq x \leq L 1$ , $0 \leq y \leq L 2$ . Уравнение движения для вертикального смещения мембраны $W (x, y, t)$ задается волновым уравнением :

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} W} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} W} {\ partial y ^ {2}}} = { \ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} W} {\ partial t ^ {2}}}.}

Метод разделения переменных предполагает поиск в первую очередь решений простого вида $W = X (x) \times Y (y) \times T (t)$ . Для такой функции $W$ уравнение в частных производных принимает вид $X ″ / Икс + Y ″ / Y знак равно 1 / с 2 Т ″ / Т$ . Поскольку три члена этого уравнения являются функциями $x, y, t по$ отдельности, они должны быть константами. Например, первый член дает $X ″ = λX$ для постоянной $λ$ . Граничные условия («удерживаемые в прямоугольной рамке») равны $W = 0,$ когда $x = 0$ , $L 1$ или $y = 0$ , $L 2,$ и определяют простейшие возможные проблемы собственных значений SL, как в примере, приводя к «решениям для нормального режима». для $W$ с гармонической зависимостью от времени,

{\ Displaystyle W_ {mn} (x, y, t) = A_ {mn} \ sin \ left ({\ frac {m \ pi x} {L_ {1}}} \ right) \ sin \ left ({\ гидроразрыв {n \ pi y} {L_ {2}}} \ right) \ cos \ left (\ omega _ {mn} t \ right)}

где $m$ и $n$ - ненулевые целые числа , $A mn$ - произвольные постоянные и

{\ displaystyle \ omega _ {mn} ^ {2} = c ^ {2} \ left ({\ frac {m ^ {2} \ pi ^ {2}} {L_ {1} ^ {2}}} + {\ frac {n ^ {2} \ pi ^ {2}} {L_ {2} ^ {2}}} \ right).}

Функции $W mn$ составляют основу гильбертова пространства (обобщенных) решений волнового уравнения; то есть произвольное решение $W$ можно разложить на сумму этих мод, которые колеблются на своих индивидуальных частотах $ω mn$ . Это представление может потребовать сходящейся бесконечной суммы.

Линейное уравнение второго порядка

Для линейного второго порядка в одном пространственном измерении и первого порядка по времени формы:

{\ Displaystyle е (х) {\ гидроразрыва {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}}} + g (x) {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} + ч (x) u = {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} + k (t) u,}

{\ displaystyle u (a, t) = u (b, t) = 0, \ qquad u (x, 0) = s (x).}

Разделяя переменные, мы предполагаем, что

{\ displaystyle u (x, t) = X (x) T (t).}

Тогда наше вышеупомянутое уравнение в частных производных можно записать как:

{\ displaystyle {\ frac {{\ hat {L}} X (x)} {X (x)}} = {\ frac {{\ hat {M}} T (t)} {T (t)}} }

куда

{\ Displaystyle {\ шляпа {L}} = е (х) {\ гидроразрыва {\ mathrm {d} ^ {2}} {\ mathrm {d} x ^ {2}}} + g (x) {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} + h (x), \ qquad {\ hat {M}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} } + k (t).}

Поскольку по определению $L̂$ и $X (x)$ не зависят от времени $t,$ а $M̂$ и $T (t)$ не зависят от положения $x$ , то обе части приведенного выше уравнения должны быть равны константе:

{\ Displaystyle {\ шляпа {L}} Икс (х) = \ лямбда Х (х), \ qquad X (a) = X (b) = 0, \ qquad {\ hat {M}} T (t) = \ lambda T (t).}

Первое из этих уравнений должно быть решено как задача Штурма – Лиувилля в терминах собственных функций $X n (x)$ и собственных значений $λ n$ . Второе из этих уравнений может быть решено аналитически, если известны собственные значения.

