Тор - Torus

Тор революции

По мере того, как расстояние от оси вращения уменьшается, кольцевой тор становится роговым тором, затем веретеновым тором и, наконец, вырождается в двойную покрытую сферу.

Тор с соотношением сторон 3 как произведение меньшего (красного) и большего (пурпурного) круга.

В геометрии , A тор (множественное число тора , в просторечии пончика ) является поверхность вращения генерируется путем вращения круга в трехмерном пространстве относительно оси, в одной плоскости с кругом.

Если ось вращения не касается круга, поверхность имеет форму кольца и называется тором вращения . Если ось вращения касается окружности, поверхность представляет собой рог-тор . Если ось вращения дважды проходит через окружность, поверхность представляет собой тор шпинделя . Если ось вращения проходит через центр круга, поверхность представляет собой вырожденный тор, двойную покрытую сферу . Если повернутая кривая не является кругом, поверхность - это связанная форма, тороид .

К объектам реального мира, которые напоминают тор вращения, относятся плавательные кольца и камеры . Линзы для очков, сочетающие сферическую и цилиндрическую коррекцию, представляют собой торические линзы .

Не следует путать тор с полноторием , который образован вращением диска , а не круга, вокруг оси. Полноценный тор - это тор плюс объем внутри тора. Реальные объекты, которые напоминают твердый тор, включают уплотнительные кольца , ненадувные спасательные круги , кольцевые пончики и рогалики .

В топологии , кольцо торы гомеоморфная к декартову произведению двух кругов : S ¹  ×  S ¹ , а последний берутся определение в этом контексте. Это компактное 2-многообразие рода 1. Кольцо тор является одним из способов встроить это пространство в евклидово пространства , а другой способ сделать это состоит в декартово произведении вложения из S ¹ в плоскости с самими собой. Это создает геометрический объект, называемый тор Клиффорда , поверхность в 4-пространстве .

В области топологии тор - это любое топологическое пространство, гомеоморфное тору. Чашка кофе и пончик являются топологическими торами с родом один.

Пример тора можно построить, взяв прямоугольную полосу гибкого материала, например, резиновый лист, и соединив верхний край с нижним краем, а левый край с правым краем без каких-либо полувручений (ср. Лента Мебиуса ).

Геометрия

Днища и
вертикальные разрезы

R > r : кольцевой тор или якорное кольцо

R = r : рог тор

R < r : самопересекающийся тор шпинделя

Тор можно определить параметрически :

${\ Displaystyle {\ begin {выровнено} Икс (\ theta, \ varphi) & = (R + r \ cos \ theta) \ cos {\ varphi} \\ y (\ theta, \ varphi) & = (R + r \ cos \ theta) \ sin {\ varphi} \\ z (\ theta, \ varphi) & = r \ sin \ theta \\ {\ text {с:}} ~ \ theta, \ varphi & = [0,2 \ пи) \ конец {выровнено}}}$

куда

θ , φ - углы, образующие полный круг, поэтому их значения начинаются и заканчиваются в одной и той же точке,

R - расстояние от центра трубки до центра тора,

r - радиус трубки.

Угол θ представляет собой вращение вокруг трубы, тогда как φ представляет собой вращение вокруг оси вращения тора. R известен как «большой радиус», а r известен как «малый радиус». Соотношение R, деленное на r , известно как « соотношение сторон ». Типичные кондитерские изделия из пончиков имеют соотношение сторон примерно от 3 до 2.

Неявное уравнение в декартовых координатах для тора радиально симметрично относительно г - ось является

${\ displaystyle \ left ({\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} - R \ right) ^ {2} + z ^ {2} = r ^ {2},}$

или решение f ( x , y , z ) = 0 , где

${\ displaystyle f (x, y, z) = \ left ({\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} - R \ right) ^ {2} + z ^ {2} -r ^ {2}.}$

Алгебраическое исключение квадратного корня дает уравнение четвертой степени :

${\ displaystyle \ left (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + R ^ {2} -r ^ {2} \ right) ^ {2} = 4R ^ {2} \ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right).}$

Три класса стандартных торов соответствуют трем возможным соотношениям сторон между R и r :

• Когда R > r , поверхность будет знакомым кольцевым тором или якорным кольцом.
• R = r соответствует роговому тору, который, по сути, является тором без «дыры».
• R < r описывает самопересекающийся тор шпинделя; его внутренняя оболочка - лимон, а внешняя оболочка - яблоко
• При R = 0 тор вырождается в сферу.

