Принцип суперпозиции - Superposition principle

Совмещение почти плоские волны (диагональные линии) от удаленного источника и волн от следа из уток . Линейность сохраняется только приблизительно в воде и только для волн с малой амплитудой относительно их длины волны.

Катящееся движение как суперпозиция двух движений. Качение колеса можно описать как комбинацию двух отдельных движений: поступательного движения без вращения и вращения без перевода.

Принцип суперпозиции , также известный как свойство суперпозиции , гласит, что для всех линейных систем суммарный ответ, вызванный двумя или более стимулами, является суммой ответов, которые были бы вызваны каждым стимулом индивидуально. Таким образом, если вход A дает ответ X, а вход B дает ответ Y, то вход ( A + B ) дает ответ ( X + Y ).

Функция , которая удовлетворяет принципу суперпозиции, называется линейной функцией . Суперпозицию можно определить двумя более простыми свойствами; аддитивность и однородность${\ Displaystyle F (х)}$

${\ Displaystyle F (x_ {1} + x_ {2}) = F (x_ {1}) + F (x_ {2}) \,}$ Аддитивность

${\ Displaystyle F (топор) = aF (х) \,}$ Однородность

для скаляра a .

Этот принцип имеет множество приложений в физике и технике, поскольку многие физические системы можно моделировать как линейные системы. Например, луч можно смоделировать как линейную систему, в которой входной стимул - это нагрузка на луч, а выходной ответ - отклонение луча. Важность линейных систем состоит в том, что их легче анализировать математически; Существует множество применимых математических методов, методов линейного преобразования частотной области, таких как преобразования Фурье и Лапласа , и теории линейных операторов . Поскольку физические системы обычно только приблизительно линейны, принцип суперпозиции является лишь приближением истинного физического поведения.

Принцип суперпозиции применяется к любой линейной системе, включая алгебраические уравнения , линейные дифференциальные уравнения и системы уравнений этих форм. Стимулами и ответами могут быть числа, функции, векторы, векторные поля , изменяющиеся во времени сигналы или любой другой объект, удовлетворяющий определенным аксиомам . Обратите внимание, что когда задействованы векторы или векторные поля, суперпозиция интерпретируется как векторная сумма . Если суперпозиция выполняется, то она автоматически также выполняется для всех линейных операций, применяемых к этим функциям (из-за определения), таких как градиенты, дифференциалы или интегралы (если они существуют).

Этимология

Слово «суперпозиция» происходит от латинского слова «super», что означает «выше», и слова «position», что означает место.

Отношение к анализу Фурье и аналогичным методам

Записывая очень общий стимул (в линейной системе) как суперпозицию стимулов конкретной и простой формы, часто становится легче вычислить реакцию.

Например, в анализе Фурье стимул записывается как суперпозиция бесконечного множества синусоид . Благодаря принципу суперпозиции каждую из этих синусоид можно анализировать отдельно и вычислять ее индивидуальный отклик. (Ответ сам по себе является синусоидой с той же частотой, что и стимул, но, как правило, с другой амплитудой и фазой .) Согласно принципу суперпозиции, ответ на исходный стимул представляет собой сумму (или интеграл) всех отдельных синусоидальных ответов. .

В качестве другого распространенного примера, в анализе функций Грина , стимул записывается как суперпозиция бесконечного множества импульсных функций , и тогда ответ представляет собой суперпозицию импульсных откликов .

Анализ Фурье особенно распространен для волн . Например, в электромагнитной теории обычный свет описывается как суперпозиция плоских волн (волн фиксированной частоты , поляризации и направления). Пока выполняется принцип суперпозиции (что часто, но не всегда; см. Нелинейную оптику ), поведение любой световой волны можно понимать как суперпозицию поведения этих более простых плоских волн .

Суперпозиция волн

Две волны, распространяющиеся в противоположных направлениях через одну и ту же среду, объединяются линейно. В этой анимации обе волны имеют одинаковую длину волны, а сумма амплитуд дает стоячую волну .

