Топологическое кольцо - Topological ring

В математике , A топологического кольца является кольцо R , который также является топологическим пространство таким образом, что как сложение и умножение является непрерывными как карты:

${\ displaystyle R \ times R \ to R}$

где несет топологию продукта . Это означает, что R - аддитивная топологическая группа и мультипликативная топологическая полугруппа . ${\ Displaystyle R \ раз R}$

Топологические кольца фундаментально связаны с топологическими полями и естественно возникают при их изучении, поскольку, например, пополнение топологического поля может быть топологическим кольцом, которое не является полем .

Общие комментарии

Группа единиц R ^× топологического кольца R является топологической группой , когда наделенная топология приходит от вложения в R ^× в продукте R × R как ( х , х ^-1 ). Однако, если единичная группа наделена топологией подпространства как подпространство R , она может не быть топологической группой, потому что инверсия на R ^× не обязательно должна быть непрерывной по отношению к топологии подпространства. Примером такой ситуации является кольцом аделей из глобального поля ; его единичная группа, называемая группой идеелей , не является топологической группой в топологии подпространства. Если инверсия на R ^× непрерывна в топологии подпространства R, то эти две топологии на R ^× совпадают.

Если не требуется, чтобы кольцо имело единицу, то нужно добавить требование непрерывности аддитивного обратного, или, что то же самое, определить топологическое кольцо как кольцо, которое является топологической группой (для +), в которой умножение тоже непрерывный.

Примеры

Топологические кольца встречаются в математическом анализе , например, как кольца непрерывных вещественнозначных функций на некотором топологическом пространстве (где топология задается поточечной сходимостью) или как кольца непрерывных линейных операторов на некотором нормированном векторном пространстве ; все банаховы алгебры являются топологическими кольцами. В рациональные , действительные , комплексные и р -адические числа также топологические кольца (даже топологические поля, смотри ниже) с их стандартными топологий. На плоскости расщепленные комплексные числа и двойственные числа образуют альтернативные топологические кольца. См. Гиперкомплексные числа для других низкоразмерных примеров.

В алгебре распространена следующая конструкция: начинают с коммутативного кольца R, содержащего идеал I , а затем рассматривают I -адическую топологию на R : подмножество U в R открыто тогда и только тогда, когда для каждого x в U существует натуральное число п такое , что х + я ^п ⊆ U . Это превращает R в топологическое кольцо. I -адическая топология Хаусдорф тогда и только тогда , когда пересечение всех степеней I является нулевым идеалом (0).

Р -адическая топологии на целых является примером I -адического топологии (с I = ( р )).

Завершение

Каждое топологическое кольцо является топологической группой (относительно сложения) и, следовательно, естественным образом является равномерным пространством . Таким образом, можно спросить , является ли данное топологическое кольцо R является полным . Если это не так , то оно может быть завершено : можно найти по существу уникальный полный топологическое кольцо S , содержащее R в качестве плотного Подкольцо таким образом, что данная топология на R равна топология подпространства , вытекающую из S . Если начальное кольцо R является метрическим, кольцо S может быть построено как набор классов эквивалентности последовательностей Коши в R , это отношение эквивалентности делает кольцо S хаусдорфовым и, используя постоянные последовательности (которые являются Коши), реализует (равномерно) непрерывную морфизм (CM в дальнейшем) c  : R → S такой, что для всех CM f  : R → T, где T хаусдорфово и полно, существует единственный CM g  : S → T такой, что . Если R не является метрическим (как, например, кольцо всех рациональнозначных функций вещественных переменных, т.е. все функции f  : R → Q, наделенные топологией поточечной сходимости), стандартная конструкция использует минимальные фильтры Коши и удовлетворяет тому же универсальному свойству как указано выше (см. Бурбаки , Общая топология, III.6.5). ${\ displaystyle f = g \ circ c}$

Кольца формальных степенных рядов и целые p -адические числа наиболее естественно определяются как пополнения некоторых топологических колец, несущих I -адические топологии.

Топологические поля

Некоторые из наиболее важных примеров - топологические поля . Топологическое поле - это топологическое кольцо, которое также является полем и такое, что обращение ненулевых элементов является непрерывной функцией. Наиболее распространенными примерами являются комплексные числа и все его подполя , а также поля со значениями , которые включают p -адические поля .

Цитаты

использованная литература