Абелева и тауберова теоремы - Abelian and Tauberian theorems

В математике , абелева и тауберовы теоремы являются теоремы , дающие условия для двух методов суммирования рядов расходящихся дать тот же результат, названный в честь Нильса Хенрика Абеля и Альфреда Таубер . Исходными примерами являются теорема Абеля, показывающая, что если ряд сходится к некоторому пределу, то его сумма Абеля является тем же пределом, и теорема Таубера, показывающая, что если сумма Абеля ряда существует и коэффициенты достаточно малы (o (1 / n ) ), то ряд сходится к сумме Абеля. Более общие абелевы и тауберовы теоремы дают аналогичные результаты для более общих методов суммирования.

Пока нет четкого различия между абелевыми и тауберовыми теоремами, а также нет общепринятого определения того, что означают эти термины. Часто теорема называется «абелевой», если она показывает, что некоторый метод суммирования дает обычную сумму для сходящихся рядов, и называется «тауберовской», если она дает условия для ряда, суммируемого каким-либо методом, позволяющим суммировать его обычным способом. смысл.

В теории интегральных преобразований абелевы теоремы дают асимптотическое поведение преобразования, основанное на свойствах исходной функции. Наоборот, тауберовы теоремы дают асимптотическое поведение исходной функции на основе свойств преобразования, но обычно требуют некоторых ограничений на исходную функцию.

Абелевы теоремы

Для любого метода суммирования L , его абелева теоремой является результатом , что если с = ( с п ) является сходящейся последовательностью, с предельным C , то L ( гр ) = C . Пример дается методом Чезаро , в котором L определяется как предел средних арифметических первых N членов c , поскольку N стремится к бесконечности . Можно доказать, что если c сходится к C , то последовательность ( d N ), где

Чтобы увидеть это, вычтите всюду C, чтобы свести к случаю C = 0. Затем разделите последовательность на начальный сегмент и хвост из маленьких членов: при любом ε> 0 мы можем взять N достаточно большим, чтобы получился начальный сегмент терминов. до c N в среднем до не более ε / 2, в то время как каждый член в хвосте ограничен ε / 2, так что среднее также обязательно ограничено.

Название происходит от теоремы Абеля о степенных рядах . В этом случае L - это радиальный предел (рассматриваемый в рамках комплексного единичного диска ), где мы позволяем r стремиться к пределу 1 снизу вдоль вещественной оси в степенном ряду с членом

а н з н

и положим z = r · e iθ . Эта теорема представляет основной интерес в случае, когда степенной ряд имеет радиус сходимости ровно 1: если радиус сходимости больше единицы, сходимость степенного ряда равномерна для r в [0,1], так что сумма автоматически является непрерывным, и из этого непосредственно следует, что предел, когда r стремится к 1, является просто суммой a n . Когда радиус равен 1, степенной ряд будет иметь некоторую сингулярность на | z | = 1; утверждение состоит в том, что, тем не менее, если сумма a n существует, она равна пределу по r . Таким образом, это точно укладывается в абстрактную картину.  

Тауберовы теоремы

Частично обратные абелевым теоремам называются тауберовыми теоремами . Первоначальный результат Альфреда Таубера  ( 1897 ) утверждал, что если мы предположим также

а п = о (1 / п )

(см. Маленькие обозначения o ) и существует радиальный предел, то ряд, полученный при z = 1, фактически сходится. Это было усилено Джоном Эденсором Литтлвудом : нам нужно только предположить O (1 / n ). Широким обобщением является тауберова теорема Харди – Литтлвуда .

Таким образом, в абстрактном контексте абелева теорема утверждает, что область определения L содержит сходящиеся последовательности, а ее значения там равны значениям функционала Lim . А Тауберовы состояния теоремы, при некоторых условиях роста, что область L не являются точно сходящимися последовательностями и не более.

Если рассматривать L как некоторый обобщенный тип взвешенного среднего , доведенного до предела, тауберова теорема позволяет отказаться от взвешивания при правильных гипотезах. Есть много приложений такого рода результатов в теории чисел , в частности, при работе с рядами Дирихле .

Развитие области тауберова теорем получило новый поворот с очень общими результатами Норберта Винера , а именно тауберова теорема Винера и ее большой набор следствий. Центральная теорема теперь может быть доказана методами банаховой алгебры и содержит многое, хотя и не все, из предыдущей теории.

Смотрите также

использованная литература

внешние ссылки