Субъективная логика - Subjective logic

Субъективная логика - это тип вероятностной логики, которая явно принимает во внимание эпистемическую неопределенность и доверие к источнику. В целом субъективная логика подходит для моделирования и анализа ситуаций, связанных с неопределенностью и относительно ненадежными источниками. Например, его можно использовать для моделирования и анализа сетей доверия и байесовских сетей .

Аргументы в субъективной логике - это субъективные мнения о переменных состояния, которые могут принимать значения из домена (также известного как пространство состояний), где значение состояния можно рассматривать как утверждение, которое может быть истинным или ложным. Биномиальное мнение применяется к двоичной переменной состояния и может быть представлено как бета-версия PDF (функция плотности вероятности). Мультиномиальное мнение применяется к переменной состояния с несколькими возможными значениями и может быть представлено как PDF Дирихле (функция плотности вероятности). Через соответствие между мнениями и распределениями Бета / Дирихле субъективная логика предоставляет алгебру для этих функций. Мнения также связаны с репрезентацией убеждений в теории убеждений Демпстера – Шафера .

Фундаментальный аспект человеческого состояния состоит в том, что никто никогда не может определить с абсолютной уверенностью, истинно или ложно утверждение о мире. Кроме того, всякий раз, когда истина предложения выражается, это всегда делает человек, и это никогда нельзя рассматривать как представление общего и объективного убеждения. Эти философские идеи напрямую отражены в математическом формализме субъективной логики.

Субъективные мнения

Субъективные мнения выражают субъективные убеждения об истинности государственных ценностей / утверждений со степенью эпистемической неопределенности и могут явно указывать на источник веры, когда это необходимо. Мнение, как правило , обозначаются как , где есть источник , по мнению, и является переменным состоянием , к которому относится мнение. Переменная может принимать значения из домена (также называемого пространством состояний), например, обозначенного как . Предполагается, что значения домена являются исчерпывающими и взаимно непересекающимися, и предполагается, что источники имеют общую семантическую интерпретацию домена. Источник и переменная являются атрибутами мнения. Указание источника можно не указывать, если оно не имеет значения. ${\ displaystyle \ omega _ {X} ^ {A}}$${\ Displaystyle А \, \!}$${\ Displaystyle X \, \!}$${\ Displaystyle X \, \!}$${\ Displaystyle \ mathbb {X}}$

Биномиальные мнения

Позвольте быть значением состояния в двоичной области. Биномиальное мнение об истинности значения состояния - это упорядоченная четверка, где: ${\ Displaystyle х \, \!}$${\ Displaystyle х \, \!}$${\ displaystyle \ omega _ {x} = (b_ {x}, d_ {x}, u_ {x}, a_ {x}) \, \!}$

${\ displaystyle b_ {x} \, \!}$ : масса веры	это вера, которая истинна. ${\ Displaystyle х \, \!}$
${\ Displaystyle d_ {х} \, \!}$ : масса неверия	это вера, которая ложна. ${\ Displaystyle х \, \!}$
${\ Displaystyle и_ {х} \, \!}$ : масса неопределенности	это количество незарегистрированных убеждений, также интерпретируемое как эпистемическая неопределенность .
${\ Displaystyle а_ {х} \, \!}$ : базовая ставка	это априорная вероятность при отсутствии веры или неверия.

Эти компоненты удовлетворяют и . Ниже перечислены характеристики различных категорий мнений. ${\ displaystyle b_ {x} + d_ {x} + u_ {x} = 1 \, \!}$${\ displaystyle b_ {x}, d_ {x}, u_ {x}, a_ {x} \ in [0,1] \, \!}$

Мнение	где ${\ displaystyle b_ {x} = 1 \, \!}$	является абсолютным мнением, которое эквивалентно логическому ИСТИНА,
	где ${\ displaystyle d_ {x} = 1 \, \!}$	является абсолютным мнением, которое эквивалентно логическому FALSE,
	где ${\ displaystyle b_ {x} + d_ {x} = 1 \, \!}$	является догматическим мнением, эквивалентным традиционной вероятности,
	где ${\ displaystyle b_ {x} + d_ {x} <1 \, \!}$	является неопределенным мнением, которое выражает степень эпистемической неопределенности , и
	где ${\ displaystyle b_ {x} + d_ {x} = 0 \, \!}$	это пустое мнение, которое выражает полную эпистемическую неопределенность или полную пустоту убеждений.

