Симметричные компоненты - Symmetrical components

В электротехнике метод симметричных компонентов упрощает анализ несимметричных трехфазных энергосистем как в нормальных, так и в ненормальных условиях. Основная идея состоит в том, что асимметричный набор из N векторов может быть выражен как линейная комбинация из N симметричных наборов векторов посредством сложного линейного преобразования . Теорема Фортескью (симметричные компоненты) основана на принципе суперпозиции , поэтому она применима только к линейным энергосистемам или к линейным приближениям нелинейных энергосистем.

В наиболее распространенном случае трехфазных систем результирующие «симметричные» компоненты называются прямыми (или положительными ), обратными (или отрицательными ) и нулевыми (или униполярными ). Анализ энергосистемы намного проще в области симметричных компонентов, потому что результирующие уравнения взаимно линейно независимы, если сама цепь сбалансирована .

Описание

Набор из трех несбалансированных векторов и необходимых симметричных компонентов, которые суммируются в результирующий график внизу.

В 1918 году Чарльз Легейт Фортескью представил документ, в котором продемонстрировал, что любой набор из N несбалансированных векторов (то есть любой такой многофазный сигнал) может быть выражен как сумма N симметричных наборов сбалансированных векторов для значений N, которые являются простыми. Только одна частотная составляющая представлена векторами.

В 1943 году Эдит Кларк опубликовала учебник, в котором описан метод использования симметричных компонентов для трехфазных систем, что значительно упростило вычисления по сравнению с исходной статьей Fortescue. В трехфазной системе один набор векторов имеет ту же последовательность фаз, что и исследуемая система (положительная последовательность; скажем, ABC), второй набор имеет обратную последовательность фаз (обратная последовательность; ACB), а в третьем наборе последовательность фаз векторы A, B и C находятся в фазе друг с другом (нулевая последовательность, синфазный сигнал ). По сути, этот метод преобразует три несбалансированные фазы в три независимых источника, что делает асимметричный анализ неисправностей более управляемым.

Расширяя однолинейную схему, чтобы показать импедансы прямой, обратной и нулевой последовательности генераторов , трансформаторов и других устройств, включая воздушные линии и кабели , можно значительно улучшить анализ таких несимметричных состояний, как короткое замыкание одной линии на землю. упрощенный. Этот метод также можно распространить на фазовые системы более высокого порядка.

Физически в трехфазной системе набор токов прямой последовательности создает нормальное вращающееся поле, набор обратной последовательности создает поле с противоположным вращением, а набор нулевой последовательности создает поле, которое колеблется, но не вращается между фазными обмотками. Поскольку эти эффекты могут быть обнаружены физически с помощью фильтров последовательности, математический инструмент стал основой для разработки защитных реле , в которых напряжения и токи обратной последовательности используются в качестве надежного индикатора аварийных состояний. Такие реле могут использоваться для отключения автоматических выключателей или принятия других мер для защиты электрических систем.

Аналитический метод был принят и усовершенствован инженерами General Electric и Westinghouse , а после Второй мировой войны он стал общепринятым методом асимметричного анализа неисправностей.

Как показано на рисунке справа вверху, три набора симметричных компонентов (положительная, отрицательная и нулевая последовательность) складываются, чтобы создать систему из трех несбалансированных фаз, как показано в нижней части диаграммы. Дисбаланс между фазами возникает из-за разницы в величине и фазовом сдвиге между наборами векторов. Обратите внимание, что цвета (красный, синий и желтый) отдельных векторов последовательности соответствуют трем различным фазам (например, A, B и C). Чтобы прийти к окончательному графику, вычисляется сумма векторов каждой фазы. Этот результирующий вектор является эффективным векторным представлением этой конкретной фазы. Этот процесс, повторяющийся, производит вектор для каждой из трех фаз.

Трехфазный корпус

Симметричные компоненты чаще всего используются для анализа трехфазных систем электроснабжения . Напряжение или ток трехфазной системы в какой-то момент можно обозначить тремя векторами, называемыми тремя составляющими напряжения или тока.

В этой статье обсуждается напряжение; однако те же соображения применимы и к току. В идеально сбалансированной трехфазной системе питания компоненты вектора напряжения имеют равные величины, но разнесены на 120 градусов. В несбалансированной системе величины и фазы составляющих вектора напряжения различны.

