Перевод (геометрия) - Translation (geometry)

Перевод перемещает каждую точку фигуры или пространства на одинаковую величину в заданном направлении.

Отражение красной формы по отношению к оси с последующим отражением полученной зеленой формы против второй оси , параллельной первой одным приводит к общему движению , которое является переводом красной формы в положение синей формы.

В евклидовой геометрии , А перевод является геометрическим преобразованием , который перемещает каждую точку фигуры или пространств на то же расстояние в заданном направлении. Смещение также можно интерпретировать как добавление постоянного вектора к каждой точке или как сдвиг начала системы координат . В евклидовом пространстве любой перенос является изометрией .

Как функция

Если это фиксированный вектор, известный как вектор перевода , и это начальная позиция некоторого объекта, тогда функция перевода будет работать как . ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$${\ displaystyle \ mathbf {p}}$${\ Displaystyle Т _ {\ mathbf {v}}}$${\ Displaystyle Т _ {\ mathbf {v}} (\ mathbf {p}) = \ mathbf {p} + \ mathbf {v}}$

Если это перевод, то изображение подмножества под функцией является перевод из по . Часто пишут перевод автора . ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle Т _ {\ mathbf {v}}}$${\ Displaystyle А + \ mathbf {v}}$

Горизонтальные и вертикальные переводы

В геометрии , A вертикальное перемещение (также известный как вертикальный сдвиг ) представляет собой перевод геометрического объекта в направлении , параллельном вертикальной оси системы декартовых координат .

Графики различных первообразных функции f ( x ) = 3 x ²  - 2. Все они являются вертикальными сдвигами друг друга.

Часто вертикальные переводы рассматриваются для графика функции . Если f является любой функцией от  x , то график функции f ( x ) +  c (значения которой задаются добавлением константы c к значениям f ) может быть получен путем вертикального переноса графика f ( x ) на расстояние c . По этой причине функция F ( х ) +  с иногда называют вертикальной перевести из F ( х ). Например, все первообразные функции отличаются друг от друга константой интегрирования и, следовательно, являются вертикальными преобразованиями друг друга.

В функции построения графиков , A горизонтальный перевод является преобразованием , которое приводит к графику , что эквивалентно сдвигу базового графика влево или вправо в направлении х Оу. График переводится на k единиц по горизонтали, перемещая каждую точку на графике на k единиц по горизонтали.

Для базовой функции f ( x ) и константы k функцию, заданную формулой g ( x ) =  f ( x  -  k ), можно набросать на f ( x ) со сдвигом на k единиц по горизонтали.

Если говорить о преобразовании функций в терминах геометрических преобразований, может быть понятнее, почему функции переводятся по горизонтали именно так. При обращении к переводам на декартовой плоскости естественно вводить переводы в этом типе записи:

${\ displaystyle (x, y) \ rightarrow (x + a, y + b)}$

или

${\ Displaystyle Т (х, у) = (х + а, у + б)}$

где и - изменения по горизонтали и вертикали соответственно. ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$

Пример

Взяв параболу y  =  x ² , горизонтальный сдвиг на 5 единиц вправо будет представлен как T (( x ,  y )) = ( x + 5, y ). Теперь мы должны связать это обозначение преобразования с алгебраическим обозначением. Рассмотрим точку ( a ,  b ) на исходной параболе, которая перемещается в точку ( c ,  d ) на перенесенной параболе. Согласно нашему переводу, c  = a + 5 и d  = b . Точка на исходной параболе была b  = a ² . Нашу новую точку можно описать, связав d и c в одном уравнении. b  = d и a  = c  - 5. Итак, d  = b  = a ²  = ( c  - 5) ² . Поскольку это верно для всех точек нашей новой параболы, новое уравнение имеет вид y  = ( x  - 5) ² .

Применение в классической физике

В классической физике поступательное движение - это движение, которое изменяет положение объекта, в отличие от вращения . Например, по словам Уиттакера:

Если тело перемещается из одной позиции в другую, а если линии , соединяющие начальные и конечные точки каждой из точек тела представляют собой набор параллельных прямых линий длины л , таким образом , что ориентация тела в пространстве В неизменном виде смещение называется переносом, параллельным направлению линий, на расстояние .

-  Е.Т. Уиттакер : Трактат об аналитической динамике частиц и твердых тел , с. 1

Трансляция - это операция изменения положения всех точек объекта по формуле ${\ Displaystyle (х, у, г)}$

${\ displaystyle (x, y, z) \ к (x + \ Delta x, y + \ Delta y, z + \ Delta z)}$

где - один и тот же вектор для каждой точки объекта. Вектор переноса, общий для всех точек объекта, описывает конкретный тип смещения объекта, обычно называемый линейным смещением, чтобы отличить его от смещений, связанных с вращением, называемых угловыми смещениями. ${\ Displaystyle (\ Delta x, \ \ Delta y, \ \ Delta z)}$${\ Displaystyle (\ Delta x, \ \ Delta y, \ \ Delta z)}$

При рассмотрении пространства-времени изменение временной координаты считается переносом.

