Поперечная проекция Меркатора - Transverse Mercator projection

Поперечная проекция Меркатора

Поперечная Меркатора проекция карты является адаптацией стандартной проекции Меркатора . Поперечная версия широко используется в национальных и международных картографических системах по всему миру, включая универсальную поперечную проекцию Меркатора . В сочетании с подходящей геодезической точкой отсчета поперечная проекция Меркатора обеспечивает высокую точность в зонах менее нескольких градусов с востока на запад.

Стандартные и поперечные аспекты

Сравнение касательной и секущей форм нормальной, косой и поперечной проекций Меркатора со стандартными параллелями красного цвета

Поперечная проекция Меркатора - это поперечный аспект стандартной (или Нормальной ) проекции Меркатора. Они имеют одну и ту же основную математическую конструкцию, и, следовательно, поперечный Меркатор наследует многие черты от нормального Меркатора:

• Обе проекции являются цилиндрическими : для нормальной проекции Меркатора, ось цилиндра совпадает с полярной осью и линией касания с экватором. Для поперечной проекции Меркатора ось цилиндра лежит в экваториальной плоскости, а линия касания - это любой выбранный меридиан, обозначенный тем самым центральным меридианом .
• Обе проекции могут быть преобразованы в секущие формы, что означает, что масштаб был уменьшен так, что цилиндр рассекает глобус модели.
• Оба существуют в сферической и эллипсоидальной версиях.
• Обе проекции конформны , поэтому шкала точек не зависит от направления, а локальные формы хорошо сохраняются;
• Обе проекции имеют постоянный масштаб на линии касания (экватор для нормали Меркатора и центральный меридиан для поперечной).

Поскольку центральный меридиан поперечной проекции Меркатора может быть выбран по желанию, его можно использовать для построения высокоточных карт (небольшой ширины) в любой точке земного шара. Секущая, эллипсоидальная форма поперечной проекции Меркатора - наиболее широко применяемая из всех проекций для точных крупномасштабных карт.

Сферический поперечный Меркатор

При построении карты на любой проекции для моделирования Земли обычно выбирается сфера, когда протяженность нанесенной на карту области превышает несколько сотен километров в длину в обоих измерениях. Для карт меньших регионов следует выбирать эллипсоидальную модель , если требуется большая точность; см. следующий раздел. Сферическая форма поперечной проекции Меркатора была одной из семи новых проекций, представленных в 1772 году Иоганном Генрихом Ламбертом . (Текст также доступен в современном английском переводе.) Ламберт не назвал свои прогнозы; название поперечный Меркатор датируется второй половиной девятнадцатого века. Здесь представлены основные свойства поперечной проекции в сравнении со свойствами нормальной проекции.