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} T_ {n} (t) = {\ bigl (} \ lambda _ {n} -k (t) {\ bigr) } T_ {n} (t)}

{\ Displaystyle T_ {n} (t) = a_ {n} \ exp \ left (\ lambda _ {n} t- \ int _ {0} ^ {t} k (\ tau) \, \ mathrm {d} \ тау \ право)}

{\ displaystyle u (x, t) = \ sum _ {n} a_ {n} X_ {n} (x) \ exp \ left (\ lambda _ {n} t- \ int _ {0} ^ {t} к (\ тау) \, \ mathrm {д} \ тау \ право)}

{\ displaystyle a_ {n} = {\ frac {{\ bigl \ langle} X_ {n} (x), s (x) {\ bigr \ rangle}} {{\ bigl \ langle} X_ {n} (x ), X_ {n} (x) {\ bigr \ rangle}}}}

куда

{\ Displaystyle {\ bigl \ langle} y (x), z (x) {\ bigr \ rangle} = \ int _ {a} ^ {b} y (x) z (x) w (x) \, \ mathrm {d} x,}

{\ displaystyle w (x) = {\ frac {\ exp \ left (\ int {\ frac {g (x)} {f (x)}} \, \ mathrm {d} x \ right)} {f ( Икс)}}.}

Представление решений и численный расчет

Дифференциальное уравнение Штурма – Лиувилля ( 1 ) с граничными условиями может быть решено аналитически, которое может быть точным или обеспечивать приближение, методом Рэлея – Ритца или матрично-вариационным методом Герка и др.

В количественном отношении также доступны различные методы. В сложных случаях может потребоваться выполнить промежуточные вычисления с точностью до нескольких сотен десятичных знаков, чтобы правильно получить собственные значения с точностью до нескольких десятичных знаков.

Методы стрельбы
Метод конечных разностей
Метод спектральных параметров степенного ряда

Методы стрельбы

Методы съемки основываются на угадывании значения $λ$ , решении задачи начального значения, определенной граничными условиями в одной конечной точке, скажем, $a$ , интервала $[a, b]$ , сравнении значения, которое это решение принимает в другой конечной точке $b,$ с другое желаемое граничное условие и, наконец, увеличение или уменьшение $λ по$ мере необходимости для корректировки исходного значения. Эта стратегия не применима для поиска сложных собственных значений.

Метод спектральных параметров степенного ряда

Метод спектральных параметров степенного ряда (SPPS) использует обобщение следующего факта об обыкновенных дифференциальных уравнениях второго порядка: если $y$ - решение, которое не обращается в нуль ни в одной точке $[a, b]$ , то функция

{\ displaystyle y (x) \ int _ {a} ^ {x} {\ frac {\ mathrm {d} t} {p (t) y (t) ^ {2}}}}

является решением того же уравнения и линейно не зависит от

y

. Кроме того, все решения являются линейными комбинациями этих двух решений. В алгоритме SPPS нужно начинать с произвольного значения

λ * 0

(часто

λ * 0 = 0

; оно не обязательно должно быть собственным значением) и любое решение

y 0

уравнения ( 1 ) с

λ = λ * 0

которое не обращается в нуль на

[a, b]

. (Обсуждение ниже способов найти подходящие

y 0

и

λ * 0

.) Две последовательности функций

X (n) (t)

,

X̃ (n) (t)

на

[a, b]

, называемые повторными интегралами , рекурсивно определяются следующим образом. Сначала, когда

n = 0

, они считаются равными 1 на

[a, b]

. Для получения следующих функций их поочередно умножают на

1 / ру 20

и

wy 20

и интегрированы, в частности, для

n > 0

:

{\ displaystyle X ^ {(n)} (t) = {\ begin {cases} \ displaystyle - \ int _ {a} ^ {x} X ^ {(n-1)} (t) p (t) ^ {-1} y_ {0} (t) ^ {- 2} \, \ mathrm {d} t & n {\ text {odd}}, \\ [6pt] \ displaystyle \ quad \ int _ {a} ^ {x } X ^ {(n-1)} (t) y_ {0} (t) ^ {2} w (t) \, \ mathrm {d} t & n {\ text {even}} \ end {cases}}}

( 5 )

{\ displaystyle {\ tilde {X}} ^ {(n)} (t) = {\ begin {cases} \ displaystyle \ quad \ int _ {a} ^ {x} {\ tilde {X}} ^ {( n-1)} (t) y_ {0} (t) ^ {2} w (t) \, \ mathrm {d} t & n {\ text {odd}}, \\ [6pt] \ displaystyle - \ int _ {a} ^ {x} {\ tilde {X}} ^ {(n-1)} (t) p (t) ^ {- 1} y_ {0} (t) ^ {- 2} \, \ mathrm {d} t & n {\ text {даже.}} \ end {case}}}