две волны проникают, не влияя друг на друга

Волны обычно описываются вариациями некоторых параметров в пространстве и времени, например, высотой в водной волне, давлением в звуковой волне или электромагнитным полем в световой волне. Значение этого параметра называется амплитудой волны, а сама волна является функцией, определяющей амплитуду в каждой точке.

В любой системе с волнами форма волны в данный момент времени является функцией источников (т. Е. Внешних сил, если таковые имеются, которые создают или влияют на волну) и начальных условий системы. Во многих случаях (например, в классическом волновом уравнении ) уравнение, описывающее волну, является линейным. Когда это так, может применяться принцип суперпозиции. Это означает, что суммарная амплитуда, вызванная двумя или более волнами, пересекающими одно и то же пространство, является суммой амплитуд, которые были бы созданы отдельными волнами по отдельности. Например, две волны, идущие навстречу друг другу, будут проходить сквозь друг друга без каких-либо искажений на другой стороне. (См. Изображение вверху.)

Дифракция волн против интерференции волн

Что касается наложения волн, Ричард Фейнман писал:

Никто никогда не мог удовлетворительно определить разницу между интерференцией и дифракцией. Это просто вопрос использования, и между ними нет особой важной физической разницы. Лучшее, что мы можем сделать, грубо говоря, - это сказать, что когда есть только несколько источников, скажем два, мешающих, тогда результат обычно называется интерференцией, но если их много, кажется, что слово дифракция чаще используется.

Другие авторы уточняют:

Разница заключается в удобстве и условности. Если волны, которые должны быть наложены, исходят от нескольких когерентных источников, скажем, двух, эффект называется интерференцией. С другой стороны, если волны, которые должны быть наложены, возникают в результате разделения волнового фронта на бесконечно малые когерентные вейвлеты (источники), эффект называется дифракцией. То есть разница между двумя явлениями [вопрос] только в степени, и, по сути, это два предельных случая эффектов суперпозиции.

Еще один источник соглашается:

Поскольку интерференционные полосы, наблюдаемые Юнгом, были дифракционной картиной двойной щели, эта глава [Фраунгоферовская дифракция], следовательно, является продолжением главы 8 [Интерференция]. С другой стороны, немногие оптики сочли бы интерферометр Майкельсона примером дифракции. Некоторые из важных категорий дифракции относятся к интерференции, которая сопровождает разделение волнового фронта, поэтому наблюдение Фейнмана в некоторой степени отражает трудности, которые могут возникнуть при различении разделения амплитуды и разделения волнового фронта.

Волновая интерференция

На этой идее основано явление интерференции волн. Когда две или более волны пересекают одно и то же пространство, итоговая амплитуда в каждой точке является суммой амплитуд отдельных волн. В некоторых случаях, например, в наушниках с шумоподавлением , суммарная вариация имеет меньшую амплитуду, чем вариации компонентов; это называется деструктивным вмешательством . В других случаях, например, в линейном массиве , суммарное отклонение будет иметь большую амплитуду, чем любой из компонентов по отдельности; это называется конструктивным вмешательством .

зеленая волна проходит вправо, а синяя волна проходит влево, итоговая амплитуда красной волны в каждой точке является суммой амплитуд отдельных волн.

комбинированная форма волны
волна 1
волна 2
	Две волны в фазе	Две волны на 180 ° не совпадают по фазе

Отклонения от линейности

В большинстве реальных физических ситуаций уравнение, описывающее волну, является лишь приблизительно линейным. В этих ситуациях принцип суперпозиции выполняется только приблизительно. Как правило, точность приближения имеет тенденцию улучшаться по мере уменьшения амплитуды волны. Примеры явлений, возникающих при неправильном выполнении принципа суперпозиции, можно найти в статьях по нелинейной оптике и нелинейной акустике .

