Супералгебра - Superalgebra

В математике и теоретической физике , супералгеброй является Z ₂ - градуированная алгебра . То есть это алгебра над коммутативным кольцом или полем с разложением на «четные» и «нечетные» части и оператором умножения, учитывающим градуировку.

Приставка супер- происходит от теории суперсимметрии в теоретической физике. Супералгебры и их представления, супермодули , обеспечивают алгебраический каркас для формулировки суперсимметрии. Изучение таких объектов иногда называют суперинейной алгеброй . Супералгебры также играют важную роль в смежной области супергеометрии, где они входят в определения градуированных многообразий , супермногообразий и суперсхем .

Формальное определение

Пусть K - коммутативное кольцо . В большинстве приложений К является поле из характеристических 0, таких , как R или C .

Супералгебра над K является K - модуля A с прямой суммой разложением

${\ displaystyle A = A_ {0} \ oplus A_ {1}}$

вместе с билинейным умножением A × A → A таким, что

${\ Displaystyle A_ {я} A_ {j} \ substeq A_ {я + j}}$

где индексы читаются по модулю 2, т. е. они рассматриваются как элементы Z ₂ .

Надкольцо , или Z ₂ - градуированное кольцо , является супералгеброй над кольцом целых чисел Z .

Элементы каждого из A _i называются однородными . Четности однородного элемента х , обозначается через | x |, равно 0 или 1 в зависимости от того, находится ли он в A ₀ или A ₁ . Элементы четности 0 называются четными, а элементы четности 1 - нечетными . Если x и y оба однородны, то однородны и произведения xy и . ${\ Displaystyle | ху | = | х | + | у |}$

Ассоциативная супералгебра является одним которого умножение ассоциативно и унитальная супералгеброй один с мультипликативным единицей . Единичный элемент в унитальной супералгебре обязательно четный. Если не указано иное, все супералгебры в этой статье считаются ассоциативными и унитальными.

Коммутативная супералгебра (или суперкоммутативная алгебра) является тот , который удовлетворяет градуированную версию коммутативности . В частности, A коммутативна, если

${\ displaystyle yx = (- 1) ^ {| x || y |} xy \,}$

для всех однородных элементов х и у из A . Существуют супералгебры, коммутативные в обычном смысле, но не в смысле супералгебр. По этой причине коммутативные супералгебры часто называют суперкоммутативными , чтобы избежать путаницы.

Примеры

• Любую алгебру над коммутативным кольцом K можно рассматривать как чисто четную супералгебру над K ; т. е. принимая A ₁ за тривиальность.
• Любой Z - или N - градуированная алгебра может рассматриваться как супералгебре путем считывания градуировки по модулю 2. Это включает в себя такие примеры, как тензорная алгебра и кольца многочленов над K .
• В частности, любая внешняя алгебра над K является супералгеброй. Внешняя алгебра - стандартный пример суперкоммутативной алгебры .
• В симметрические полиномы и знакопеременные полиномы вместе образуют супералгебру, будучи четные и нечетные части соответственно. Обратите внимание, что эта оценка отличается от оценки по степени.
• Алгебры Клиффорда - супералгебры. Обычно они некоммутативны.
• Множество всех эндоморфизмов (обозначенных , где жирный шрифт называется внутренним , составленным из всех линейных отображений) супервекторного пространства образует супералгебру относительно композиции.${\ Displaystyle \ mathbf {Конец} (V) \ Equiv \ mathbf {Hom} (V, V)}$${\ displaystyle \ mathrm {Hom}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Hom}}$
• Множество всех квадратных суперматриц с элементами из K образует супералгебру, обозначаемую M _{p | q} ( К ). Эту алгебру можно отождествить с алгеброй эндоморфизмов свободного супермодуля над K ранга p | q и является внутренним Hom из приведенного выше для этого пространства.
• Супералгебры Ли являются градуированным аналогом алгебр Ли . Супералгебры Ли неединичны и неассоциативны; однако можно построить аналог универсальной обертывающей алгебры супералгебры Ли, которая является унитальной ассоциативной супералгеброй.

Дополнительные определения и конструкции

Четная подалгебра

Пусть быть супералгеброй над коммутативным кольцом K . Подмодуль ₀ , состоящее из всех четных элементов, замкнуто относительно умножения и содержит идентификатор А и , следовательно , образует подалгебру в А , естественно называть даже подалгебра . Он образует обычную алгебру над K .