Нормальные и поперечные сферические проекции

	Нормальный Меркатор			Поперечный Меркатор
	Сферический нормальный (экваториальный) Меркатор (усеченный в y  = ± π, что соответствует примерно 85 градусам).			Сферическая поперечная проекция Меркатора (усеченная по x  = ± π в единицах радиуса Земли).
•	Центральный меридиан проецируется на прямую линию x  = 0. Остальные меридианы проецируются на прямые линии с  постоянной x .		•	Центральный меридиан проецируется на прямую линию x  = 0. Меридианы на 90 градусов к востоку и западу от центрального меридиана переходят к линиям постоянной  y через проецируемые полюса. Все остальные меридианы образуют сложные кривые.
•	Экватор проецируется на прямую y  = 0, а параллельные окружности проецируются на прямые линии постоянного  y .		•	Экватор проецируется на прямую y  = 0, но все остальные параллели представляют собой сложные замкнутые кривые.
•	Спроецированные меридианы и параллели пересекаются под прямым углом.		•	Спроецированные меридианы и параллели пересекаются под прямым углом.
•	В направлении y проекция неограничена . Полюса лежат на бесконечности.		•	Проекция неограничена в направлении x . Точки на экваторе под углом девяноста градусов от центрального меридиана проецируются на бесконечность.
•	Проекция конформная. Хорошо сохранились формы мелких элементов.		•	Проекция конформная. Хорошо сохранились формы мелких элементов.
•	Искажение увеличивается с увеличением  y . Проекция не подходит для карт мира. Около экватора искажение невелико, и проекция (особенно в ее эллипсоидальной форме) подходит для точного картирования экваториальных областей.		•	Искажение увеличивается с увеличением  x . Проекция не подходит для карт мира. Около центрального меридиана искажение невелико, и проекция (особенно в ее эллипсоидальной форме) подходит для точного картирования узких областей.
•	Гренландия почти такая же большая, как Африка; фактическая площадь составляет примерно одну четырнадцатую площади Африки.		•	Гренландия и Африка находятся недалеко от центрального меридиана; их формы хороши, а соотношение площадей является хорошим приближением к фактическим значениям.
•	Коэффициент балльной шкалы не зависит от направления. Это функция  y на проекции. (На сфере это зависит только от широты.) На экваторе шкала верна.		•	Коэффициент балльной шкалы не зависит от направления. Это функция x на проекции. (На сфере это зависит и от широты, и от долготы.) Масштаб соответствует центральному меридиану.
•	Проекция достаточно точна около экватора. Масштаб на угловом расстоянии 5 ° (по широте) от экватора менее чем на 0,4% больше, чем масштаб на экваторе, и примерно на 1,54% больше на угловом расстоянии 10 °.		•	Проекция достаточно точна около центрального меридиана. Масштаб на угловом расстоянии 5 ° (по долготе) от центрального меридиана менее чем на 0,4% больше, чем масштаб на центральном меридиане, и составляет около 1,54% на угловом расстоянии 10 °.
•	В секущей версии масштаб уменьшен на экваторе, и это верно для двух линий, параллельных проектируемому экватору (и соответствующих двум параллельным окружностям на сфере).		•	В секущей версии масштаб уменьшен по центральному меридиану, и это верно по двум линиям, параллельным проектируемому центральному меридиану. (Эти две линии не являются меридианами.)
•	Сходимость (угол между проецируемыми меридианами и линиями сетки с постоянной x ) тождественно равен нулю. Север по сетке и истинный север совпадают.		•	Сходимость нулевая на экваторе и отличная от нуля везде. Он увеличивается по мере приближения к полюсам. Сеточный север и истинный север не совпадают.
•	Линии румба (с постоянным азимутом на сфере) переходят в прямые.

Эллипсоидальная поперечная проекция Меркатора

Эллипсоидальная форма поперечной проекции Меркатора была разработана Карлом Фридрихом Гауссом в 1825 году и дополнительно проанализирована Иоганном Генрихом Луи Крюгером в 1912 году.

Проекция известна под несколькими названиями: (эллипсоидальная) поперечная проекция Меркатора в США; Конформный Гаусс или Гаусс – Крюгер в Европе; или поперечная проекция Меркатора Гаусса-Крюгера в более общем смысле. Помимо синонима эллипсоидальной поперечной проекции карты Меркатора, термин Гаусс-Крюгер может использоваться несколько иначе:

• Иногда этот термин используется для конкретного метода вычисления поперечной проекции Меркатора: то есть, как преобразовать широту / долготу и проецируемые координаты. Когда Земля моделируется в виде эллипсоида, не существует простой закрытой формулы. Но метод Гаусса – Крюгера дает те же результаты, что и другие методы, по крайней мере, если вы находитесь достаточно близко к центральному меридиану: скажем, менее 100 градусов долготы. Далее некоторые методы становятся неточными.
• Этот термин также используется для определенного набора поперечных проекций Меркатора, используемых в узких зонах в Европе и Южной Америке, по крайней мере, в Германии, Турции, Австрии, Словении, Хорватии, Боснии и Герцеговине, Сербии, Черногории, Северной Македонии, Финляндии и Аргентине. . Эта система Гаусса-Крюгера подобна универсальной поперечной системе Меркатора , но центральные меридианы зон Гаусса-Крюгера отстоят друг от друга всего на 3 °, в отличие от 6 ° в UTM.

Проекция соответствует постоянному масштабу на центральном меридиане. (Существуют и другие конформные обобщения поперечной проекции Меркатора от сферы до эллипсоида, но только Гаусс-Крюгер имеет постоянный масштаб на центральном меридиане.) На протяжении двадцатого века поперечная проекция Меркатора Гаусса-Крюгера принималась в той или иной форме, многими странами (и международными организациями); кроме того, он служит основой для серии проекций универсальной поперечной проекции Меркатора . Проекция Гаусса – Крюгера в настоящее время является наиболее широко используемой проекцией при точном крупномасштабном картографировании.

