Торальф Сколем - Thoralf Skolem

Торальф Сколем
ThoralfSkolem-OB.F06426c.jpg
Родился ( 1887-05-23 )23 мая 1887 г.
Сандсвер , Норвегия
Умер 23 марта 1963 г. (1963-03-23)(75 лет)
Осло , Норвегия
Национальность Норвежский
Альма-матер Осло университет
Известен Теорема Сколема – Нётер Теорема
Левенгейма – Сколема
Научная карьера
Поля Математик
Учреждения Университет Осло
Chr. Институт Михельсена
Докторант Аксель Туэ
Докторанты Øystein Ore

Торальф Альберт Сколем ( норвежский:  [ˈtùːrɑɫf ˈskùːlɛm] ; 23 мая 1887 г. - 23 марта 1963 г.) был норвежским математиком, который работал в области математической логики и теории множеств .

Жизнь

Хотя отец Сколема был учителем начальной школы, большая часть его большой семьи была фермерами. Сколем учился в средней школе в Кристиании (позже переименованной в Осло ), сдав вступительные экзамены в университет в 1905 году. Затем он поступил в Det Kongelige Frederiks Universitet, чтобы изучать математику, а также посещать курсы физики , химии , зоологии и ботаники .

В 1909 году он начал работать помощником физика Кристиана Биркеланда , известного тем, что бомбардировал намагниченные сферы электронами и получал эффекты, подобные полярным сияниям; таким образом, первые публикации Сколема были статьями по физике, написанными совместно с Биркеландом. В 1913 году Сколем с отличием сдал государственные экзамены и защитил диссертацию « Исследования по алгебре логики» . Он также путешествовал с Биркеландом в Судан, чтобы наблюдать за зодиакальным светом . Он провел зимний семестр 1915 года в Геттингенском университете , в то время ведущем исследовательском центре математической логики , метаматематики и абстрактной алгебры , областей, в которых Сколем в конечном итоге преуспел. В 1916 году он был назначен научным сотрудником Det Kongelige Frederiks Universitet. В 1918 году он стал доцентом по математике и был избран в Норвежскую академию наук и литературы .

Сколем сначала формально не поступил в докторантуру. кандидат, полагая, что к.т.н. в Норвегии не было необходимости. Позже он передумал и в 1926 году защитил диссертацию под названием « Некоторые теоремы об интегральных решениях некоторых алгебраических уравнений и неравенств» . Его теоретическим научным руководителем был Аксель Туэ , хотя Туэ умер в 1922 году.

В 1927 году он женился на Эдит Вильгельмин Хасволд.

Сколем продолжал преподавать в Det kongelige Frederiks Universitet (переименованном в Университет Осло в 1939 г.) до 1930 г., когда он стал научным сотрудником в Chr. Институт Михельсена в Бергене . Эта руководящая должность позволяла Сколему проводить исследования без административных и преподавательских обязанностей. Однако должность также требовала, чтобы он проживал в Бергене , городе, в котором тогда не было университета и, следовательно, не было исследовательской библиотеки, так что он не мог быть в курсе математической литературы. В 1938 году он вернулся в Осло, чтобы занять должность профессора математики в университете. Там он читал аспирантуру по алгебре и теории чисел и лишь изредка по математической логике. Сколема к.э.н. студент Øystein Ore сделал карьеру в США.

Сколем был президентом Норвежского математического общества и много лет редактировал Norsk Matematisk Tidsskrift («Норвежский математический журнал»). Он также был редактором-основателем Mathematica Scandinavica .

После выхода на пенсию в 1957 году он совершил несколько поездок в Соединенные Штаты, где выступал и преподавал в университетах. Он оставался интеллектуально активным до своей внезапной и неожиданной смерти.

Подробнее об академической жизни Сколема см. Fenstad (1970).

Математика

Skolem опубликовал около 180 статей по диофантовых уравнений , теории групп , решетки теории , и прежде всего, теории множеств и математической логики . В основном он публиковался в норвежских журналах с ограниченным международным тиражом, так что его результаты время от времени открывались заново. Примером может служить теорема Сколема – Нётер , характеризующая автоморфизмы простых алгебр. Сколем опубликовал доказательство в 1927 году, но Эмми Нётер независимо открыла его заново несколько лет спустя.

Сколем был одним из первых, кто писал на решетках . В 1912 году он первым описал свободную распределительную решетку, порожденную n элементами. В 1919 году он показал, что каждая импликативная решетка (теперь также называемая решеткой Сколема ) дистрибутивна и, как частичное обратное, что каждая конечная дистрибутивная решетка импликативна. После того, как эти результаты были переоткрыты другими, Сколем опубликовал статью 1936 года на немецком языке «Über gewisse 'Verbände' oder 'Lattices'», в которой был дан обзор его более ранних работ по теории решеток.