Множество всех нечетных элементов ₁ представляет собой ₀ - бимодулем которого скалярное умножение просто умножение в А . Продукт A оснащает A ₁ с билинейной формой

${\ displaystyle \ mu: A_ {1} \ otimes _ {A_ {0}} A_ {1} \ to A_ {0}}$

такой, что

${\ Displaystyle \ му (х \ otimes y) \ cdot z = x \ cdot \ mu (y \ otimes z)}$

для всех x , y и z в A ₁ . Это следует из ассоциативности продукта в A .

Инволюция степени

На любой супералгебре существует канонический инволютивный автоморфизм, называемый ступенчатой ​​инволюцией . Он задается на однородных элементах формулой

${\ displaystyle {\ hat {x}} = (- 1) ^ {| x |} x}$

а на произвольных элементах -

${\ displaystyle {\ hat {x}} = x_ {0} -x_ {1}}$

где x _i - однородные части x . Если A не имеет 2-кручения (в частности, если 2 обратимо), то инволюция степеней может использоваться для различения четной и нечетной частей A :

${\ displaystyle A_ {i} = \ {x \ in A: {\ hat {x}} = (- 1) ^ {i} x \}.}$

Суперкоммутативность

Суперкоммутатор на А является двоичным оператором , заданным

${\ Displaystyle [х, у] = ху - (- 1) ^ {| х || у |} ух}$

на однородных элементах, продолженная на все A по линейности. Элементы x и y из A называются суперкоммутируемыми, если [ x , y ] = 0 .

Суперцентр из А есть множество всех элементов А , которые supercommute со всеми элементами A :

${\ displaystyle \ mathrm {Z} (A) = \ {a \ in A: [a, x] = 0 {\ text {для всех}} x \ in A \}.}$

Суперцентр из А , в общем, отличается от центра части A в качестве неклассифицируемой алгебры. Коммутативная супералгебра является тот , чей суперцентром все из A .

Супер-тензорное произведение

Градуированное тензорное произведение двух супералгебр A и B можно рассматривать как супералгебру A ⊗ B с правилом умножения, определяемым следующим образом:

${\ displaystyle (a_ {1} \ otimes b_ {1}) (a_ {2} \ otimes b_ {2}) = (- 1) ^ {| b_ {1} || a_ {2} |} (a_ { 1} a_ {2} \ otimes b_ {1} b_ {2}).}$

Если либо A, либо B чисто четно, это эквивалентно обычному неклассифицированному тензорному произведению (за исключением того, что результат оценивается). Однако в целом супертензорное произведение отличается от тензорного произведения алгебр A и B, рассматриваемых как обычные неградуированные алгебры.

Обобщения и категориальное определение

Можно легко обобщить определение супералгебр, чтобы включить супералгебры над коммутативным суперкольцом. Приведенное выше определение является тогда специализацией для случая, когда базовое кольцо чисто четное.

Пусть R - коммутативное суперкольцо. Супералгебра над R представляет собой R -supermodule с R -bilinear умножение × → , что градуировка отношений. Билинейность здесь означает, что

${\ Displaystyle г \ CDOT (ху) = (г \ CDOT х) у = (- 1) ^ {| г || х |} х (г \ CDOT у)}$

для всех однородных элементов г ∈ R и х , у ∈ A .

Эквивалентно, можно определить супералгебру над R как Надкольцом А вместе с надкольцо гомоморфизм R → A , образ которого лежит в Supercenter из A .

Можно также определять супералгебры категорически . Категория всех R -supermodules образует моноидальную категорию под супер тензорного произведения R , выступающей в качестве единичного объекта. Тогда ассоциативную супералгебру с единицей над R можно определить как моноид в категории R -супермодулей. То есть супералгебра - это R -супермодуль A с двумя (четными) морфизмами

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mu &: A \ otimes A \ to A \\\ eta &: R \ to A \ end {выравнивается}}}$

для которых коммутируют обычные диаграммы.

Заметки

Рекомендации

• Делинь, П .; Морган, JW (1999). «Заметки о суперсимметрии (вслед за Джозефом Бернштейном)». Квантовые поля и струны: курс математиков . 1 . Американское математическое общество. С. 41–97. ISBN 0-8218-2012-5.

• Kac, VG ; Martinez, C .; Зельманов, Э. (2001). Градуированные простые йордановы супералгебры роста единица . Воспоминания из серии AMS. 711 . Книжный магазин AMS. ISBN 978-0-8218-2645-4.

• Манин, Ю.И. (1997). Теория калибровочного поля и комплексная геометрия ((2-е изд.) Изд.). Берлин: Springer. ISBN 3-540-61378-1.

• Варадараджан, VS (2004). Суперсимметрия для математиков: Введение . Конспект лекций Куранта по математике. 11 . Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-3574-6.