Траектория - Trajectory

Иллюстрация, показывающая траекторию пули, выпущенной по цели, идущей в гору.

Траектории или траектория полета это путь , что объект с массой в движении следует через пространство в зависимости от времени. В классической механике траектория определяется гамильтоновой механикой через канонические координаты ; следовательно, полная траектория определяется положением и импульсом одновременно.

Масса может быть снарядом или спутником . Например, это может быть орбита - путь планеты , астероида или кометы, когда она движется вокруг центральной массы .

В теории управления , траектория является временным упорядоченным множеством состояний одного динамической системы (см , например , отображение Пуанкаре ). В дискретной математике траектория - это последовательность значений, вычисленная путем повторного применения отображения к элементу его источника.

Физика траекторий

Знакомый пример траектории - это путь снаряда, например брошенного шара или камня. В значительно упрощенной модели объект движется только под действием однородного гравитационного силового поля . Это может быть хорошим приближением для камня, который бросают на небольшое расстояние, например, на поверхность Луны . В этом простом приближении траектория принимает форму параболы . Обычно при определении траекторий может потребоваться учет неоднородных гравитационных сил и сопротивления воздуха ( лобовое сопротивление и аэродинамика ). Это центр дисциплины баллистики .

Одним из замечательных достижений ньютоновской механики был вывод законов Кеплера . В гравитационном поле точечной массы или сферически-симметричной протяженной массы (такой как Солнце ) траектория движущегося объекта представляет собой коническое сечение , обычно эллипс или гиперболу . Это согласуется с наблюдаемыми орбитами планет , комет и искусственных космических аппаратов в достаточно хорошем приближении, хотя, если комета проходит близко к Солнцу, то на нее также влияют другие силы, такие как солнечный ветер и давление излучения , которые изменяют орбите и заставит комету выбросить материал в космос.

Позднее теория Ньютона превратилась в раздел теоретической физики, известный как классическая механика . В нем используется математика дифференциального исчисления (которая также была начата Ньютоном в юности). На протяжении веков бесчисленные ученые внесли свой вклад в развитие этих двух дисциплин. Классическая механика стала наиболее яркой демонстрацией силы рациональной мысли, то есть разума , как в науке, так и в технике. Это помогает понять и предсказать огромное количество явлений ; траектории - лишь один пример.

Рассмотрим частицу массы , движущуюся в потенциальном поле . С физической точки зрения масса представляет собой инерцию , а поле представляет собой особые внешние силы, известные как «консервативные». Учитывая каждую соответствующую позицию, есть способ сделать вывод о связанной силе, которая будет действовать в этой позиции, скажем, от силы тяжести. Однако не все силы можно выразить таким образом.

Движение частицы описывается дифференциальным уравнением второго порядка

С правой стороны, сила дана в терминах , в градиенте потенциала, принятом на позициях вдоль траектории. Это математическая форма второго закона движения Ньютона : для таких ситуаций сила равна массе, умноженной на ускорение.

Примеры

Равномерная гравитация, ни сопротивление, ни ветер

Траектории массы, брошенной под углом 70 °,
 без сопротивления
 с перетаскиванием Стокса
 с сопротивлением Ньютона

Идеальный случай движения снаряда в однородном гравитационном поле в отсутствие других сил (например, сопротивления воздуха) впервые исследовал Галилео Галилей . Пренебрежение влиянием атмосферы на формирование траектории было бы бесполезной гипотезой практичных исследователей на протяжении всего средневековья в Европе . Тем не менее, предвидя существование вакуума , который позже будет продемонстрирован на Земле его сотрудником Евангелистой Торричелли , Галилей смог положить начало будущей науке о механике . В почти вакууме, как выясняется, например, на Луне , его упрощенная параболическая траектория оказывается по существу правильной.