Проекция, разработанная Гауссом и Крюгером, была выражена в терминах степенных рядов низкого порядка, которые, как предполагалось, расходились в направлении восток-запад, точно так же, как в сферической версии. Это было доказано британским картографом Э. Х. Томпсоном, чья неопубликованная точная (закрытая форма) версия проекции, представленная Л. П. Ли в 1976 г., показала, что эллипсоидальная проекция конечна (см. Ниже). Это наиболее разительное различие между сферической и эллипсоидальной версиями поперечной проекции Меркатора: Гаусс-Крюгер дает разумную проекцию всего эллипсоида на плоскость, хотя его основное применение - точное крупномасштабное картографирование "близко" к центральной проекции. меридиан.

Эллипсоидальная поперечная проекция Меркатора: конечная проекция.

Функции

• Вблизи центрального меридиана (Гринвич в приведенном выше примере) проекция имеет низкое искажение, а формы Африки, Западной Европы, Британских островов, Гренландии и Антарктиды выгодно отличаются от формы земного шара.
• Центральные области поперечных проекций на сфере и эллипсоиде неотличимы на мелкомасштабных проекциях, показанных здесь.
• Меридианы на 90 ° к востоку и западу от выбранного центрального меридиана проецируются в горизонтальные линии через полюса. Более дальнее полушарие проецируется над северным полюсом и под южным полюсом.
• Экватор делит Африку пополам, пересекает Южную Америку и затем продолжается до полной внешней границы проекции; верхний и нижний края, а также правый и левый края должны быть идентифицированы (т. е. они представляют собой одни и те же линии на земном шаре). (Индонезия делится пополам.)
• Искажение увеличивается к правой и левой границам проекции, но не увеличивается до бесконечности. Обратите внимание на Галапагосские острова, где 90-градусный западный меридиан пересекает экватор слева внизу.
• Карта конформна. Линии, пересекающиеся под любым указанным углом на эллипсоиде, проецируются в линии, пересекающиеся под тем же углом на проекции. В частности параллели и меридианы пересекаются под углом 90 °.
• Фактор точечного масштабирования не зависит от направления в любой точке, поэтому форма небольшой области достаточно хорошо сохраняется. Необходимым условием является то, что величина масштабного фактора не должна слишком сильно варьироваться в рассматриваемом регионе. Обратите внимание, что, хотя Южная Америка сильно искажена, остров Цейлон достаточно мал, чтобы иметь разумную форму, хотя он находится далеко от центрального меридиана.
• Выбор центрального меридиана сильно влияет на внешний вид проекции. Если выбрать 90 ° з.д., то вся Америка будет разумной. Если выбрать 145 ° в. Д., Дальний Восток будет хорошим, а Австралия будет ориентирована на север вверх.

В большинстве приложений система координат Гаусса – Крюгера применяется к узкой полосе вблизи центральных меридианов, где различия между сферической и эллипсоидальной версиями невелики, но тем не менее важны для точного картирования. Прямые ряды для масштаба, сходимости и искажения являются функциями эксцентриситета, а также широты и долготы на эллипсоиде: обратные ряды являются функциями эксцентриситета, а также x и y на проекции. В секущей версии линии истинного масштаба на проекции больше не параллельны центральному меридиану; они слегка изгибаются. Угол схождения между проецируемыми меридианами и линиями постоянной сетки x больше не равен нулю (кроме экватора), так что азимут сетки должен быть скорректирован для получения азимута от истинного севера. Разница небольшая, но заметная, особенно в высоких широтах.

Реализации проекции Гаусса – Крюгера.