Когда R ≥ г , то внутренняя

${\ displaystyle \ left ({\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} - R \ right) ^ {2} + z ^ {2} <r ^ {2}}$

этого тора диффеоморфна (и, следовательно, гомеоморфно) к продукту в виде евклидовой открытого круга и окружности. Объем этого полнотория и площадь поверхности его тора легко вычисляются с использованием центроид теоремы Паппа в , давая:

${\ Displaystyle {\ begin {align} A & = \ left (2 \ pi r \ right) \ left (2 \ pi R \ right) = 4 \ pi ^ {2} Rr \\ V & = \ left (\ pi r ^ {2} \ right) \ left (2 \ pi R \ right) = 2 \ pi ^ {2} Rr ^ {2}. \ End {align}}}$

Эти формулы те же, что и для цилиндра длиной 2π R и радиусом r , полученного путем разрезания трубы вдоль плоскости малого круга и ее разворачивания путем выпрямления (выпрямления) линии, проходящей вокруг центра трубы. Потери площади поверхности и объема на внутренней стороне трубки в точности нивелируют выигрыш на внешней стороне.

Выразив площадь поверхности и объем расстоянием p от самой удаленной точки на поверхности тора до центра и расстоянием q от самой внутренней точки до центра (так что R = р + д/2и r =р - д/2), дает

${\ displaystyle {\ begin {align} A & = 4 \ pi ^ {2} \ left ({\ frac {p + q} {2}} \ right) \ left ({\ frac {pq} {2}} \ справа) = \ pi ^ {2} (p + q) (pq) \\ V & = 2 \ pi ^ {2} \ left ({\ frac {p + q} {2}} \ right) \ left ({ \ frac {pq} {2}} \ right) ^ {2} = {\ tfrac {1} {4}} \ pi ^ {2} (p + q) (pq) ^ {2} \ end {выровнено} }}$

Полоидальное направление (красная стрелка) и
тороидальное направление (синяя стрелка)

Поскольку тор представляет собой произведение двух окружностей, иногда используется модифицированная версия сферической системы координат . В традиционных сферических координатах есть три меры: R , расстояние от центра системы координат, и θ и φ , углы, измеренные от центральной точки.

Поскольку тор имеет две центральные точки, центральные точки углов перемещаются; φ измеряет тот же угол, что и в сферической системе, но известен как «тороидальное» направление. Центральная точка θ перемещается в центр r и известна как «полоидальное» направление. Эти термины были впервые использованы при обсуждении магнитного поля Земли, где «полоидальное» использовалось для обозначения «направления к полюсам».

В современном использовании тороидальные и полоидальные чаще используются для описания термоядерных устройств с магнитным удержанием .

Топология

Топологически тор - это замкнутая поверхность, определенная как произведение двух окружностей : S ¹  ×  S ¹ . Это можно рассматривать как лежащее в C ² и являющееся подмножеством 3-сферы S ³ радиуса √2. Этот топологический тор также часто называют тором Клиффорда . В самом деле, S ³ будет заполнена семейством вложенных торов таким образом (с двумя вырожденными кругами), факт , который играет важную роль в изучении S ³ в виде пучка волокон над S ² ( расслоения Хопфа ).

Описанная выше поверхность, учитывая относительную топологию из R ³ , гомеоморфна топологическому тору, пока она не пересекает свою собственную ось. Конкретный гомеоморфизм задается стереографическим проецированием топологического тора в R ³ с северного полюса S ³ .

Тор также может быть описан как фактор в декартовой плоскости под идентификаций

${\ Displaystyle (х, у) \ сим (х + 1, у) \ сим (х, у + 1), \,}$

или, что то же самое, как частное от единичного квадрата путем склеивания противоположных ребер вместе, описанного как фундаментальный многоугольник ABA ⁻¹ B ⁻¹ .

Вывертывание проколотого тора наизнанку

Фундаментальная группа тора является только прямым произведением фундаментальной группы окружности с самим собой:

${\ displaystyle \ pi _ {1} (\ mathbf {T} ^ {2}) = \ pi _ {1} (S ^ {1}) \ times \ pi _ {1} (S ^ {1}) \ cong \ mathbf {Z} \ times \ mathbf {Z}.}$

Интуитивно говоря, это означает, что замкнутый путь, который огибает «дыру» тора (скажем, круг, обозначающий определенную широту), а затем обходит «тело» тора (скажем, круг, проводящий определенную долготу) можно деформировать до траектории, огибающей тело, а затем отверстие. Таким образом, переходят строго «широтные» и строго «продольные» пути. Эквивалентное утверждение можно представить как два шнурка, проходящие друг через друга, затем разматывающиеся, а затем перематывающиеся.

