Номер Табита - Thabit number

Табит прайм
Названный в честь Табит ибн Курра
Предполагаемый нет. условий Бесконечный
подпоследовательности из Числа Табита
Первые триместры 2, 5, 11, 23, 47, 191, 383, 6143, 786431
Индекс OEIS A007505

В теории чисел , А число Сабита , число Сабита ибн Курра или 321 номер представляет собой целое число от формы для неотрицательного числа п .

Первые несколько чисел Табита:

2 , 5 , 11 , 23 , 47 , 95 , 191, 383, 767, 1535, 3071, 6143, 12287, 24575, 49151, 98303, 196607, 393215, 786431, 1572863, ... (последовательность A055010 в OEIS )

Математик , врач , астроном и переводчик IX века Табит ибн Курра считается первым, кто изучил эти числа и их связь с дружественными числами .

Характеристики

Двоичное представление числа Табита 3 · 2 n −1 состоит из n +2 цифр, состоящих из «10», за которыми следуют n единиц.

Первые несколько простых чисел Табита ( простые числа Табита или 321 простое число ):

2, 5, 11, 23, 47, 191, 383, 6143, 786431, 51539607551, 824633720831, ... (последовательность A007505 в OEIS )

По состоянию на сентябрь 2021 года известно 64 простых числа Табита. Их n значений:

0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 11, 18, 34, 38, 43, 55, 64, 76, 94, 103, 143, 206, 216, 306, 324, 391, 458, 470, 827, 1274, 3276, 4204, 5134, 7559, 12676, 14898, 18123, 18819, 25690, 26459, 41628, 51387, 71783, 80330, 85687, 88171, 97063, 123630, 155930, 164987, 234760, 414840, 584995, 702038, 727699, 992700, 1201046, 1232255, 2312734, 3136255, 4235414, 6090515, 11484018, 11731850, 11895718, 16819291, 17748034, ... (последовательность A002235 в OEIS )

Простые числа для 234760 ≤ n ≤ 3136255 были найдены поиском проекта 321 распределенных вычислений .

В 2008 году PrimeGrid взялась за поиск простых чисел Thabit. Он все еще ищет и уже нашел все известные на данный момент простые числа Thabit с n ≥ 4235414. Он также ищет простые числа вида 3 · 2 n +1, такие простые числа называются простыми числами Thabit второго рода или 321 простым числом второго добрый .

Первые несколько чисел Табита второго типа:

4, 7, 13, 25, 49, 97, 193, 385, 769, 1537, 3073, 6145, 12289, 24577, 49153, 98305, 196609, 393217, 786433, 1572865, ... (последовательность A181565 в OEIS )

Первые несколько простых чисел Thabit второго типа:

7, 13, 97, 193, 769, 12289, 786433, 3221225473, 206158430209, 6597069766657, 221360928884514619393, ... (последовательность A039687 в OEIS )

Их n значений:

1, 2, 5, 6, 8, 12, 18, 30, 36, 41, 66, 189, 201, 209, 276, 353, 408, 438, 534, 2208, 2816, 3168, 3189, 3912, 20909, 34350, 42294, 42665, 44685, 48150, 54792, 55182, 59973, 80190, 157169, 213321, 303093, 362765, 382449, 709968, 801978, 916773, 1832496, 2145353, 229163310, 2478785, 5082306, . (последовательность A002253 в OEIS )

Связь с дружескими номерами

Когда и n, и n −1 дают простые числа Thabit (первого типа), а также простое число, пара дружественных чисел может быть вычислена следующим образом:

а также

Например, n = 2 дает простое число Табита 11, а n −1 = 1 дает простое число Табита 5, а наш третий член равен 71. Тогда 2 2 = 4, умноженное на 5 и 11 дает 220 , делители которых складывают до 284 , и 4 умножить на 71 равно 284, чьи делители в сумме дают 220.