Прогнозируемая вероятность биномиального мнения определяется как . ${\ displaystyle \ mathrm {P} _ {x} = b_ {x} + a_ {x} u_ {x} \, \!}$

Биномиальные мнения можно представить в виде равностороннего треугольника, как показано ниже. Точка внутри треугольника представляет тройку. Б , д , у -axes работать от одного края к противоположной вершине , указанной Belief, Неверие или метка неопределенности. Например, сильное положительное мнение представлено точкой в ​​правом нижнем углу веры. Базовая ставка, также называемая априорной вероятностью, отображается в виде красного указателя вдоль базовой линии, а прогнозируемая вероятность формируется путем проецирования мнения на базу, параллельно линии проекции базовой скорости. Мнения о трех значениях / предложениях X, Y и Z визуализируются на треугольнике слева, а их эквивалентные бета-функции плотности вероятности (Probability Density Functions) визуализируются на графиках справа. Также показаны числовые значения и словесные качественные описания каждого мнения. ${\ displaystyle (b_ {x}, d_ {x}, u_ {x}) \, \!}$${\ displaystyle \ mathrm {P} _ {x} \, \!}$

Beta PDF обычно обозначается как , где и являются его двумя параметрами прочности. Бета-PDF биномиального мнения - это функция, в которой - неинформативный априорный вес, также называемый единицей доказательства, обычно установленный на . ${\ Displaystyle \ mathrm {Бета} (п (х); \ альфа, \ бета) \, \!}$${\ Displaystyle \ альфа \, \!}$${\ Displaystyle \ бета \, \!}$${\ displaystyle \ omega _ {x} = (b_ {x}, d_ {x}, u_ {x}, a_ {x}) \, \!}$${\ displaystyle \ mathrm {Beta} (p (x); \ alpha, \ beta) {\ mbox {where}} {\ begin {cases} \ alpha & = {\ frac {Wb_ {x}} {u_ {x }}} + Wa_ {x} \\\ beta & = {\ frac {Wd_ {x}} {u_ {x}}} + W (1-a_ {x}) \ end {ases}} \, \! }$${\ displaystyle W}$${\ Displaystyle W = 2}$

Мультиномиальные мнения

Позвольте быть переменной состояния, которая может принимать значения состояния . Мультиномиальное мнение - это составной кортеж , где - распределение массы убеждений по возможным значениям состояния , - масса неопределенности и - априорное (базовое) распределение вероятностей по возможным значениям состояния . Эти параметры удовлетворяют и как . ${\ Displaystyle X \, \!}$${\ Displaystyle х \ в \ mathbb {X} \, \!}$${\ Displaystyle X \, \!}$${\ Displaystyle \ omega _ {X} = (b_ {X}, u_ {X}, a_ {X}) \, \!}$${\ displaystyle b_ {X} \, \!}$${\ Displaystyle X \, \!}$${\ Displaystyle и_ {Х} \, \!}$${\ displaystyle a_ {X} \, \!}$${\ Displaystyle X \, \!}$${\ Displaystyle и_ {Х} + \ сумма b_ {Х} (х) = 1 \, \!}$${\ Displaystyle \ сумма а_ {Х} (х) = 1 \, \!}$${\ Displaystyle b_ {X} (х), u_ {X}, a_ {X} (x) \ in [0,1] \, \!}$

Трехчленные мнения можно просто визуализировать как точки внутри тетраэдра , но мнения с размерами больше трехчлена не поддаются простой визуализации.