Если проколоть тор и вывернуть его наизнанку, то получится другой тор, в котором линии широты и долготы поменяются местами. Это эквивалентно созданию тора из цилиндра путем соединения круглых концов вместе двумя способами: снаружи, как соединение двух концов садового шланга, или через внутреннюю часть, как скручивание носка (с отрезанным носком). Кроме того, если цилиндр был создан путем склеивания двух противоположных сторон прямоугольника, выбор двух других сторон вместо этого вызовет такое же изменение ориентации.

Первая группа гомологий тора изоморфна фундаментальной группе (это следует из теоремы Гуревича, поскольку фундаментальная группа абелева ).

Двустворчатый чехол

2-тор дважды покрывает 2-сферу с четырьмя точками ветвления . Любую конформную структуру на 2-торе можно представить как двулистное покрытие 2-сферы. Точки на торе, соответствующие точкам ветвления, являются точками Вейерштрасса . Фактически, конформный тип тора определяется поперечным отношением четырех точек.

n -мерный тор

Стереографическая проекция тора Клиффорда в четырех измерениях, выполняющая простое вращение в плоскости xz.

Тор имеет обобщение на более высокие измерения, n-мерный тор , часто называемый n -торомилидля краткостигипертором. (Это более типичное значение термина «n-тор», другое относится кnдыркам или к родуn.) Вспоминая, что тор является пространством произведения двух окружностей,n-мерный тор является произведениемnкруги. То есть:

${\ displaystyle \ mathbf {T} ^ {n} = \ underbrace {S ^ {1} \ times \ cdots \ times S ^ {1}} _ {n}.}$

1-тор - это просто окружность: T ¹  =  S ¹ . Обсуждаемый выше тор - это 2-тор T ² . И аналогично 2-тору, n -тор, T ^n, может быть описан как частное от R ⁿ при целых сдвигах по любой координате. То есть n -тор - это R ⁿ по модулю действия целочисленной решетки Z ⁿ (при этом действие выполняется как сложение векторов). Эквивалентно, n -тор получается из n- мерного гиперкуба путем склеивания противоположных граней вместе.

В этом смысле n -тор является примером n- мерного компактного многообразия . Это также пример компактной абелевой группы Ли . Это следует из того факта, что единичная окружность является компактной абелевой группой Ли (если ее отождествить с единичными комплексными числами с умножением). Тогда групповое умножение на торе определяется покоординатным умножением.

Тороидальные группы играют важную роль в теории компактных групп Ли . Отчасти это связано с тем, что в любой компактной группе Ли G всегда можно найти максимальный тор ; то есть замкнутая подгруппа, которая является тором максимально возможной размерности. Такая максимальные торы T имеет контролирующую роль в теории присоединенной G . Тороидальные группы являются примерами проторов , которые (как и торы) являются компактными связными абелевыми группами, которые не обязательно должны быть многообразиями .

Автоморфизмы из Т легко построены из автоморфизмов решетки Z ^п , которые классифицируются по обратимым целочисленным матрицам размера п с интегральным обратным; это просто интегральные матрицы с определителем ± 1. Заставляя их действовать на R ⁿ обычным образом, мы получаем типичный торальный автоморфизм на факторе.

Фундаментальная группа из п -тор является свободная абелева группа ранга п . К -м группа гомологии из п -тор свободная абелева группа ранга п выбрать K . Отсюда следует , что эйлерова характеристика из п -тор равно 0 для всех п . Кольцо когомологий Н ^• ( Т ^п ,  Z ) может быть идентифицирован с внешней алгеброй над Z - модуль Z ^п генераторы которой являются двойственными по п нетривиальных циклов.

Пространство конфигурации

Конфигурационное пространство 2, не обязательно различных точек на окружности, является орбифолдным фактором 2-тора T ² / S ₂ , который является лентой Мёбиуса .

Tonnetz пример тора в теории музыки.
Тоннец действительно является тором только в том случае, если предполагается энгармоническая эквивалентность , так что (F♯-A♯) сегмент правого края повторяющегося параллелограмма отождествляется с (G ♭ -B ♭) сегментом левого края.

