Подфункция - Subfunctor
В теории категорий , разделе математики , подфунктор - это особый тип функтора, который является аналогом подмножества .
Определение
Пусть C - категория , и пусть F - контравариантный функтор из C в категорию множеств Set . Контравариантный функтор G от C до Set является подфунктором из F , если
- Для всех объектов C из C , G ( гр ) ⊆ F ( гр ), и
- Для всех стрелок F : C '→ C из C , G ( е ) является ограничение на F ( ф ) до G ( гр ).
Это соотношение часто записывается как G ⊆ F .
Например, пусть 1 будет категорией с одним объектом и одной стрелкой. Функтор F : 1 → Set отображает уникальный объект 1 до некоторого множества S и уникальной идентичности стрелка 1 к идентичности функции 1 S на S . Подфунктор G из F отображает уникальный объект 1 на подмножества Т из S и отображает уникальную идентификационную стрелку функция тождества 1 Т на Т . Обратите внимание , что 1 Т есть ограничение 1 S к T . Следовательно, подфункторы F соответствуют подмножествам S .
Замечания
Подфункции в целом похожи на глобальные версии подмножеств. Например, если представить объекты некоторой категории C аналогами открытых множеств топологического пространства, то контравариантный функтор из C в категорию множеств дает многозначный предпучок на C , то есть связывает множества к объектам C таким образом , который совместим с стрелами C . Затем подфункция связывает подмножество с каждым набором, опять же совместимым образом.
Наиболее важными примерами подфункторов являются подфункторы функтора Hom . Пусть c - объект категории C , и рассмотрим функтор Hom (-, c ) . Этот функтор берет объект c ′ из C и возвращает все морфизмы c ′ → c . Подфунктор Hom (-, c ) возвращает только некоторые из морфизмов. Такой подфунктор называется решетом и обычно используется при определении топологий Гротендика .
Открытые подфункторы
Подфункторы также используются при построении представимых функторов в категории окольцованных пространств . Пусть F контравариантный функтор из категории окольцованных пространств в категорию множеств, и пусть G ⊆ F . Предположим, что этот морфизм включения G → F представим открытыми погружениями, т. Е. Для любого представимого функтора Hom (-, X ) и любого морфизма Hom (-, X ) → F расслоенное произведение G × F Hom (-, X ) является представимым функтором Hom (-, Y ), а морфизм Y → X, определенный леммой Йонеды, является открытым погружением. Тогда G называется открытым подфунктором из F . Если F покрывается представимыми открытыми подфункторами, то при определенных условиях можно показать, что F представимо. Это полезный прием для построения окольцованных пространств. Он был открыт и активно использовался Александром Гротендиком , особенно применившим его к схемам . Формальное утверждение и доказательство см. В Grothendieck, Éléments de géométrie algébrique , vol. 1, 2-е изд., Глава 0, раздел 4.5.