PDF Дирихле обычно обозначают как где - распределение вероятностей по значениям состояния , а - параметры прочности. PDF Дирихле полиномиального заключения - это функция, в которой параметры силы задаются формулой , где - неинформативный априорный вес, также называемый единицей доказательства, обычно установленный на . ${\ Displaystyle \ mathrm {Dir} (p_ {X}; \ alpha _ {X}) \, \!}$${\ displaystyle p_ {X} \, \!}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle \ альфа _ {X} \, \!}$${\ Displaystyle \ omega _ {X} = (b_ {X}, u_ {X}, a_ {X}) \, \!}$${\ displaystyle \ mathrm {Dir} (p_ {X}; \ alpha _ {X})}$${\ displaystyle \ alpha _ {X} (x) = {\ frac {Wb_ {X} (x)} {u_ {X}}} + Wa_ {X} (x) \, \!}$${\ displaystyle W}$${\ Displaystyle W = 2}$

Операторы

Большинство операторов в таблице ниже являются обобщениями бинарной логики и операторов вероятности. Например, сложение - это просто обобщение сложения вероятностей. Некоторые операторы имеют смысл только для объединения биномиальных мнений, а некоторые также применимы к полиномиальным мнениям. Большинство операторов бинарны, но дополнение - унарное, а абдукция - троичное. См. Ссылки на публикации для математических деталей каждого оператора.

Субъективные логические операторы, обозначения и соответствующие пропозициональные / бинарные логические операторы

Субъективный логический оператор	Обозначение оператора	Пропозициональный / бинарный логический оператор
Дополнение	${\ displaystyle \ omega _ {x \ cup y} ^ {A} = \ omega _ {x} ^ {A} + \ omega _ {y} ^ {A} \, \!}$	Союз
Вычитание	${\ displaystyle \ omega _ {x \ backslash y} ^ {A} = \ omega _ {x} ^ {A} - \ omega _ {y} ^ {A} \, \!}$	Разница
Умножение	${\ displaystyle \ omega _ {x \ land y} ^ {A} = \ omega _ {x} ^ {A} \ cdot \ omega _ {y} ^ {A} \, \!}$	Соединение / И
Деление	${\ displaystyle \ omega _ {x {\ overline {\ land}} y} ^ {A} = \ omega _ {x} ^ {A} / \ omega _ {y} ^ {A} \, \!}$	Несоединение / UN-AND
Умножение	${\ displaystyle \ omega _ {x \ lor y} ^ {A} = \ omega _ {x} ^ {A} \ sqcup \ omega _ {y} ^ {A} \, \!}$	Дизъюнкция / ИЛИ
Codivision	${\ displaystyle \ omega _ {x {\ overline {\ lor}} y} ^ {A} = \ omega _ {x} ^ {A} \; {\ overline {\ sqcup}} \; \ omega _ {y } ^ {A} \, \!}$	Нерасхождение / UN-OR
Дополнение	${\ displaystyle \ omega _ {\ overline {x}} ^ {A} \; \; = \ lnot \ omega _ {x} ^ {A} \, \!}$	НЕ
Удержание	${\ displaystyle \ omega _ {Y \ | X} ^ {A} = \ omega _ {Y | X} ^ {A} \ circledcirc \ omega _ {X} ^ {A} \, \!}$	Modus ponens
Субъективная теорема Байеса	${\ displaystyle \ omega _ {X {\ tilde {|}} Y} ^ {A} = \ omega _ {Y | X} ^ {A} \; {\ widetilde {\ phi \,}} \; a_ { ИКС}\,\!}$	Противопоставление
Похищение	${\ displaystyle \ omega _ {X {\ widetilde {\ |}} Y} ^ {A} = \ omega _ {Y | X} ^ {A} \; {\ widetilde {\ circledcirc}} \; (a_ { X}, \ omega _ {Y} ^ {A}) \, \!}$	Modus tollens
Транзитивность / дисконтирование	${\ displaystyle \ omega _ {X} ^ {A; B} = \ omega _ {B} ^ {A} \ otimes \ omega _ {X} ^ {B} \, \!}$	на
Накопительный синтез	${\ displaystyle \ omega _ {X} ^ {A \ diamond B} = \ omega _ {X} ^ {A} \ oplus \ omega _ {X} ^ {B} \, \!}$	на
Слияние ограничений	${\ displaystyle \ omega _ {X} ^ {A \ & B} = \ omega _ {X} ^ {A} \; \ odot \; \ omega _ {X} ^ {B} \, \!}$	на