В своей статье 1912 года Крюгер представил два различных решения, отличающихся здесь параметром разложения:

• Крюгер – n (абзацы с 5 по 8): Формулы для прямой проекции, дающие координаты x и y , представляют собой разложения четвертого порядка по третьему сглаживанию n (отношение разности и суммы большой и малой осей эллипсоид). Коэффициенты выражаются через широту ( φ ), долготу ( λ ), большую ось ( a ) и эксцентриситет ( e ). Обратные формулы для φ и λ также являются разложениями четвертого порядка по n, но с коэффициентами, выраженными через x , y , a и e .
• Крюгер – λ (параграфы 13 и 14): формулы, задающие координаты проекции x и y, представляют собой разложения (порядка 5 и 4 соответственно) по долготе λ , выраженной в радианах: коэффициенты выражаются через φ , a и е . Обратная проекция для φ и λ представляет собой разложение шестого порядка по отношению Икс/а, с коэффициентами, выраженными через y , a и e . (См. Поперечная проекция Меркатора: серия Redfearn .)

Серия Krüger – λ была первой, которая была реализована, возможно, потому, что их было намного легче оценивать на ручных калькуляторах середины двадцатого века.

• Ли-Редферн-OSGB : В 1945 году LP Lee подтвердила λ- расширения Крюгера и предложила принять их OSGB, но Редферн (1948) указал, что они неточны из-за (а) относительно высоких широт Великобритании и ( б) большая ширина нанесенной на карту области, более 10 градусов долготы. Redfearn расширил серию до восьмого порядка и изучил, какие условия необходимы для достижения точности 1 мм (измерение грунта). Серия Redfearn по-прежнему является основой картографических проекций OSGB.
• Thomas – UTM : λ- расширения Крюгера были также подтверждены Полом Томасом в 1952 году: они легко доступны в Snyder. Его формулы проекции, полностью эквивалентные формулам, представленным Redfearn, были приняты Агентством оборонных карт США в качестве основы для UTM . Они также включены в преобразователь координат Geotrans, предоставленный Национальным агентством геопространственной разведки США [3] .
• Другие страны : серия Redfearn является основой для геодезических карт во многих странах: Австралии, Германии, Канаде, Южной Африке и многих других. (Список приведен в Приложении A.1 документа Stuifbergen 2009.)
• Было предложено множество вариантов серии Redfearn, но важны только те, которые приняты национальными картографическими агентствами. Пример модификаций, не имеющих этого статуса, см. В разделе « Поперечная проекция Меркатора: серия Bowring» ). Все такие модификации затмеваются мощностью современных компьютеров и развитием n- серии высокого порядка, описанной ниже. Точные серии Redfearn, хотя и низкого порядка, нельзя игнорировать, поскольку они все еще закреплены в квази-юридических определениях OSGB, UTM и т. Д.

Серия Krüger – n была реализована (до четвертого порядка по n ) следующими странами.

• Франция
• Финляндия
• Швеция
• Япония

Версии более высокого порядка серии Krüger- n были реализованы до седьмого порядка Ensager и Poder и до десятого порядка Kawase. Помимо расширения ряда для преобразования между широтой и конформной широтой, Карни реализовал ряд до тридцатого порядка.

Точный Гаусс – Крюгер и точность усеченного ряда

Точное решение EH Thompson описано LP Lee. Он построен в терминах эллиптических функций (определенных в главах 19 и 22 справочника NIST), которые могут быть вычислены с произвольной точностью с использованием алгебраических вычислительных систем, таких как Maxima. Такая реализация точного решения описана Карни (2011).

Точное решение - ценный инструмент для оценки точности усеченных рядов n и λ. Например, исходная серия Krüger- n 1912 года очень выгодно отличается от точных значений: они отличаются менее чем на 0,31 мкм в пределах 1000 км от центрального меридиана и менее чем на 1 мм в пределах 6000 км. С другой стороны, разница между серией Redfearn, используемой Geotrans, и точным решением составляет менее 1 мм с разницей в долготе в 3 градуса, что соответствует расстоянию 334 км от центрального меридиана на экваторе, но всего 35 км на северной границе зоны UTM. Таким образом, серия Крюгер- н намного лучше, чем серия Redfearn λ.

Серия Redfearn становится намного хуже по мере расширения зоны. Карни приводит в качестве поучительного примера Гренландию. Длинный тонкий массив суши сосредоточен на высоте 42 Вт и в самом широком месте находится не более чем в 750 км от этого меридиана, в то время как размах по долготе достигает почти 50 градусов. Krüger – n имеет точность в пределах 1 мм, но версия Redfearn серии Krüger – λ имеет максимальную погрешность 1 километр.