По мере того как п -тор является п - кратное произведением окружности, то п -тор является конфигурационным пространство из п упорядочены, не обязательно различных точки на окружности. Символически T ⁿ = ( S ¹ ) ⁿ . Конфигурационное пространство неупорядоченных , не обязательно различных точек, соответственно, является орбифолдом T ⁿ / S _n , который является фактор-пространством тора по симметрической группе из n букв (путем перестановки координат).

При n = 2 фактор - это лента Мёбиуса , ребро, соответствующее точкам орбифолда, в которых две координаты совпадают. При n = 3 это частное можно описать как полноторие с поперечным сечением равносторонний треугольник с закруткой ; эквивалентно, как треугольная призма , верхняя и нижняя грани которой соединены поворотом на 1/3 (120 °): трехмерная внутренность соответствует точкам на трехмерном торе, где все три координаты различны, двумерная грань соответствует точкам с двумя равными координатами и третьей другой, а одномерное ребро соответствует точкам, у которых все три координаты идентичны.

Эти орбифолды нашли существенное применение в теории музыки в работах Дмитрия Тимочко и его соавторов (Фелипе Посада, Майкл Колинас и др.), Использовавшихся для моделирования музыкальных триад .

Плоский тор

В трех измерениях можно согнуть прямоугольник в тор, но при этом обычно поверхность растягивается, что видно по искажению клетчатого узора.

В стереографической проекции четырехмерный плоский тор можно спроецировать в трехмерном пространстве и вращать на фиксированной оси.

Простейшим замощением плоского тора является {4,4} _1,0 , построенное на поверхности дуоцилиндра с одной вершиной, двумя ортогональными ребрами и одной квадратной гранью. Здесь он изображен в стереографической проекции в 3-мерном пространстве в виде тора.

Плоский тор тор с метрикой унаследовал от его представления в качестве фактора , R ² / L , где L представляет собой дискретная подгруппа R ² изоморфна Z ² . Это дает фактор-структуру риманова многообразия . Возможно, самый простой пример этого - когда L = Z ² : R ² / Z ² , который также может быть описан как декартова плоскость с отождествлениями ( x , y ) ~ ( x + 1, y ) ~ ( x , y + 1) . Этот конкретный плоский тор (и любая его версия с равномерным масштабом) известен как «квадратный» плоский тор.

Эта метрика квадратного плоского тора также может быть реализована путем конкретных вложений знакомого 2-тора в евклидово 4-мерное пространство или более высокие измерения. Его поверхность всюду имеет нулевую гауссову кривизну . Его поверхность плоская в том же смысле, что и поверхность цилиндра. В трех измерениях можно согнуть плоский лист бумаги в цилиндр, не растягивая бумагу, но этот цилиндр нельзя согнуть в тор, не растягивая бумагу (если не отказаться от некоторых условий регулярности и дифференцируемости, см. Ниже).

Простое 4-мерное евклидово вложение прямоугольного плоского тора (более общего, чем квадратный) выглядит следующим образом:

${\ Displaystyle (Икс, Y, Z, вес) = (Р \ соз и, Р \ грех и, Р \ соз v, Р \ грех v)}$

где R и P - константы, определяющие соотношение сторон. Он диффеоморфен правильному тору, но не изометричен . Его нельзя аналитически вложить ( гладкое класса C ^k , 2 ≤ k ≤ ∞ ) в евклидово 3-пространство. Отображение его в 3- пространство требует его растяжения, и в этом случае он выглядит как обычный тор. Например, на следующей карте:

${\ displaystyle (x, y, z) = ((R + P \ sin v) \ cos u, (R + P \ sin v) \ sin u, P \ cos v).}$

Если R и P в приведенной выше параметризации плоского тора образуют единичный вектор ( R , P ) = (cos ( η ), sin ( η )), то u , v и η параметризуют единичную 3-сферу как координаты Хопфа . В частности, для некоторых очень специфических вариантов квадратного плоского тора в 3-сфере S ³ , где η = π / 4 выше, тор разделит 3-сферу на два конгруэнтных подмножества полнотория с вышеупомянутой плоской поверхностью тора как их общая граница . Одним из примеров является тор T, определяемый формулой

${\ displaystyle T = \ left \ {(x, y, z, w) \ in \ mathbf {S} ^ {3} \ mid x ^ {2} + y ^ {2} = {\ frac {1} { 2}}, \ z ^ {2} + w ^ {2} = {\ frac {1} {2}} \ right \}.}$

Другие торы в S ^3, обладающие этим свойством разбиения, включают квадратные торы вида Q ⋅ T , где Q - вращение 4-мерного пространства R ⁴ , или, другими словами, Q - член группы Ли SO (4).

