Оператор трассировки - Trace operator

Функция, определенная в прямоугольнике (верхний рисунок, красный цвет), и его след (нижний рисунок, красный).

В математике , то оператор следа расширяет понятие сужения функции на границе ее области к «обобщенных» функций в пространстве Соболева . Это особенно важно для изучения дифференциальных уравнений в частных производных с заданными граничными условиями ( краевых задач ), где слабые решения могут быть недостаточно регулярными, чтобы удовлетворять граничным условиям в классическом смысле функций.

Мотивация

На ограниченной гладкой области рассмотрим задачу решения уравнения Пуассона с неоднородными граничными условиями Дирихле:

с заданными функциями и с регулярностью, описанной в разделе приложений ниже. Слабое решение этого уравнения должно удовлетворять

для всех .

-Регулярность достаточна для хорошей корректности этого интегрального уравнения. Однако неясно, в каком смысле может удовлетворять граничное условие для : по определению, это класс эквивалентности функций, который может иметь произвольные значения на, поскольку это нулевое множество по отношению к n-мерной мере Лебега.

Если существует по теореме вложения Соболева такое, что может удовлетворять граничному условию в классическом смысле, т. Е. Ограничение to согласуется с функцией (точнее: существует представитель in с этим свойством). Поскольку с таким вложением не существует, и оператор трассировки, представленный здесь, должен использоваться для придания значения . Тогда с называется слабым решением краевой задачи, если выполняется указанное выше интегральное уравнение. Чтобы определение оператора следа было разумным, должно выполняться достаточно регулярное .

Теорема следа

Оператор следа может быть определен для функций в пространствах Соболева с , см. В разделе ниже возможные расширения следа на другие пространства. Пусть для - ограниченная область с липшицевой границей. Тогда существует ограниченный линейный оператор следа

такое, что продолжает классический след, т. е.

для всех .

Непрерывность означает, что

для всех

с константой только в зависимости от а . Функция называется трассировкой и часто обозначается просто как . Другие распространенные символы для включения и .

строительство

Этот абзац следует за Эвансом, где можно найти более подробную информацию, и предполагает, что у него есть граница. Доказательство (более сильной версии) теоремы о следе для липшицевых областей можно найти у Гальярдо. В -области оператор следа можно определить как непрерывное линейное продолжение оператора

в космос . По плотности из в таком расширение возможно , если непрерывен по отношению к -норму. Доказательство этого, т. Е. Того, что существует (в зависимости от и ) такое, что

для всех

является центральным ингредиентом в конструкции оператора трассировки. Локальный вариант этой оценки для -функций сначала доказывается для локально плоской границы с помощью теоремы о расходимости . Путем преобразования общую -границу можно локально выпрямить, чтобы свести к этому случаю, когда -регулярность преобразования требует, чтобы локальная оценка выполнялась для -функций.

С помощью этой непрерывности оператора следа в расширении , чтобы существует абстрактными аргументами и для можно охарактеризовать следующим образом . Позвольте быть последовательность, приближающуюся по плотности. По доказанной непрерывности в последовательности есть последовательность Коши в и с принятым пределом .

Свойство расширения сохраняется для по построению, но для любого существует последовательность, которая равномерно сходится к , проверяя свойство расширения на большем множестве .

Случай p = ∞

Если ограничено и имеет -границу, то по неравенству Морри существует непрерывное вложение , где обозначает пространство липшицевых функций. В частности, любая функция имеет классический след и выполняется

Функции с нулевой трассировкой

Пространства Соболева для определяются как замыкание множества тестовых функций с компактным носителем относительно -нормы. Имеет место следующая альтернативная характеристика:

где есть ядро из , т.е. есть подпространство функций с нулевым следом.

Изображение оператора трассировки

Для p> 1

Оператор следа не является сюръективным для if , т.е. не каждая функция в является следом функции в . Как подробно описано ниже, изображение состоит из функций, удовлетворяющих одной из версий непрерывности Гёльдера .

Абстрактная характеристика

Абстрактная характеристика изображения из может быть получен следующим образом . По теоремам об изоморфизме имеет место

где обозначает фактор-пространство банахова пространства по подпространству, а последнее тождество следует из характеризации сверху. Оснащение фактор-пространства факторнормой, определяемой

тогда оператор следа является сюръективным ограниченным линейным оператором

.

Характеризация с помощью пространств Соболева – Слободецкого.

Более конкретное представление образа можно дать с помощью пространств Соболева-Слободецкого, которые обобщают понятие непрерывных функций Гёльдера на -множество. Поскольку это (n-1) -мерное липшицево многообразие, вложенное в явное описание этих пространств, это технически сложно. Для простоты сначала рассмотрим плоскую область . Для определения (возможно, бесконечной) нормы

которое обобщает условие Гёльдера . потом

с предыдущей нормой является банаховым пространством (общее определение для нецелых чисел можно найти в статье для пространств Соболева-Слободецкого ). Для (n-1) -мерного липшицевого многообразия определим , локально выпрямляя и действуя как в определении .

Тогда пространство можно идентифицировать как образ оператора следа, и в этом случае

- сюръективный ограниченный линейный оператор.