Собственный ряд Карни 8-го порядка (по n ) имеет точность до 5 морских миль в пределах 3900 км от центрального меридиана.

Формулы для сферической поперечной проекции Меркатора

Возвращение к сферической нормали Меркатора

Нормальный аспект касательной цилиндрической проекции сферы

Нормальные цилиндрические проекции описываются по отношению к цилиндру, касательному на экваторе с осью вдоль полярной оси сферы. Цилиндрические проекции построены так, что все точки меридиана проецируются в точки с x  =  aλ и y - заданной функцией φ . Для касательной нормальной проекции Меркатора (уникальными) формулами, гарантирующими конформность, являются:

${\ displaystyle x = a \ lambda \ ,, \ qquad y = a \ ln \ left [\ tan \ left ({\ frac {\ pi} {4}} + {\ frac {\ varphi} {2}} \ right) \ right] = {\ frac {a} {2}} \ ln \ left [{\ frac {1+ \ sin \ varphi} {1- \ sin \ varphi}} \ right].}$

Следует , что подобие углов масштабы точки , к , не зависят от направления: она является функцией только широтой:

${\ Displaystyle к (\ varphi) = \ сек \ varphi. \,}$

Для секущей версии проекции в правой части всех этих уравнений есть коэффициент k ₀ : это гарантирует, что масштаб равен k ₀ на экваторе.

Нормальная и поперечная сетка

Поперечная сетка меркатора

На рисунке слева показано, как поперечный цилиндр соотносится с традиционной сеткой на сфере. Он касается некоторого произвольно выбранного меридиана, а его ось перпендикулярна оси сферы. Х - и у -axes определены на рисунке связаны с экватора и центрального меридиана точно так , как они для нормальной проекции. На рисунке справа повернутая сетка связана с поперечным цилиндром так же, как нормальный цилиндр связан со стандартной сеткой. «Экватор», «полюса» (E и W) и «меридианы» повернутой сетки отождествляются с выбранным центральным меридианом, точками на экваторе под углом 90 градусов к востоку и западу от центрального меридиана и большими кругами через эти точки.

Поперечная геометрия меркатора

Положение произвольной точки ( φ , λ ) на стандартной координатной сетке также можно определить по углам на повернутой координатной сетке : φ ′ (угол M′CP) - эффективная широта, а - λ ′ (угол M′CO) становится эффективной долготой. (Знак минус необходим для того, чтобы ( φ ′ , λ ′ ) были связаны с повернутой сеткой так же, как ( φ , λ ) связаны со стандартной сеткой). Декартовы оси ( x ' , y' ) связаны с повернутой сеткой так же, как оси ( x , y ) связаны со стандартной сеткой.

Касательная поперечная проекция Меркатора определяет координаты ( x ′ , y ′ ) через - λ ′ и φ ′ по формулам преобразования касательной нормальной проекции Меркатора:

${\ displaystyle x '= - a \ lambda' \, \ qquad y '= {\ frac {a} {2}} \ ln \ left [{\ frac {1+ \ sin \ varphi'} {1- \ sin \ varphi '}} \ right].}$

Это преобразование проецирует центральный меридиан в прямую линию конечной длины и в то же время проецирует большие круги через E и W (которые включают экватор) в бесконечные прямые линии, перпендикулярные центральному меридиану. Истинные параллели и меридианы (кроме экватора и центрального меридиана) не имеют простого отношения к повернутой координатной сетке и проецируются на сложные кривые.

Связь между сетками

Углы двух координатных сеток связаны с помощью сферической тригонометрии на сферическом треугольнике NM′P, определяемом истинным меридианом через начало координат OM′N, истинным меридианом через произвольную точку MPN и большим кругом WM′PE. Результаты следующие:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ sin \ varphi '& = \ sin \ lambda \ cos \ varphi, \\\ tan \ lambda' & = \ sec \ lambda \ tan \ varphi. \ end {выравнивается}}}$

Формулы прямого преобразования

Прямые формулы, задающие декартовы координаты ( x , y ), следуют непосредственно из вышеизложенного. Установка x  =  y ′ и y  = - x ′ (и восстанавливающие коэффициенты k ₀ для размещения секущих версий)

${\ displaystyle {\ begin {align} x (\ lambda, \ varphi) & = {\ frac {1} {2}} k_ {0} a \ ln \ left [{\ frac {1+ \ sin \ lambda \ cos \ varphi} {1- \ sin \ lambda \ cos \ varphi}} \ right], \\ [5px] y (\ lambda, \ varphi) & = k_ {0} a \ arctan \ left [\ sec \ lambda \ tan \ varphi \ right], \ end {выравнивается}}}$

Вышеупомянутые выражения даны у Ламберта, а также (без выводов) у Снайдера, Малинга и Осборна (с полными подробностями).