Сколем был одним из первых теоретиков моделей . В 1920 году он значительно упростил доказательство теоремы, которую Леопольд Левенгейм впервые доказал в 1915 году, что привело к теореме Левенгейма – Сколема , которая гласит, что если счетная теория первого порядка имеет бесконечную модель, то она имеет счетную модель. В его доказательстве 1920 г. использовалась аксиома выбора , но позже (1922 и 1928 гг.) Он дал доказательства, используя лемму Кёнига вместо этой аксиомы. Примечательно, что Сколем, как и Левенхайм, писал о математической логике и теории множеств, используя обозначения своих коллег-теоретиков-новаторов Чарльза Сандерса Пирса и Эрнста Шредера , включая Π, Σ в качестве квантификаторов привязки переменных, в отличие от обозначений Пеано , Принципы математики и принципы математической логики . Сколем (1934) был пионером в построении нестандартных моделей арифметики и теории множеств.

Сколем (1922) уточнил аксиомы Цермело для теории множеств, заменив расплывчатое понятие Цермело об «определенном» свойстве любым свойством, которое может быть закодировано в логике первого порядка . Полученная аксиома теперь является частью стандартных аксиом теории множеств. Сколем также указал, что следствием теоремы Левенгейма – Сколема является то, что теперь известно как парадокс Сколема : если аксиомы Цермело непротиворечивы, то они должны быть выполнимы в счетной области, даже если они доказывают существование несчетных множеств.

Полнота

Полноты в логике первого порядка является следствием результатов Skolem оказались в начале 1920 - х годов и обсужденных в Сколемом (1928), но он не отметить этот факт, возможно , потому , что математики и логики не стали в полной мере осознает полноту как основополагающего метаматематическом Проблема до 1928 г. в первом издании « Принципов математической логики» Гильберта и Аккермана четко сформулировала ее. В любом случае Курт Гёдель впервые доказал эту полноту в 1930 году.

Сколем не доверял завершенной бесконечности и был одним из основоположников финитизма в математике. Сколем (1923) излагает свою примитивную рекурсивную арифметику , очень ранний вклад в теорию вычислимых функций , как средство избежать так называемых парадоксов бесконечности. Здесь он разработал арифметику натуральных чисел, сначала определив объекты с помощью примитивной рекурсии , а затем разработав другую систему для доказательства свойств объектов, определенных первой системой. Эти две системы позволили ему определить простые числа и изложить значительный объем теории чисел. Если первую из этих систем можно рассматривать как язык программирования для определения объектов, а вторую - как логику программирования для доказательства свойств объектов, Сколема можно рассматривать как невольного пионера теоретической информатики.

В 1929 году Пресбургер доказал, что арифметика Пеано без умножения непротиворечива , полна и разрешима . В следующем году Сколем доказал, что то же самое можно сказать и об арифметике Пеано без сложения, системе, названной в его честь арифметикой Сколема . Знаменитый результат Гёделя 1931 года состоит в том, что сама арифметика Пеано (как со сложением, так и с умножением) является неполной и, следовательно, апостериорной неразрешимой.

Хао Ван охарактеризовал работу Сколема следующим образом:

«Сколем склонен рассматривать общие проблемы на конкретных примерах. Он часто, казалось, представляет доказательства в том же порядке, в котором он пришел, чтобы их обнаружить. Это приводит к новой неформальности, а также к определенной неубедительности. Многие из его работ кажутся одними отчетами о прогрессе. Тем не менее, его идеи часто беременны и потенциально способны к широкому применению. Он был в значительной степени «свободным духом»: он не принадлежал ни к какой школе, он не основал свою собственную школу, он обычно не сильно использовал известные результаты ... он был большим новатором, и большинство его статей могут быть прочитаны и поняты теми, у кого нет особых специальных знаний. Кажется вполне вероятным, что если бы он был молод сегодня, логика ... не привлекла бы его. " (Сколем 1970: 17-18)

Подробнее о достижениях Сколема см. Hao Wang (1970).

Смотрите также

использованная литература

Начальный

  • Сколем, Торальф (1934). "Über die Nicht-charakterisierbarkeit der Zahlenreihe mittels endlich oder abzählbar unendlich vieler Aussagen mit ausschließlich Zahlenvariablen" (PDF) . Fundamenta Mathematicae (на немецком языке). 23 (1): 150–161. DOI : 10,4064 / фм-23-1-150-161 .
  • Сколем Т.А., 1970. Избранные труды по логике , Фенстад, Дж. Э., изд. Осло: Книги Скандинавского университета. Содержит 22 статьи на немецком языке, 26 на английском, 2 на французском, 1 английский перевод статьи, первоначально опубликованной на норвежском языке, и полную библиографию.

Сочинения в английском переводе

  • Жан ван Хейеноорт , 1967. От Фреге до Гёделя: Справочник по математической логике, 1879–1931 . Гарвардский унив. Нажмите.
    • 1920. «Логико-комбинаторные исследования выполнимости или доказуемости математических предложений: упрощенное доказательство теоремы Левенгейма», 252–263.
    • 1922. "Некоторые замечания по аксиоматизированной теории множеств", 290-301.
    • 1923. «Основы элементарной арифметики», 302-33.
    • 1928. «О математической логике», 508–524.

Вторичный

  • Брэди, Джеральдин, 2000. От Пирса до Сколема . Северная Голландия.
  • Фенстад, Йенс Эрик, 1970, «Памяти Торальфа Альберта Сколема» в Сколеме (1970: 9–16).
  • Хао Ван, 1970, «Обзор работ Сколема по логике» в Сколеме (1970: 17–52).

внешние ссылки