Разложение компонентов вектора напряжения на набор симметричных компонентов помогает анализировать систему, а также визуализировать любые дисбалансы. Если три составляющие напряжения выражены в виде векторов (которые являются комплексными числами), может быть сформирован комплексный вектор, в котором три фазовые составляющие являются составляющими вектора. Вектор для трех фазных составляющих напряжения можно записать как

{\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {abc} = {\ begin {bmatrix} V_ {a} \\ V_ {b} \\ V_ {c} \ end {bmatrix}}}

и разложение вектора на три симметричных компонента дает

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} V_ {a} \\ V_ {b} \\ V_ {c} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} V_ {a, 0} \\ V_ {b, 0} \\ V_ {c, 0} \ end {bmatrix}} + {\ begin {bmatrix} V_ {a, 1} \\ V_ {b, 1} \\ V_ {c, 1} \ end {bmatrix} } + {\ begin {bmatrix} V_ {a, 2} \\ V_ {b, 2} \\ V_ {c, 2} \ end {bmatrix}}}

где нижние индексы 0, 1 и 2 относятся соответственно к нулевой, положительной и отрицательной компонентам последовательности. Компоненты последовательности различаются только фазовыми углами, которые симметричны и составляют радианы или 120 °. ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ frac {2} {3}} \ pi}$

Матрица

Определите оператор вращения вектора , который поворачивает вектор вектора против часовой стрелки на 120 градусов при умножении на него: ${\ displaystyle \ alpha}$

{\ Displaystyle \ альфа \ эквив е ^ {{\ гидроразрыва {2} {3}} \ пи я}}

.

Обратите внимание, что так что . ${\ Displaystyle \ альфа ^ {3} = 1}$ ${\ Displaystyle \ альфа ^ {- 1} = \ альфа ^ {2}}$

Компоненты нулевой последовательности имеют одинаковую величину и находятся в фазе друг с другом, поэтому:

{\ Displaystyle V_ {0} \ Equiv V_ {a, 0} = V_ {b, 0} = V_ {c, 0}}

,

а остальные компоненты последовательности имеют одинаковую величину, но их фазовые углы различаются на 120 °. Если исходный несимметричный набор векторов напряжения имеет положительную последовательность фаз или последовательность фаз abc , то:

{\ displaystyle {\ begin {align} V_ {1} & \ Equiv V_ {a, 1} = \ alpha V_ {b, 1} = \ alpha ^ {2} V_ {c, 1} \ end {выравнивается}} }

,

{\ displaystyle {\ begin {align} V_ {2} & \ Equiv V_ {a, 2} = \ alpha ^ {2} V_ {b, 2} = \ alpha V_ {c, 2} \ end {выравнивается}} }

,

означающий, что

{\ Displaystyle {\ begin {выровнено} V_ {b, 1} = \ alpha ^ {2} V_ {1} \ end {выровнено}}}

,

{\ Displaystyle {\ begin {выровнено} V_ {c, 1} = \ альфа V_ {1} \ end {выровнено}}}

,

{\ Displaystyle {\ begin {выровнено} V_ {b, 2} = \ альфа V_ {2} \ end {выровнено}}}

,

{\ Displaystyle {\ begin {выровнено} V_ {c, 2} = \ alpha ^ {2} V_ {2} \ end {выровнено}}}

.

Таким образом,

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {v} _ {abc} & = {\ begin {bmatrix} V_ {0} \\ V_ {0} \\ V_ {0} \ end {bmatrix}} + { \ begin {bmatrix} V_ {1} \\\ alpha ^ {2} V_ {1} \\\ alpha V_ {1} \ end {bmatrix}} + {\ begin {bmatrix} V_ {2} \\\ alpha V_ {2} \\\ alpha ^ {2} V_ {2} \ end {bmatrix}} \\ & = {\ begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \ alpha ^ {2} & \ alpha \\ 1 & \ alpha & \ alpha ^ {2} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} V_ {0} \\ V_ {1} \\ V_ {2} \ end {bmatrix}} \\ & = {\ textbf {A }} \ mathbf {v} _ {012} \ конец {выровнено}}}

где

{\ displaystyle \ mathbf {v} _ {012} = {\ begin {bmatrix} V_ {0} \\ V_ {1} \\ V_ {2} \ end {bmatrix}}, {\ textbf {A}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \ alpha ^ {2} & \ alpha \\ 1 & \ alpha & \ alpha ^ {2} \ end {bmatrix}}}

Если вместо этого исходный несимметричный набор векторов напряжения имеет отрицательную последовательность фаз или последовательность фаз переменного тока , аналогичным образом может быть получена следующая матрица:

{\ displaystyle {\ textbf {A}} _ {acb} = {\ begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \ alpha & \ alpha ^ {2} \\ 1 & \ alpha ^ {2} & \ alpha \ end {bmatrix }}}

Разложение

Компоненты последовательности выводятся из уравнения анализа

{\ displaystyle \ mathbf {v} _ {012} = {\ textbf {A}} ^ {- 1} \ mathbf {v} _ {abc}}

где

{\ displaystyle {\ textbf {A}} ^ {- 1} = {\ frac {1} {3}} {\ begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \ alpha & \ alpha ^ {2} \\ 1 & \ alpha ^ {2} & \ alpha \ end {bmatrix}}}

Два приведенных выше уравнения рассказывают, как получить симметричные компоненты, соответствующие асимметричному набору из трех векторов:

Последовательность 0 составляет одну треть суммы исходных трех векторов.
Последовательность 1 составляет одну треть суммы исходных трех векторов, повернутых против часовой стрелки на 0 °, 120 ° и 240 °.
Последовательность 2 составляет одну треть суммы исходных трех векторов, повернутых против часовой стрелки на 0 °, 240 ° и 120 °.