Квантовая суперпозиция

В квантовой механике основная задача состоит в том, чтобы вычислить, как волны определенного типа распространяются и ведут себя. Волна описывается волновой функцией , а уравнение, определяющее ее поведение, называется уравнением Шредингера . Первичный подход к вычислению поведения волновой функции состоит в том, чтобы записать ее как суперпозицию (называемую « квантовой суперпозицией ») (возможно, бесконечного множества) других волновых функций определенного типа - стационарных состояний , поведение которых особенно просто. Поскольку уравнение Шредингера линейно, поведение исходной волновой функции может быть вычислено таким образом с помощью принципа суперпозиции.

Проективная природа квантово-механического пространства состояний имеет важное отличие: оно не допускает суперпозиций, о которых идет речь в данной статье. Квантово-механическое состояние - это луч в проективном гильбертовом пространстве , а не вектор . Сумма двух лучей не определена. Чтобы получить относительную фазу, мы должны разложить или разбить луч на составляющие

${\ displaystyle | \ psi _ {i} \ rangle = \ sum _ {j} {C_ {j}} | \ phi _ {j} \ rangle,}$

где и принадлежит ортонормированному базису. Класс эквивалентности позволяет придать четко определенное значение относительным фазам . ${\ displaystyle C_ {j} \ in {\ textbf {C}}}$${\ displaystyle | \ phi _ {j} \ rangle}$${\ displaystyle | \ psi _ {i} \ rangle}$${\ displaystyle C_ {j}}$

Есть некоторое сходство между суперпозицией, представленной в основном на этой странице, и квантовой суперпозицией. Тем не менее, говоря о квантовой суперпозиции, Крамерс пишет: «Принцип [квантовой] суперпозиции ... не имеет аналогов в классической физике». Согласно Дираку : « суперпозиция, возникающая в квантовой механике, имеет существенно отличную природу от любой, встречающейся в классической теории [курсив в оригинале]».

Краевые задачи

Распространенный тип краевой задачи - это (абстрактно говоря) нахождение функции y, которая удовлетворяет некоторому уравнению

${\ Displaystyle F (y) = 0}$

с некоторой граничной спецификацией

${\ Displaystyle G (y) = z}$

Например, в уравнения Лапласа с граничными условиями Дирихле , Р будет вполне лапласиан оператор в области R , G будет оператор , который ограничивает у к границе R и Z будет функция , что у требуется , чтобы равняться на граница R .

В случае, если F и G оба являются линейными операторами, то принцип суперпозиции гласит, что суперпозиция решений первого уравнения является другим решением первого уравнения:

${\ Displaystyle F (y_ {1}) = F (y_ {2}) = \ cdots = 0 \ \ Rightarrow \ F (y_ {1} + y_ {2} + \ cdots) = 0}$

в то время как граничные значения накладываются друг на друга:

${\ Displaystyle G (y_ {1}) + G (y_ {2}) = G (y_ {1} + y_ {2})}$

Используя эти факты, если можно составить список решений первого уравнения, то эти решения можно аккуратно сложить в суперпозицию, чтобы оно удовлетворяло второму уравнению. Это один из распространенных методов решения краевых задач.

Разложение аддитивного состояния

Рассмотрим простую линейную систему: По принципу суперпозиции, система может быть разложена с принципом суперпозиции доступен только для линейных систем. Однако декомпозиция аддитивного состояния может применяться не только к линейным, но и к нелинейным системам. Затем рассмотрим нелинейную систему, где - нелинейная функция. Посредством аддитивной декомпозиции по состоянию система может быть «аддитивно» разложена на нее. Эта декомпозиция может помочь упростить конструкцию контроллера.
${\ displaystyle {\ dot {x}} = Ax + B (u_ {1} + u_ {2}), x (0) = x_ {0}.}$

${\ displaystyle {\ dot {x}} _ {1} = Ax_ {1} + Bu_ {1}, x_ {1} (0) = x_ {0}.}$
${\ displaystyle {\ dot {x}} _ {2} = Ax_ {2} + Bu_ {2}, x_ {2} (0) = 0.}$

