Уравнение Торричелли - Torricelli's equation

В физике уравнение Торричелли или формула Торричелли - это уравнение, созданное Евангелистой Торричелли для определения конечной скорости объекта, движущегося с постоянным ускорением вдоль оси (например, оси x) без известного временного интервала.

Само уравнение:

${\ displaystyle v_ {f} ^ {2} = v_ {i} ^ {2} + 2a \ Delta x \,}$

куда

• ${\ displaystyle v_ {f}}$- конечная скорость объекта по оси x, на которой ускорение постоянно.
• ${\ displaystyle v_ {i}}$ - начальная скорость объекта по оси x.
• ${\ displaystyle a}$- ускорение объекта по оси x, заданное как постоянная величина.
• ${\ displaystyle \ Delta x \,}$изменение положения объекта по оси x, также называемое смещением .

В этом и всех последующих уравнениях в этой статье нижний индекс (как в ) подразумевается, но не выражается явно для ясности при представлении уравнений. ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle {v_ {f}} _ {x}}$

Это уравнение справедливо для любой оси, на которой ускорение постоянно.

Вывод

Без дифференциалов и интеграции

Начнем с определения ускорения:

${\ displaystyle a = {\ frac {v_ {f} -v_ {i}} {\ Delta t}}}$

где - временной интервал. Это правда, потому что ускорение постоянно. Левая часть - это постоянное значение ускорения, а правая часть - это среднее ускорение . Поскольку среднее значение константы должно быть равно постоянному значению, мы имеем это равенство. Если бы ускорение не было постоянным, это было бы неверно. ${\ textstyle \ Delta t}$

Теперь найдите окончательную скорость:

${\ displaystyle v_ {f} = v_ {i} + a \ Delta t \, \!}$

Выровняйте обе стороны, чтобы получить:

${\ displaystyle v_ {f} ^ {2} = (v_ {i} + a \ Delta t) ^ {2} = v_ {i} ^ {2} + 2av_ {i} \ Delta t + a ^ {2} (\ Delta t) ^ {2} \, \!}$

( 1 )

Этот член также появляется в другом уравнении, которое справедливо для движения с постоянным ускорением: уравнение для конечного положения объекта, движущегося с постоянным ускорением, и может быть выделено: ${\ Displaystyle (\ Delta t) ^ {2} \, \!}$

${\ displaystyle x_ {f} = x_ {i} + v_ {i} \ Delta t + a {\ frac {(\ Delta t) ^ {2}} {2}}}$

${\ displaystyle x_ {f} -x_ {i} -v_ {i} \ Delta t = a {\ frac {(\ Delta t) ^ {2}} {2}}}$

${\ displaystyle (\ Delta t) ^ {2} = 2 {\ frac {x_ {f} -x_ {i} -v_ {i} \ Delta t} {a}} = 2 {\ frac {\ Delta x- v_ {i} \ Delta t} {a}}}$

( 2 )

Подстановка ( 2 ) в исходное уравнение ( 1 ) дает:

${\ displaystyle v_ {f} ^ {2} = v_ {i} ^ {2} + 2av_ {i} \ Delta t + a ^ {2} \ left (2 {\ frac {\ Delta x-v_ {i}) \ Delta t} {a}} \ right)}$

${\ displaystyle v_ {f} ^ {2} = v_ {i} ^ {2} + 2av_ {i} \ Delta t + 2a (\ Delta x-v_ {i} \ Delta t)}$

${\ displaystyle v_ {f} ^ {2} = v_ {i} ^ {2} + 2av_ {i} \ Delta t + 2a \ Delta x-2av_ {i} \ Delta t \, \!}$

${\ displaystyle v_ {f} ^ {2} = v_ {i} ^ {2} + 2a \ Delta x \, \!}$

Использование дифференциалов и интеграции

Начнем с определения ускорения как производной скорости:

${\ displaystyle a = {\ frac {dv} {dt}}}$

Теперь умножаем обе части на скорость : ${\ textstyle v}$

${\ displaystyle v \ cdot a = v \ cdot {\ frac {dv} {dt}}}$

В левой части мы можем переписать скорость как производную от положения:

${\ displaystyle {\ frac {dx} {dt}} \ cdot a = v \ cdot {\ frac {dv} {dt}}}$

Умножение обеих сторон на дает нам следующее: ${\ textstyle dt}$

${\ displaystyle dx \ cdot a = v \ cdot dv}$

Переставим термины более традиционным способом:

${\ Displaystyle а \, dx = v \, dv}$

Интегрируя обе стороны от начального момента с положением и скоростью до конечного момента с положением и скоростью : ${\ textstyle x_ {i}}$${\ textstyle v_ {i}}$${\ textstyle x_ {f}}$${\ textstyle v_ {f}}$

${\ displaystyle \ int _ {x_ {i}} ^ {x_ {f}} {a} \, dx = \ int _ {v_ {i}} ^ {v_ {f}} v \, dv}$

Поскольку ускорение постоянно, мы можем исключить его из интегрирования:

${\ displaystyle {a} \ int _ {x_ {i}} ^ {x_ {f}} dx = \ int _ {v_ {i}} ^ {v_ {f}} v \, dv}$

Решение интеграции:

${\ displaystyle {a} {\ bigg [} x {\ bigg]} _ {x = x_ {i}} ^ {x = x_ {f}} = \ left [{\ frac {v ^ {2}} { 2}} \ right] _ {v = v_ {i}} ^ {v = v_ {f}}}$

${\ displaystyle {a} \ left (x_ {f} -x_ {i} \ right) = {\ frac {v_ {f} ^ {2}} {2}} - {\ frac {v_ {i} ^ { 2}} {2}}}$

Фактором является смещение : ${\ textstyle x_ {f} -x_ {i}}$${\ textstyle \ Delta x}$

${\ displaystyle a \ Delta x = {\ frac {1} {2}} \ left (v_ {f} ^ {2} -v_ {i} ^ {2} \ right)}$

${\ displaystyle 2a \ Delta x = v_ {f} ^ {2} -v_ {i} ^ {2}}$

${\ displaystyle v_ {f} ^ {2} = v_ {i} ^ {2} + 2a \ Delta x}$

Из теоремы о работе-энергии

Теорема работы-энергии утверждает, что

${\ displaystyle \ Delta E_ {K} = W}$

${\ displaystyle {\ frac {m} {2}} \ left (v_ {f} ^ {2} -v_ {i} ^ {2} \ right) = F \ Delta x}$

который, согласно второму закону движения Ньютона, становится

${\ displaystyle {\ frac {m} {2}} \ left (v_ {f} ^ {2} -v_ {i} ^ {2} \ right) = ma \ Delta x}$

${\ displaystyle v_ {f} ^ {2} -v_ {i} ^ {2} = 2a \ Delta x}$

${\ displaystyle v_ {f} ^ {2} = v_ {i} ^ {2} + 2a \ Delta x}$

Смотрите также

• Уравнение движения

использованная литература

внешние ссылки

• Теорема Торричелли