Единственные известные n, удовлетворяющие этим условиям, - это 2, 4 и 7, соответствующие простым числам Табита 11, 47 и 383, заданным как n , простым числам Табита 5, 23 и 191, заданным как n −1, и наши третьи члены равны 71, 1151. и 73727. (Соответствующие дружественные пары: (220, 284), (17296, 18416) и (9363584, 9437056))

Обобщение

Для целого числа b ≥ 2 основанием числа Табита b является число вида ( b +1) · b n - 1 для неотрицательного целого числа n . Кроме того, для целого числа b ≥ 2 число Табита второго рода с основанием b является числом вида ( b +1) · b n + 1 для неотрицательного целого числа n .

Числа Вильямса также являются обобщением чисел Табита. Для целого числа b ≥ 2 основанием числа Вильямса b является число вида ( b −1) · b n - 1 для неотрицательного целого числа n . Кроме того, для целого числа b ≥ 2 число Вильямса с основанием b второго рода является числом вида ( b -1) · b n + 1 для неотрицательного целого числа n .

Для целого числа b ≥ 2 основа простого числа Табита b является основанием числа Табита b , которое также является простым. Точно так же для целого числа b ≥ 2 основание простого числа Вильямса b является основанием числа Вильямса b , которое также является простым.

Каждое простое число p является простым числом Табита с основанием p первого рода , простым числом Вильямса с основанием первого рода p +2 и простым числом Вильямса с основанием p второго рода ; если p ≥ 5, то p также является простым Табитом второго рода с основанием p − 2.

Это гипотеза, что для любого целого числа b ≥ 2 существует бесконечно много простых чисел Табита с базой b первого рода , бесконечно много простых чисел Вильямса с базой b первого рода и бесконечно много простых чисел Вильямса с базой b второго рода ; кроме того, для любого целого числа b ≥ 2, которое не сравнимо с 1 по модулю 3, существует бесконечно много простых чисел Табита с основанием b второго рода . (Если основание b сравнимо с 1 по модулю 3, то все числа Табита второго рода с основанием b делятся на 3 (и больше 3, так как b ≥ 2), поэтому нет простых чисел Табита второго рода с основанием b .)

Показатель простых чисел Табита второго типа не может совпадать с 1 по модулю 3 (кроме самого 1), показатель простых чисел Вильямса первого рода не может совпадать с 4 по модулю 6, а показатель показателей простых чисел Вильямса второго рода не может совпадать с 1 mod 6 (кроме самого 1), так как соответствующий многочлен b является приводимым многочленом . (Если n ≡ 1 mod 3, то ( b +1) · b n + 1 делится на b 2 + b + 1; если n 4 mod 6, то ( b −1) · b n - 1 делится на b 2 - b + 1; и если n ≡ 1 mod 6, то ( b −1) · b n + 1 делится на b 2 - b + 1) В противном случае соответствующий многочлен b является неприводимым многочленом , поэтому, если Гипотеза Буняковского верна, тогда существует бесконечно много оснований b таких, что соответствующее число (при фиксированном показателе n, удовлетворяющем условию) простое. (( b +1) · b n - 1 неприводимо для всех неотрицательных целых n , поэтому, если гипотеза Буняковского верна, то существует бесконечно много оснований b таких, что соответствующее число (при фиксированном показателе n ) простое)