Визуально, если исходные компоненты симметричны, каждая из последовательностей 0 и 2 будет образовывать треугольник, сумма которых равна нулю, а компоненты последовательности 1 будут составлять прямую линию.

Интуиция

Теорема Наполеона: если треугольники с центрами на L , M и N равносторонние, то и зеленый треугольник тоже.

Векторы образуют замкнутый треугольник (например, внешние напряжения или линейные напряжения). Чтобы найти синхронные и обратные компоненты фаз, возьмите любую сторону внешнего треугольника и нарисуйте два возможных равносторонних треугольника, разделяющих выбранную сторону, в качестве основы. Эти два равносторонних треугольника представляют собой синхронную и обратную системы. ${\ Displaystyle \ scriptstyle V _ {(ab)} = V _ {(a)} - V _ {(b)}; \; V _ {(bc)} = V _ {(b)} - V _ {(c)}; \ ; V _ {(ca)} = V _ {(c)} - V _ {(a)}}$

Если бы векторы V были идеально синхронной системой, вершина внешнего треугольника не на базовой линии была бы в том же положении, что и соответствующая вершина равностороннего треугольника, представляющего синхронную систему. Любое количество обратной составляющей означало бы отклонение от этой позиции. Отклонение ровно в 3 раза превышает инверсную фазовую составляющую.

Синхронная составляющая аналогичным образом в 3 раза больше отклонения от «обратного равностороннего треугольника». Направления этих компонентов верны для соответствующей фазы. Кажется нелогичным, что это работает для всех трех фаз независимо от выбранной стороны, но в этом вся прелесть этой иллюстрации. Рисунок взят из теоремы Наполеона , который соответствует методике графических вычислений, которая иногда встречается в старых справочниках.

Полифазный корпус

Можно видеть, что приведенная выше матрица преобразования представляет собой дискретное преобразование Фурье , и поэтому симметричные компоненты могут быть вычислены для любой многофазной системы.

Вклад гармоник в симметричные составляющие в 3-фазных энергосистемах

Гармоники часто возникают в энергосистемах как следствие нелинейных нагрузок. Каждый порядок гармоник вносит свой вклад в разные компоненты последовательности. Основная гармоника и гармоники порядка будут вносить вклад в компонент положительной последовательности. Гармоники порядка будут способствовать отрицательной последовательности. Гармоники порядка вносят вклад в нулевую последовательность. ${\ displaystyle \ scriptstyle 3n + 1}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle 3n-1}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle 3n}$

Обратите внимание, что приведенные выше правила применимы только в том случае, если значения фазы (или искажения) в каждой фазе точно такие же. Обратите внимание, что даже гармоники не распространены в энергосистемах.

Последствия составляющей нулевой последовательности в энергосистемах

Нулевая последовательность представляет собой компонент неуравновешенных векторов, равный по величине и фазе. Поскольку они находятся в фазе, токи нулевой последовательности, протекающие через n-фазную сеть, в сумме в n раз превышают величину отдельных составляющих токов нулевой последовательности. В нормальных условиях эксплуатации эта сумма достаточно мала, чтобы ею можно было пренебречь. Однако во время крупных событий нулевой последовательности, таких как удары молнии, эта ненулевая сумма токов может привести к большему току, протекающему через нейтральный проводник, чем через отдельные фазные проводники. Поскольку нейтральные проводники обычно не больше отдельных фазных проводов и часто меньше этих проводов, большая составляющая нулевой последовательности может привести к перегреву нейтральных проводов и возгоранию.

Один из способов предотвратить большие токи нулевой последовательности - использовать соединение треугольником, которое проявляется как разомкнутая цепь для токов нулевой последовательности. По этой причине большая часть передачи и большая часть суб-передачи реализована с использованием дельты. Большая часть распределения также реализована с использованием дельты, хотя "старые рабочие" системы распределения иногда были "взорваны" (преобразованы с дельты на звезду ), чтобы увеличить пропускную способность линии при низкой конвертируемой стоимости, но за счет более высокой Стоимость защитного реле центральной станции.

Languages

In other projects