Известно, что не существует C ² (дважды непрерывно дифференцируемого) вложения плоского тора в 3-пространство. (Идея доказательства состоит в том, чтобы взять большую сферу, внутри которой находится такой плоский тор, и уменьшить радиус сферы до тех пор, пока она не коснется тора в первый раз. Такая точка контакта должна быть касанием. Но это означало бы, что часть тора, поскольку он всюду имеет нулевую кривизну, должна лежать строго вне сферы, что является противоречием.) С другой стороны, согласно теореме Нэша-Койпера , которая была доказана в 1950-х годах, изометрическое C ¹ вложение существует. Это исключительно доказательство существования и не дает явных уравнений для такого вложения.

В апреле 2012 года было найдено явное C ¹ (непрерывно дифференцируемое) вложение плоского тора в 3-мерное евклидово пространство R ³ . По структуре он похож на фрактал, поскольку строится путем многократного гофрирования обычного тора. Как и фракталы, он не имеет определенной гауссовой кривизны. Однако, в отличие от фракталов, он имеет определенные нормали к поверхности . Это плоский тор в том смысле, что как метрические пространства он изометричен плоскому квадратному тору. (Эти бесконечно рекурсивные гофры используются только для вложения в три измерения; они не являются внутренней особенностью плоского тора.) Это первый случай, когда любое такое вложение было определено явными уравнениями или отображено с помощью компьютерной графики.

Поверхность рода g

В теории поверхностей есть еще один объект - поверхность « рода » g . Вместо того , чтобы произведение п окружностей, род г поверхность является связной суммой из г двух-торов. Чтобы сформировать связанную сумму двух поверхностей, удалите из каждой внутреннюю часть диска и «склейте» поверхности вместе по граничным кругам. Чтобы сформировать связанную сумму более двух поверхностей, суммируйте две из них за раз, пока все они не будут соединены. В этом смысле поверхность рода g напоминает поверхность g- пончиков, склеенных бок о бок, или 2-мерную сферу с прикрепленными g- ручками.

Например, поверхность рода 0 (без границы) является двумерной сферой, а поверхность рода 1 (без границы) является обычным тором. Поверхности более высокого рода иногда называют торами с n- отверстиями (или, реже, n -мерными торами). Иногда используются термины двойной тор и тройной тор .

Классификационная теорема для поверхностей состояний , что каждая компактная связная поверхность топологически эквивалентна либо сфере или подключения суммы некоторого числа торов, дисков и вещественных проективных плоскостей .

род два

род три

Тороидальные многогранники

Тороидальный полиэдр с 6 × 4 = 24 четырехугольных граней

Многогранники с топологическим типом тора называются тороидальными многогранниками и имеют эйлерову характеристику V - E + F = 0. Для любого количества дырок формула обобщается на V - E + F = 2 - 2 N , где N - это количество отверстий.

Термин «тороидальный многогранник» также используется для многогранников высшего рода и для погружений тороидальных многогранников.

Автоморфизмы

Группа гомеоморфизмов (или подгруппа диффеоморфизмов) тора изучается в геометрической топологии . Его группа классов отображений (связные компоненты группы гомеоморфизмов) изоморфна группе обратимых целочисленных матриц GL ( n ,  Z ) и может быть реализована как линейные отображения на универсальном накрывающем пространстве R ⁿ , сохраняющие стандартную решетку Z ⁿ (это соответствует целым коэффициентам) и, таким образом, спускаются до частного.

На уровне гомотопии и гомологии группа классов отображений может быть идентифицирована как действие на первых гомологиях (или, что эквивалентно, первых когомологиях, или на фундаментальной группе , поскольку все они естественно изоморфны; также первая группа когомологий порождает когомологии алгебра:

${\ displaystyle \ operatorname {MCG} (\ mathbf {T} ^ {n}) = \ operatorname {Aut} (\ pi _ {1} (X)) = \ operatorname {Aut} (\ mathbf {Z} ^ { n}) = \ operatorname {GL} (n, \ mathbf {Z}).}$

Поскольку тор является пространством Эйленберга – Маклейна K ( G , 1), его гомотопические эквивалентности с точностью до гомотопии можно отождествить с автоморфизмами фундаментальной группы); то, что это согласуется с группой классов отображений, отражает, что все гомотопические эквивалентности могут быть реализованы гомеоморфизмами - каждая гомотопическая эквивалентность гомотопна гомеоморфизму - и что гомотопические гомеоморфизмы на самом деле изотопны (связаны через гомеоморфизмы, а не только через гомотопические эквивалентности). Короче, отображение Homeo ( T ⁿ ) → SHE ( T ⁿ ) односвязно (изоморфно на компонентах пути фундаментальной группе). Это результат «гомеоморфизм сводится к гомотопии, сводится к алгебре».