б числа n такие, что ( b +1) · b n - 1 простое число
(простые числа Табита первого рода с основанием b ) 		числа n такие, что ( b +1) · b n + 1 простое число
(простые числа Табита второго рода с основанием b ) 		числа n такие, что ( b −1) · b n - 1 простое число
(простые числа Вильямса первого рода с основанием b ) 		числа n такие, что ( b −1) · b n + 1 простое число
(простые числа Вильямса второго рода с основанием b )
2 OEIS :  A002235 OEIS :  A002253 OEIS :  A000043 0, 1, 2, 4, 8, 16, ... (см. Простое число Ферма )
3 OEIS :  A005540 OEIS :  A005537 OEIS :  A003307 OEIS :  A003306
4 1, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 16, 24, 27, 36, 74, 92, 124, 135, 137, 210, ... (никто) OEIS :  A272057 1, 3, 4, 6, 9, 15, 18, 33, 138, 204, 219, 267, ...
5 OEIS :  A257790 OEIS :  A143279 OEIS :  A046865 OEIS :  A204322
6 1, 2, 3, 13, 21, 28, 30, 32, 36, 48, 52, 76, ... 1, 6, 17, 38, 50, 80, 207, 236, 264, ... OEIS :  A079906 OEIS :  A247260
7 0, 4, 7, 10, 14, 23, 59, ... (никто) OEIS :  A046866 OEIS :  A245241
8 1, 5, 7, 21, 33, 53, 103, ... 1, 2, 11, 14, 21, 27, 54, 122, 221, ... OEIS :  A268061 OEIS :  A269544
9 1, 2, 4, 5, 7, 10, 11, 13, 15, 19, 27, 29, 35, 42, 51, 70, 112, 164, 179, 180, 242, ... 0, 2, 6, 9, 11, 51, 56, 81, ... OEIS :  A268356 OEIS :  A056799
10 OEIS :  A111391 (никто) OEIS :  A056725 OEIS :  A056797
11 0, 1, 2, 3, 4, 11, 13, 22, 27, 48, 51, 103, 147, 280, ... 0, 2, 3, 6, 8, 138, 149, 222, ... OEIS :  A046867 OEIS :  A057462
12 2, 6, 11, 66, 196, ... 1, 2, 8, 9, 17, 26, 62, 86, 152, ... OEIS :  A079907 OEIS :  A251259

Наименьшие k ≥ 1 такие, что ( n +1) · n k - 1 простое число: (начинаются с n = 2)

1, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 4, 3, 1, 1, 1, 2, 7, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 4, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 8, 3, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 5, 3, 1, 1, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 5, 2, 1483, 1, 1, 1, 24, 1, 2, 1, 2, 6, 3, 3, 36, 1, 10, 8, 3, 7, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 7, 1704, 1, 3, 9, 4, 1, 1, 2, 1, 2, 24, 25, 1, .. .

Наименьшее k ≥ 1 такое, что ( n +1) · n k + 1 простое число: (начните с n = 2, 0, если такого k не существует)

1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 2, 0, 2, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 9, 0, 1, 1, 0, 2, 1, 0, 2, 1, 0, 5, 2, 0, 5, 1, 0, 2, 3, 0, 1, 3, 0, 1, 2, 0, 2, 2, 0, 2, 6, 0, 1, 183, 0, 2, 1, 0, 2, 1, 0, 1, 21, 0, 1, 185, 0, 3, 1, 0, 2, 1, 0, 1, 120, 0, 2, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 8, 0, 5, 9, 0, 2, 2, 0, 1, 1, 0, 2, 3, 0, 9, 14, 0, 3, 1, 0, .. .

Наименьшие k ≥ 1 такие, что ( n −1) · n k - 1 простое число: (начинаются с n = 2)

2, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 14, 1, 1, 2, 6, 1, 1, 1, 55, 12, 1, 133, 1, 20, 1, 2, 1, 1, 2, 15, 3, 1, 7, 1362 11, 1, 1, 7, 1, 7, 7, 1, 1, 1, 2, 1, 25, 1, 5, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 899, 3, 11, 1, 1, 1, 63, 1, 13, 1, 25, 8, 3, 2, 7, 1, 44, 2, 11, 3, 81, 21495, 1, 2, 1, 1, 3, 25, 1, 519, 77, 476, 1, 1, 2, 1, 4983, 2, 2, .. .

Наименьшие k ≥ 1 такие, что ( n −1) · n k + 1 простое число: (начинаются с n = 2)

1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 3, 10, 3, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 29, 14, 1, 1, 14, 2, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 5, 12, 2, 1, 2, 2, 9, 16, 1, 2, 80, 1, 2, 4, 2, 3, 16, 2, 2, 2, 1, 15, 960, 15, 1, 4, 3, 1, 14, 1, 6, 20, 1, 3, 946, 6, 1, 18, 10, 1, 4, 1, 5, 42, 4, 1, 828, 1, 1, 2, 1, 12, 2, 6, 4, 30, 3, 3022, 2, 1, 1, 8, 2, 4, 4, 2, 11, 8, 2, 1, .. .

Числа Пирпонта являются обобщением чисел Табита второго рода .

использованная литература

внешние ссылки