Комбинация переходных источников может быть обозначена в компактной или развернутой форме. Например, транзитивный путь доверия от аналитика / источника через источник к переменной может быть обозначен как в компактной форме, так и в развернутой форме. Здесь выражает, что имеет некоторое доверие / недоверие к источнику , тогда как выражает, что имеет мнение о состоянии переменной, которое дается в качестве совета . Расширенная форма является наиболее общей и напрямую соответствует способу формирования субъективных логических выражений с помощью операторов. ${\ Displaystyle А \, \!}$${\ Displaystyle B \, \!}$${\ Displaystyle X \, \!}$${\ Displaystyle [А; В, Х] \, \!}$${\ Displaystyle [A; B]: [B, X] \, \!}$${\ Displaystyle [А; В] \, \!}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ Displaystyle [B, X] \, \!}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle A}$

Свойства

В случае, если мнения аргументов эквивалентны логическому ИСТИНА или ЛОЖЬ, результат любого оператора субъективной логики всегда равен результату соответствующего пропозиционального / бинарного логического оператора. Точно так же, когда аргументы мнений эквивалентны традиционным вероятностям, результат любого оператора субъективной логики всегда равен результату соответствующего оператора вероятности (если он существует).

В случае, если аргументные мнения содержат степени неопределенности, операторы, включающие умножение и деление (включая дедукцию, абдукцию и теорему Байеса), будут производить производные мнения, которые всегда имеют правильную прогнозируемую вероятность, но, возможно, с приблизительной дисперсией, когда рассматриваются как PDF-файлы Бета / Дирихле. Все другие операторы дают заключения, в которых прогнозируемые вероятности и дисперсия всегда аналитически верны.

Различные логические формулы, которые традиционно эквивалентны в логике высказываний, не обязательно имеют одинаковые мнения. Например, в целом, хотя дистрибутивность конъюнкции над дизъюнкцией, выраженная как , сохраняется в бинарной логике высказываний. Это неудивительно, поскольку соответствующие операторы вероятностей также не являются распределительными. Однако умножение является распределительным по сравнению с сложением, что выражается выражением . Также соблюдаются законы Де Моргана, выраженные, например, выражением . ${\ displaystyle \ omega _ {x \ land (y \ lor z)} \ neq \ omega _ {(x \ land y) \ lor (x \ land z)} \, \!}$${\ Displaystyle х \ земля (y \ lor z) \ Leftrightarrow (x \ land y) \ lor (x \ land z) \, \!}$${\ displaystyle \ omega _ {x \ land (y \ cup z)} = \ omega _ {(x \ land y) \ cup (x \ land z)} \, \!}$${\ displaystyle \ omega _ {\ overline {x \ land y}} = \ omega _ {{\ overline {x}} \ lor {\ overline {y}}} \, \!}$

Субъективная логика позволяет очень эффективно вычислять математически сложные модели. Это возможно путем аппроксимации аналитически правильных функций. Хотя аналитически перемножить два бета- файла PDF в виде единого бета-PDF-файла относительно просто , все более сложное быстро становится трудноразрешимым. При объединении двух бета-PDF-файлов с некоторым оператором / связкой аналитический результат не всегда является бета-версией PDF и может включать гипергеометрические ряды . В таких случаях субъективная логика всегда приближает результат как мнение, эквивалентное бета-версии PDF.

Приложения

Субъективная логика применима, когда ситуация, подлежащая анализу, характеризуется значительной эпистемической неопределенностью из-за неполного знания. Таким образом, субъективная логика становится вероятностной логикой эпистемических неопределенных вероятностей. Преимущество заключается в том, что неопределенность сохраняется на протяжении всего анализа и явно выражается в результатах, так что можно различать определенные и неопределенные выводы.