Таким образом, короткая точная последовательность группы классов отображений расщепляется (идентификация тора как фактора R ⁿ дает расщепление с помощью линейных отображений, как указано выше):

${\ displaystyle 1 \ to \ operatorname {Homeo} _ {0} (\ mathbf {T} ^ {n}) \ to \ operatorname {Homeo} (\ mathbf {T} ^ {n}) \ to \ operatorname {MCG } (\ mathbf {T} ^ {n}) \ to 1,}$

поэтому группа гомеоморфизмов тора является полупрямым произведением ,

${\ displaystyle \ operatorname {Homeo} (\ mathbf {T} ^ {n}) \ cong \ operatorname {Homeo} _ {0} (\ mathbf {T} ^ {n}) \ rtimes \ operatorname {GL} (n , \ mathbf {Z}).}$

Группа классов отображения поверхностей высшего рода намного сложнее и является областью активных исследований.

Раскрашивание тора

Число Хивуда у тора равно семи, что означает, что каждый граф, который можно вложить в тор, имеет хроматическое число не более семи. (Так как полный граф может быть вложен в тор, и верхняя граница жесткая.) Эквивалентно, в торе, разделенном на области, всегда можно раскрасить области, используя не более семи цветов, чтобы никакие соседние области не были такого же цвета. (Сравните с теоремой о четырех цветах для плоскости .) ${\ displaystyle {\ mathsf {K_ {7}}}}$${\ Displaystyle \ чи ({\ mathsf {K_ {7}}}) = 7}$

Эта конструкция показывает тор, разделенный на семь областей, каждая из которых соприкасается друг с другом, что означает, что каждой должен быть присвоен уникальный цвет.

тор де Брейна

STL- модель тора де Брейна (16,32; 3,3) ₂ с единицами в качестве панелей и нулями в качестве отверстий в сетке - при согласованной ориентации каждая матрица 3 × 3 появляется ровно один раз

В комбинаторной математике тор де Брейна - это массив символов из алфавита (часто только 0 и 1), который содержит каждую матрицу размером m на n ровно один раз. Это тор, потому что ребра считаются огибающими при нахождении матриц. Его название происходит от последовательности Де Брюйна , которую можно рассматривать как частный случай, когда n равно 1 (одно измерение).

Разрезание тора

Полноценный тор вращения можно разрезать n (> 0) плоскостей на максимально

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} n + 2 \\ n-1 \ end {pmatrix}} + {\ begin {pmatrix} n \\ n-1 \ end {pmatrix}} = {\ tfrac {1} { 6}} (п ^ {3} + 3n ^ {2} + 8n)}$

части.

Первые 11 номеров частей для 0 ≤ n ≤ 10 (включая случай n = 0, не охватываемый приведенными выше формулами) следующие:

1, 2, 6, 13, 24, 40, 62, 91, 128, 174, 230, ... (последовательность A003600 в OEIS ).

Смотрите также

Примечания

• Nociones de Geometría Analítica y Álgebra Lineal , ISBN  978-970-10-6596-9 , автор: Козак Ана Мария, Помпея Пасторелли Сония, Верданега Педро Эмилио, редакция: McGraw-Hill, издание 2007 г., 744 страницы, язык: испанский
• Аллен Хэтчер. Алгебраическая топология . Издательство Кембриджского университета, 2002. ISBN  0-521-79540-0 .
• В.В. Никулин, И.Р. Шафаревич. Геометрии и группы . Springer, 1987. ISBN  3-540-15281-4 , ISBN  978-3-540-15281-1 .
• "Tore (понятие géométrique)" в Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables

использованная литература

внешние ссылки

• Создание тора по узлу
• "4D тор" Пролетные сечения четырехмерного тора.
• «Карта реляционной перспективы». Визуализация данных большой размерности с помощью плоского тора.
• Полидоны, многоугольники в форме пончика
• Секин, Карло Х (27 января 2014 г.). «Топология скрученного тора - Numberphile» (видео) . Брэди Харан .
• Андерс Сандберг (4 февраля 2014 г.). «Тор Земля» . Проверено 24 июля 2019 .