( 6 )

Полученные повторные интегралы теперь применяются как коэффициенты в следующих двух степенных рядах по λ :

{\ displaystyle u_ {0} = y_ {0} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \ left (\ lambda - \ lambda _ {0} ^ {*} \ right) ^ {k} {\ тильда {X}} ^ {(2k)},}

{\ displaystyle u_ {1} = y_ {0} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \ left (\ lambda - \ lambda _ {0} ^ {*} \ right) ^ {k} X ^ {(2k + 1)}.}

Тогда для любого

λ

(действительного или комплексного)

u 0

и

u 1

являются линейно независимыми решениями соответствующего уравнения ( 1 ). (Функции

p (x)

и

q (x)

участвуют в этой конструкции, поскольку они влияют на выбор

y 0.

)

Затем выбираются коэффициенты $c 0$ и $c 1$ так, чтобы комбинация $y = c 0 u 0 + c 1 u 1$ удовлетворяла первому граничному условию ( 2 ). Это просто сделать, поскольку $X (n) (a) = 0$ и $X̃ (n) (a) = 0$ для $n > 0$ . Значения $X (n) (b)$ и $X̃ (n) (b)$ обеспечивают значения $u 0 (b)$ и $u 1 (b)$ и производные $u' 0 (b)$ и $u' 0 (b)$ , таким образом, второе граничное условие ( 3 ) становится уравнением в степенном ряду по $λ$ . Для численной работы можно усечь этот ряд до конечного числа членов, получив вычисляемый многочлен от $λ$ , корни которого являются приближениями искомых собственных значений.

Когда $λ = λ 0$ , это сводится к описанной выше исходной конструкции для решения, линейно независимого от данного. Представления ( 5 ) и ( 6 ) также имеют теоретические приложения в теории Штурма – Лиувилля.

Построение неисчезающего решения

Сам метод SPPS может быть использован для нахождения начального решения $y 0$ . Рассмотрим уравнение $(py') ' = μqy$ ; т.е. $q$ , $w$ и $λ$ заменяются в ( 1 ) на 0, $- q$ и $μ$ соответственно. Тогда постоянная функция 1 является ненулевым решением, соответствующим собственному значению $μ 0 = 0$ . Хотя нет гарантии, что $u 0$ или $u 1$ не обратятся в нуль, комплексная функция $y 0 = u 0 + iu 1$ никогда не обратится в нуль, потому что два линейно независимых решения регулярного уравнения SL не могут исчезнуть одновременно из-за разделения Штурма. теорема . Этот прием дает решение $y 0$ уравнения ( 1 ) для значения $λ 0 = 0$ . На практике, если ( 1 ) имеет действительные коэффициенты, решения, основанные на $y 0,$ будут иметь очень маленькие мнимые части, которые необходимо отбросить.

Смотрите также

использованная литература

дальнейшее чтение

"Теория Штурма – Лиувилля" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Хартман, Филип (2002). Обыкновенные дифференциальные уравнения (2-е изд.). Филадельфия: СИАМ . ISBN 978-0-89871-510-1.
Полянин, А.Д., Зайцев, В.Ф. (2003). Справочник по точным решениям обыкновенных дифференциальных уравнений (2-е изд.). Бока-Ратон: Chapman & Hall / CRC Press. ISBN 1-58488-297-2.
Тешл, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы . Провиденс : Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-8328-0. (Глава 5)
Тешл, Джеральд (2009). Математические методы в квантовой механике; С приложениями к операторам Шредингера . Провиденс : Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-4660-5. (сингулярные SL-операторы и связи с квантовой механикой см. в главе 9)
Зеттл, Антон (2005). Теория Штурма – Лиувилля . Провиденс : Американское математическое общество . ISBN 0-8218-3905-5.
Биркгоф, Гарретт (1973). Справочник по классическому анализу . Кембридж, Массачусетс : Издательство Гарвардского университета . ISBN 0-674-82245-5. (См. Главу 8, часть B, где можно найти отрывки из произведений Штурма и Лиувилля и комментарии к ним.)
Кравченко, Владислав (2020). Прямая и обратная задачи Штурма-Лиувилля: метод решения . Чам: Биркхойзер . ISBN 978-3-030-47848-3.

Languages

In other projects