Моделирование сетей доверия и байесовских сетей - типичные приложения субъективной логики.

Сети субъективного доверия

Сети субъективного доверия можно моделировать с помощью комбинации операторов транзитивности и слияния. Позвольте выразить край доверия рефералов от до , и позвольте выразить край доверия от до . Сеть субъективного доверия может, например, быть выражена, как показано на рисунке ниже. ${\ Displaystyle [А; В] \, \!}$${\ Displaystyle А \, \!}$${\ Displaystyle B \, \!}$${\ Displaystyle [B, X] \, \!}$${\ Displaystyle B \, \!}$${\ Displaystyle X \, \!}$${\ Displaystyle ([A; B]: [B, X]) \ алмаз ([A; C]: [C, X]) \, \!}$

Индексы 1, 2 и 3 указывают хронологический порядок формирования ребер доверия и советов. Таким образом, учитывая набор доверительных ребер с индексом 1, доверительный управляющий-источник получает совет от и и, таким образом, может получить доверие к переменной . Выражая каждую крайность доверия и край убеждений как мнение, можно получить веру в выражении как . ${\ Displaystyle А \, \!}$${\ Displaystyle B \, \!}$${\ Displaystyle C \, \!}$${\ Displaystyle X \, \!}$${\ Displaystyle А \, \!}$${\ Displaystyle X \, \!}$${\ displaystyle \ omega _ {X} ^ {A} = \ omega _ {X} ^ {[A; B] \ diamond [A; C]} = (\ omega _ {B} ^ {A} \ otimes \ омега _ {X} ^ {B}) \ oplus (\ omega _ {C} ^ {A} \ otimes \ omega _ {X} ^ {C}) \, \!}$

Сети доверия могут выражать надежность источников информации и могут использоваться для определения субъективных мнений о переменных, о которых источники предоставляют информацию.

Субъективная логика, основанная на доказательствах ( EBSL ), описывает альтернативное вычисление доверительной сети, в которой транзитивность мнений (дисконтирование) обрабатывается путем применения весов к свидетельствам, лежащим в основе мнений.

Субъективные байесовские сети

В приведенной ниже байесовской сети и являются родительскими переменными, а являются дочерней переменной. Аналитик должен изучить набор совместных условных мнений , чтобы применить оператор дедукции и получить маргинальное мнение о переменной . Условные мнения выражают условную связь между родительскими переменными и дочерней переменной. ${\ Displaystyle X \, \!}$${\ Displaystyle Y \, \!}$${\ Displaystyle Z \, \!}$${\ displaystyle \ omega _ {Z | XY}}$${\ displaystyle \ omega _ {Z \ | XY}}$${\ displaystyle Z}$

Выведенное мнение вычисляется как . Мнение о совместных доказательствах может быть вычислено как результат мнений независимых доказательств и , или как совместный продукт мнений о частично зависимых доказательствах. ${\ displaystyle \ omega _ {Z \ | XY} = \ omega _ {Z | XY} \ circledcirc \ omega _ {XY}}$${\ displaystyle \ omega _ {XY}}$${\ Displaystyle X \, \!}$${\ Displaystyle Y \, \!}$

Субъективные сети

Комбинация субъективной сети доверия и субъективной байесовской сети является субъективной сетью. Сеть субъективного доверия может использоваться для получения из различных источников мнений, которые будут использоваться в качестве исходных мнений для субъективной байесовской сети, как показано на рисунке ниже.

Традиционные байесовские сети обычно не принимают во внимание надежность источников. В субъективных сетях явно учитывается доверие к источникам.

Рекомендации

внешние ссылки

• Субъективная логика , Аудун Йосанг
• Структура субъективного логического экспериментирования, основанная на субъективных логических операторах в оценке доверия: эмпирическое исследование Ф. Черутти, Л. М. Каплан, Т. Дж. Норман, Н. Орен и А. Тониоло