В нижеследующем анализе мы выводим уравнение движения снаряда, измеренного по инерциальной системе отсчета, покоящейся относительно земли. С рамой связана правая система координат с ее началом в точке пуска снаряда. Ось является касательной к земле, а ось перпендикулярна к нему (параллельно гравитационным силовым линиям). Позвольте быть ускорением свободного падения . Относительно равнинной местности пусть начальная горизонтальная скорость будет равной, а начальная вертикальная скорость будет . Также будет показано, что диапазон равен , а максимальная высота равна . Максимальный диапазон для данной начальной скорости получается, когда , т.е. начальный угол равен 45 . Этот диапазон равен , а максимальная высота при максимальном диапазоне составляет .

Вывод уравнения движения.

Предположим, что движение снаряда измеряется из системы свободного падения, которая находится в точке ( x , y ) = (0,0) при  t  = 0. Уравнение движения снаряда в этой системе координат (по принципу эквивалентности) ) будет . Координаты этой системы свободного падения по отношению к нашей инерциальной системе отсчета будут . То есть .

Теперь, переводя обратно в инерциальную систему координат, координаты снаряда становятся такими:

(где v 0 - начальная скорость, - угол подъема, а g - ускорение свободного падения).

Дальность и высота

Траектории полета снарядов, выпущенных под разными углами возвышения, но с одинаковой скоростью 10 м / с в вакууме и однородном нисходящем гравитационном поле 10 м / с 2 . Точки находятся с интервалом 0,05 с, и длина их хвостов линейно пропорциональна их скорости. t = время от запуска, T = время полета, R = дальность и H = самая высокая точка траектории (обозначена стрелками).

Диапазон , R , является наибольшим расстоянием объекта перемещается вдоль оси х в I секторе. Начальная скорость , v I , является скорость , при которой производится запуск объекта с точки происхождения сказал. Начальный угол , θ I , представляет собой угол , при котором упомянутый объект освобождается. Г является соответствующим гравитационным притяжением на объекте в нуле-среде.

Высота , ч , самая большая параболическая высота указанного объекта достигает в пределах своей траектории

Угол подъема

Пример, показывающий, как рассчитать траекторию пули

По углу возвышения и начальной скорости :

давая диапазон как

Это уравнение можно изменить, чтобы найти угол для требуемого диапазона.

(Уравнение II: угол запуска снаряда)

Обратите внимание, что синусоидальная функция такова, что существует два решения для данного диапазона . Угол, дающий максимальный диапазон, можно найти, рассматривая производную или относительно и устанавливая ее на ноль.

которое имеет нетривиальное решение при , или . Тогда максимальный диапазон . Под таким углом получается максимальная высота .

Чтобы найти угол, дающий максимальную высоту для данной скорости, вычислите производную максимальной высоты по , то есть, которая равна нулю, когда . Таким образом, максимальная высота достигается, когда снаряд стреляет прямо вверх.

Орбитальные объекты

Если вместо однородной гравитационной силы, направленной вниз, мы рассмотрим два тела, вращающихся по орбите с взаимной гравитацией между ними, мы получим законы движения планет Кеплера . Их вывод был одной из главных работ Исаака Ньютона и во многом послужил мотивацией для развития дифференциального исчисления .

Ловля мячей

Если снаряд, такой как мяч для бейсбола или крикета, летит по параболической траектории с незначительным сопротивлением воздуха, и если игрок расположен так, чтобы поймать его при спуске, он видит, что его угол подъема постоянно увеличивается на протяжении всего полета. Тангенс угла возвышения пропорционален времени, прошедшему с момента, когда мяч был поднят в воздух, обычно в результате удара битой. Даже когда мяч действительно опускается, ближе к концу полета его угол подъема, который видит игрок, продолжает увеличиваться. Таким образом, игрок видит его так, как если бы он поднимался вертикально с постоянной скоростью. Поиск места, из которого кажется, что мяч постоянно поднимается, помогает игроку правильно расположиться, чтобы поймать мяч. Если он находится слишком близко к игроку с битой, который ударил по мячу, будет казаться, что он будет подниматься с ускорением. Если он находится слишком далеко от игрока с битой, будет казаться, что он быстро замедлится, а затем начнет снижаться.

Примечания

Смотрите также

использованная литература

внешние ссылки