Последовательность без суммирования - Sum-free sequence

В математике последовательность суммы свободной возрастающая последовательность из положительных целых чисел ,

{\ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, \ ldots,}

таким образом, что ни один член не может быть представлен как сумма любого подмножества предыдущих элементов той же последовательности. ${\ displaystyle a_ {n}}$

Это отличается от набора без сумм, где следует избегать только пар сумм, но где эти суммы могут быть получены из всего набора, а не только из предыдущих членов.

Пример

В полномочия двух ,

1, 2, 4, 8, 16, ...

образуют последовательность без суммы: каждый член в последовательности на единицу больше, чем сумма всех предыдущих членов, и поэтому не может быть представлен как сумма предыдущих членов.

Суммы обратных величин

Набор целых чисел называется небольшим, если сумма его обратных величин сходится к конечному значению. Например, по теореме о простых числах простые числа не малы. Пол Эрдеш ( 1962 ) доказал, что каждая свободная от суммы последовательность мала, и спросил, насколько велика может быть сумма обратных величин. Например, сумма обратных степеней двойки ( геометрический ряд ) равна двум.

Если обозначает максимальную сумму обратных величин в последовательности без суммы, то из последующих исследований известно, что . ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle 2.0654 <R <2.8570}$

Плотность

Из того факта, что последовательности без сумм малы, следует, что они имеют нулевую плотность Шнирельмана ; то есть, если определяется как количество элементов последовательности, которые меньше или равны , то . Эрдеша (1962) показала , что для каждой суммы свободной последовательности существует неограниченную последовательность чисел , для которых , где является золотым сечением , и он показал последовательность суммы свободной для которой при всех значениях , впоследствии улучшены с помощью Deshouillers, Erds и Melfi в 1999 г. и Luczak и Schoen в 2000 г., которые также доказали, что показатель степени 1/2 не может быть дополнительно улучшен. ${\ Displaystyle А (х)}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ Displaystyle А (х) = о (х)}$ ${\ displaystyle x_ {i}}$ ${\ Displaystyle А (х_ {я}) = О (х ^ {\ varphi -1})}$ ${\ displaystyle \ varphi}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ Displaystyle А (х) = \ Омега (х ^ {2/7})}$ ${\ Displaystyle А (х) = \ Омега (х ^ {1/3})}$ ${\ Displaystyle А (х) = \ Омега (х ^ {1 / 2- \ varepsilon})}$

Languages

In other projects

Последовательность без суммирования - Sum-free sequence

СОДЕРЖАНИЕ

Пример

Суммы обратных величин

Плотность

Заметки

Рекомендации