Неописуемый кардинал - Indescribable cardinal

В математике , Q-неописуемый кардинал определенный вид большого кардинальное число , которое трудно описать в каком - то языке Q . Есть много различных типов неописуемых кардиналов , соответствующих различные выборы языков Q . Их представили Ханф и Скотт (1961) .

Кардинальное число κ называется Π^п
_м-неописуемо, если для любого _m предложение φ и для A ⊆ V _κ с (V _{κ + n} , ∈, A) ⊧ φ существует α <κ с (V _{α + n} , ∈, A ∩ V _α ) ⊧ φ. Здесь рассматриваются формулы с m-1 чередованием кванторов, причем самый внешний квантор является универсальным. Σ^п
_м-неописуемые кардиналы определяются аналогично. Идея состоит в том, что κ нельзя отличить (глядя снизу) от меньших кардиналов с помощью любой формулы логики n + 1-го порядка с m-1 чередованиями кванторов, даже с преимуществом дополнительного унарного символа предиката (для A). Это означает, что он большой, потому что это означает, что должно быть много меньших кардиналов с аналогичными свойствами.

Кардинальное число κ называется совершенно неописуемым, если оно равно Π^п
_м-неописуемо для всех натуральных чисел m и n .

Если α - ординал, то кардинальное число κ называется α-неописуемым, если для любой формулы φ и любого подмножества U из V _κ, такого что φ ( U ) выполняется в V _{κ + α,} существует некоторое λ <κ такое, что φ ( U ∩ V _λ ) выполняется в V _{λ + α} . Если α бесконечно, то α-неописуемые ординалы совершенно неописуемы, а если α конечно, они такие же, как Π^α
_ω-неописуемые порядковые. α-неописуемость означает, что α <κ, но есть альтернативное понятие проницательных кардиналов, которое имеет смысл, когда α≥κ: существуют λ <κ и β такие, что φ ( U ∩ V _λ ) выполняется в V _{λ + β} .

Эквивалентные условия

Кардинал недоступен тогда и только тогда, когда он Π⁰
_п-неописуемо для всех натуральных чисел n , эквивалентно тогда и только тогда, когда это⁰
₂-неописуемо, эквивалентно, если это Σ¹
₁-неописуемо.

Π¹
₁-неописуемые кардиналы - это то же самое, что и слабо компактные кардиналы .

Если V = L, то для натурального числа n > 0 несчетным кардиналом является Π¹
_п-неописуемый тогда и только тогда, когда он (n + 1) -стационарен.

Отношения в большой кардинальной иерархии

Кардинал - это Σ¹
_{п + 1}-неописуемо тогда и только тогда, когда¹
_п-неописуемо. Свойство быть¹
_п-неописуемо¹
_{п + 1}. При m> 1 свойство быть^m
_n-неописуемо Σ^m
_n и свойство быть Σ^m
_n-неописуемо^m
_n. Таким образом, при m> 1 любой кардинал, равный либо Π^м
_{п + 1}-неописуемо или Σ^м
_{п + 1}-неописуемо одновременно Π^m
_n-неописуемо и Σ^m
_n-неописуемо и множество таких кардиналов под ним стационарно. Прочность согласованности Σ^m
_n-неописуемые кардиналы ниже, чем у Π^m
_n-неописуемо, но при m> 1 согласовано с ZFC, что наименьшее Σ^m
_n-неописуемое существует и выше наименьшего Π^m
_n-неописуемый кардинал (это доказано из согласованности ZFC с Π^m
_n-неописуемый кардинал и Σ^m
_n-неописуемый кардинал над ним).

Измеримые кардиналы²
₁-неописуемо, но наименьший измеримый кардинал не Σ²
₁-неописуемо. Однако есть много совершенно неописуемых кардиналов ниже любого измеримого кардинала.

Совершенно неописуемые кардиналы остаются совершенно неописуемыми в конструируемой вселенной и в других канонических внутренних моделях, и то же самое для Π^m
_n и Σ^m
_n неописуемость.

использованная литература

• Дрейк, FR (1974). Теория множеств: Введение в большие кардиналы (Исследования по логике и основам математики; Т. 76) . ISBN Elsevier Science Ltd. 0-444-10535-2.
• Ханф, WP; Скотт, Д.С. (1961), «Классификация недоступных кардиналов», Уведомления Американского математического общества , 8 : 445, ISSN  0002-9920
• Канамори, Акихиро (2003). Высшая бесконечность: большие кардиналы в теории множеств с самого начала (2-е изд.). Springer. DOI : 10.1007 / 978-3-540-88867-3_2 . ISBN 3-540-00384-3.