${\ displaystyle x = x_ {1} + x_ {2}.}$
${\ displaystyle {\ dot {x}} = Ax + B (u_ {1} + u_ {2}) + \ phi (c ^ {T} x), x (0) = x_ {0}.}$
${\ displaystyle \ phi}$
${\ displaystyle {\ dot {x}} _ {1} = Ax_ {1} + Bu_ {1} + \ phi (y_ {d}), x_ {1} (0) = x_ {0}.}$
${\ displaystyle {\ dot {x}} _ {2} = Ax_ {2} + Bu_ {2} + \ phi (c ^ {T} x_ {1} + c ^ {T} x_ {2}) - \ фи (y_ {d}), x_ {2} (0) = 0.}$

${\ displaystyle x = x_ {1} + x_ {2}.}$

Другие примеры приложений

• В электротехнике в линейной цепи вход (приложенный изменяющийся во времени сигнал напряжения) связан с выходом (ток или напряжение в любом месте цепи) посредством линейного преобразования. Таким образом, суперпозиция (то есть сумма) входных сигналов даст суперпозицию ответов. Использование анализа Фурье на этой основе особенно распространено. Для другого, связанного метода анализа схем, см. Теорема суперпозиции .
• В физике , уравнения Максвелла следует , что (возможно , изменяющийся во времени) распределения зарядов и токов связаны с электрическими и магнитными полями с помощью линейного преобразования. Таким образом, принцип суперпозиции может быть использован для упрощения вычисления полей, возникающих при заданном распределении заряда и тока. Этот принцип также применим к другим линейным дифференциальным уравнениям, возникающим в физике, таким как уравнение теплопроводности .
• В инженерии суперпозиция используется для определения прогибов балки и конструкции при комбинированных нагрузках, когда эффекты являются линейными (т. Е. Каждая нагрузка не влияет на результаты других нагрузок, а влияние каждой нагрузки существенно не меняет геометрию конструкции. структурная система). Метод наложения мод использует собственные частоты и формы колебаний для характеристики динамического отклика линейной конструкции.
• В гидрогеологии принцип суперпозиции применяется к депрессии двух или более водяных скважин, перекачивающих идеальный водоносный горизонт . Этот принцип используется в методе аналитических элементов для разработки аналитических элементов, которые можно комбинировать в одной модели.
• В управлении технологическим процессом принцип суперпозиции используется в прогнозирующем управлении модели .
• Принцип суперпозиции может применяться, когда небольшие отклонения от известного решения нелинейной системы анализируются с помощью линеаризации .
• В музыке теоретик Джозеф Шиллингер использовал форму принципа суперпозиции как одну из основ своей теории ритма в своей системе музыкальной композиции Шиллингера .

История

По словам Леона Бриллюэна , принцип суперпозиции был впервые сформулирован Даниэлем Бернулли в 1753 году: «Общее движение колеблющейся системы задается суперпозицией ее собственных колебаний». Этот принцип был отвергнут Леонардом Эйлером, а затем Джозефом Лагранжем . Бернулли утверждал, что любое звучное тело может колебаться в серии простых режимов с четко определенной частотой колебаний. Как он ранее указывал, эти моды могут быть наложены друг на друга, чтобы произвести более сложные колебания. В своей реакции на мемуары Бернулли Эйлер похвалил своего коллегу за то, что он лучше всего разработал физическую часть проблемы вибрации струн, но отрицал универсальность и превосходство многомодового решения.

Позже это стало общепринятым, в основном благодаря работам Жозефа Фурье .

Смотрите также

• Разложение аддитивного состояния
• Beat (акустика)
• Когерентность (физика)
• Свертка
• Функция Грина
• Импульсивный ответ
• Вмешательство
• Квантовая суперпозиция

использованная литература

дальнейшее чтение

внешние ссылки

• СМИ, связанные с принципом суперпозиции, на Викискладе?
• Словарное определение вмешательства в Викисловарь