Для p = 1

Ибо образ оператора следа есть и выполняется

- сюръективный ограниченный линейный оператор.

Обратный справа: оператор расширения трассировки

Оператор трассировки не является инъективным, поскольку несколько функций могут иметь одну и ту же трассировку (или, что то же самое, ). Однако оператор трассировки имеет хорошо работающий обратный справа, который расширяет функцию, определенную на границе, на всю область. В частности, поскольку существует ограниченный линейный оператор продолжения следа

,

используя характеристику Соболева-Слободецкого изображения оператора трассировки из предыдущего раздела, так что

для всех

и по непрерывности существует с

.

Примечательно не само существование, а линейность и непрерывность правильной инверсии. Этот оператор продолжения следа не следует путать с операторами расширения всего пространства, которые играют фундаментальную роль в теории пространств Соболева.

Расширение на другие пространства

Высшие производные

Многие из предыдущих результатов могут быть расширены до более высокой дифференцируемости, если область определения достаточно регулярна. Обозначим через внешнее единичное нормальное поле . Поскольку может кодировать свойства дифференцируемости в тангенциальном направлении, только нормальная производная представляет дополнительный интерес для теории следов для . Аналогичные аргументы применимы к производным высшего порядка для .

Пусть и - ограниченная область с -границей. Тогда существует сюръективный ограниченный линейный оператор следа высшего порядка

с пространствами Соболева-Слободецкого для нецелых чисел, определенных на сквозном преобразовании в плоский случай для , определение которого подробно описано в статье о пространствах Соболева-Слободецкого . Оператор продолжает классические нормальные следы в том смысле, что

для всех

Кроме того, существует ограниченная, линейная правой инверсию , на операторе продолжения следа высшего порядка

.

И, наконец, пространство , завершение в -норме, можно охарактеризовать как ядро , т.е.

.

Менее регулярные пространства

Нет следов в L p

Нет разумного расширения концепции следов до для, поскольку любой ограниченный линейный оператор, расширяющий классический след, должен быть нулевым на пространстве пробных функций , которое является плотным подмножеством , что означает, что такой оператор будет нулем всюду.

Обобщенная нормальная трасса

Пусть обозначим через распределительное расхождение в виде векторного поля . Для ограниченной липшицевой области определим

которое является банаховым пространством с нормой

.

Обозначим через внешнее единичное нормальное поле . Тогда существует ограниченный линейный оператор

,

где - сопряженный показатель к и обозначает непрерывное сопряженное пространство к банахову , такое, что продолжает нормальный след для в том смысле, что

.

Значение оператора нормального следа для определяется применением теоремы о расходимости к векторному полю, где - оператор продолжения следа сверху.

Заявка. Любое слабое решение для в ограниченной липшицевой области имеет нормальную производную в смысле . Это следует, поскольку и . Этот результат примечателен тем, что в липшицевых областях в общем случае такие, которые могут не лежать в области определения оператора следа .

заявка

Приведенные выше теоремы позволяют более детально исследовать краевую задачу

на липшицевом домене из мотивации. Поскольку здесь исследуется только случай гильбертова пространства , эти обозначения используются для обозначения и т. Д. Как указано в мотивации, слабое решение этого уравнения должно удовлетворять и

для всех ,

где правая часть должна интерпретироваться как продукт двойственности со значением .

Существование и единственность слабых решений

Характеристика диапазона подразумевает, что для поддержания регулярности необходимо. Эта закономерность также достаточна для существования слабого решения, что можно увидеть следующим образом. По теореме о продолжении следа существует такое, что . Определяя , мы имеем это и, таким образом , характеризуем как пространство нулевого следа. Тогда функция удовлетворяет интегральному уравнению

для всех .

Таким образом, проблема с неоднородными граничными значениями для может быть сведена к задаче с однородными граничными значениями для , метод, который может быть применен к любому линейному дифференциальному уравнению. По теореме Рисса о представлении существует единственное решение этой проблемы. По единственности разложения это эквивалентно существованию единственного слабого решения неоднородной краевой задачи.

Постоянная зависимость от данных

Остается исследовать зависимость от и . Пусть обозначают постоянные , не зависящие от и . Из-за непрерывной зависимости от правой части его интегрального уравнения выполняется

и, таким образом, используя это и в силу непрерывности оператора продолжения следа, следует, что

и карта решения

поэтому непрерывно.

Рекомендации

  1. ^ a b c d Гальярдо, Эмилио (1957). "Caratterizzazioni delle tracce sulla frontiera relative ad alcune classi di funzioni in n variabili" . Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova . 27 : 284–305.
  2. ^ Эванс, Лоуренс (1998). Уравнения с частными производными . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. стр.  257 -261. ISBN   0-8218-0772-2 .
  3. ^ a b c d Nečas, Jindřich (1967). Les méthodes directes en théorie des elliptiques . Париж: Masson et Cie, Éditeurs, Прага: Academia, Éditeurs. С. 90–104.
  4. ^ Зор, Германн (2001). Уравнения Навье-Стокса: элементарный функционально-аналитический подход . Базель: Биркхойзер. С. 50–51. DOI : 10.1007 / 978-3-0348-8255-2 .