Как оператор

Оператор сдвига превращает функцию в исходное положение, , в зависимости от конечного положения, . Другими словами, определяется так, что этот оператор является более абстрактным, чем функция, поскольку определяет связь между двумя функциями, а не самими лежащими в основе векторами. Оператор трансляции может воздействовать на многие виды функций, например, когда оператор трансляции действует на волновую функцию , которая изучается в области квантовой механики. ${\ Displaystyle F (\ mathbf {v})}$${\ Displaystyle е (\ mathbf {v} + \ mathbf {\ delta})}$${\ Displaystyle Т _ {\ mathbf {\ delta}}}$${\ displaystyle T _ {\ mathbf {\ delta}} f (\ mathbf {v}) = f (\ mathbf {v} + \ mathbf {\ delta}).}$${\ Displaystyle Т _ {\ mathbf {\ delta}}}$

Как группа

Множество всех переводов формирует группу перевода , которая изоморфна само пространство, и нормальную подгруппу из группы Евклида . Фактор - группа из по изоморфна ортогональной группе : ${\ Displaystyle \ mathbb {T}}$ ${\ Displaystyle E (п)}$${\ Displaystyle E (п)}$${\ Displaystyle \ mathbb {T}}$ ${\ Displaystyle О (п)}$

${\ Displaystyle Е (п) / \ mathbb {T} \ cong O (п)}$

Поскольку трансляция коммутативна, группа трансляций абелева . Существует бесконечное количество возможных переводов, поэтому группа переводов - это бесконечная группа .

В теории относительности из-за того, что пространство и время рассматриваются как единое пространство-время , переводы могут также относиться к изменениям временной координаты . Например, Галилеянин группа и группа Пуанкаре включают переводы по времени.

Группы решеток

Одним из видов подгрупп трехмерной группы трансляций являются группы решеток , которые являются бесконечными группами , но, в отличие от групп трансляций, конечно порождены . То есть конечный набор порождает всю группу.

Матричное представление

Перевод является аффинным преобразованием с не фиксированными точками . Матричные умножения всегда имеют начало в качестве фиксированной точки. Тем не менее, существует общий обходной путь, использующий однородные координаты для представления перевода векторного пространства с матричным умножением : запишите 3-мерный вектор, используя 4 однородные координаты, как . ${\ Displaystyle \ mathbf {v} = (v_ {x}, v_ {y}, v_ {z})}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} = (v_ {x}, v_ {y}, v_ {z}, 1)}$

Чтобы перевести объект на вектор , каждый однородный вектор (записанный в однородных координатах) можно умножить на эту матрицу перевода : ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$${\ displaystyle \ mathbf {p}}$

${\ displaystyle T _ {\ mathbf {v}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & v_ {x} \\ 0 & 1 & 0 & v_ {y} \\ 0 & 0 & 1 & v_ {z} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}}}$

Как показано ниже, умножение даст ожидаемый результат:

${\ displaystyle T _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {p} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & v_ {x} \\ 0 & 1 & 0 & v_ {y} \\ 0 & 0 & 1 & v_ {z} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} p_ {x} \\ p_ {y} \\ p_ {z} \\ 1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} p_ {x} + v_ {x} \\ p_ {y } + v_ {y} \\ p_ {z} + v_ {z} \\ 1 \ end {bmatrix}} = \ mathbf {p} + \ mathbf {v}}$

Обратную матрицу переноса можно получить, изменив направление вектора на противоположное:

${\ displaystyle T _ {\ mathbf {v}} ^ {- 1} = T _ {- \ mathbf {v}}. \!}$

Точно так же произведение матриц перевода получается путем сложения векторов:

${\ displaystyle T _ {\ mathbf {v}} T _ {\ mathbf {w}} = T _ {\ mathbf {v} + \ mathbf {w}}. \!}$

Поскольку сложение векторов коммутативно , умножение матриц трансляции также коммутативно (в отличие от умножения произвольных матриц).

Перевод осей

Хотя геометрическое перемещение часто рассматривается как активный процесс, который изменяет положение геометрического объекта, аналогичный результат может быть достигнут с помощью пассивного преобразования, которое перемещает саму систему координат, но оставляет объект неподвижным. Пассивный вариант активного геометрического переноса известен как перенос осей .

Поступательная симметрия

Говорят, что объект, который выглядит одинаково до и после трансляции, обладает трансляционной симметрией . Типичный пример - периодические функции , которые являются собственными функциями оператора сдвига.

Смотрите также

внешние ссылки

• Преобразование трансляции в разорванном узле
• Геометрический перевод (интерактивная анимация) в Math Is Fun
• Понимание 2D-перевода и Понимание 3D-перевода Роджера Гермундссона, The Wolfram Demonstrations Project .

использованная литература

• Зазкис, Р., Лильедал, П., и Гадовски, К. Концепции трансляции функций: препятствия, интуиция и изменение маршрута. Журнал математического поведения, 22, 437-450. Получено 29 апреля 2014 г. с веб-сайта www.elsevier.com/locate/jmathb.
• Преобразования графов: горизонтальные переводы . (2006, 1 января). Биоматематика: преобразование графиков. Проверено 29 апреля 2014 г.