Формулы обратного преобразования

Обращение приведенных выше уравнений дает

${\ displaystyle {\ begin {align} \ lambda (x, y) & = \ arctan \ left [\ sinh {\ frac {x} {k_ {0} a}} \ sec {\ frac {y} {k_ { 0} a}} \ right], \\ [5px] \ varphi (x, y) & = \ arcsin \ left [{\ mbox {sech}} \; {\ frac {x} {k_ {0} a} } \ sin {\ frac {y} {k_ {0} a}} \ right]. \ end {align}}}$

Балльная шкала

В терминах координат относительно повернутой сетки масштабный коэффициент точки определяется как k  = sec  φ ′ : это может быть выражено либо в терминах географических координат, либо в терминах координат проекции:

${\ Displaystyle {\ begin {выровнено} к (\ лямбда, \ varphi) & = {\ гидроразрыва {k_ {0}} {\ sqrt {1- \ sin ^ {2} \ lambda \ cos ^ {2} \ varphi }}}, \\ [5px] k (x, y) & = k_ {0} \ cosh \ left ({\ frac {x} {k_ {0} a}} \ right). \ End {выравнивается}} }$

Второе выражение показывает, что масштабный коэффициент - это просто функция расстояния от центрального меридиана проекции. Типичное значение масштабного коэффициента k ₀  = 0,9996, так что k  = 1, когда x составляет примерно 180 км. Когда x составляет приблизительно 255 км, а k ₀  = 1.0004: масштабный коэффициент находится в пределах 0,04% от единицы на полосе шириной около 510 км.

Конвергенция

Угол схождения

Угол схождения γ в точке проекции определяется углом, измеряемым от проецируемого меридиана, определяющего истинный север, до линии сетки с постоянным x , определяющей север сетки. Следовательно, γ положительно в квадранте к северу от экватора и к востоку от центрального меридиана, а также в квадранте к югу от экватора и к западу от центрального меридиана. Схождение должно быть добавлено к азимуту сетки, чтобы получить пеленг от истинного севера. Для секущей поперечной проекции Меркатора сходимость может быть выражена либо через географические координаты, либо через координаты проекции:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ gamma (\ lambda, \ varphi) & = \ arctan (\ tan \ lambda \ sin \ varphi), \\ [5px] \ gamma (x, y) & = \ arctan \ left (\ tanh {\ frac {x} {k_ {0} a}} \ tan {\ frac {y} {k_ {0} a}} \ right). \ end {align}}}$

Формулы для эллипсоидальной поперечной проекции Меркатора

Подробная информация о фактических реализациях

• Серия Гаусса-Крюгера по долготе: Поперечный Меркатор: Серия Redfearn
• Серия Гаусса-Крюгера в n (третье сглаживание): Поперечный Меркатор: серия сглаживания
• Точная (замкнутая) поперечная проекция Меркатора: Поперечная проекция Меркатора: точное решение
• Серия Redfearn четвертого порядка по кратким формулам (пример): Поперечная проекция Меркатора: Серия Боуринга

Координаты, сетки, восточные и северные направления

Координаты проекции, полученные в результате различных изменений эллипсоидальной поперечной проекции Меркатора, являются декартовыми координатами, так что центральный меридиан соответствует оси x, а экватор соответствует оси y . И x, и y определены для всех значений λ и ϕ . Проекция не определяет сетку: сетка - это независимая конструкция, которую можно определить произвольно. На практике национальные реализации и UTM действительно используют сетки, выровненные с декартовыми осями проекции, но они имеют конечную протяженность и начало координат, которое не обязательно должно совпадать с пересечением центрального меридиана с экватором.

Истинная сетка происхождение всегда берутся на центральном меридиане , так что координаты сетки будут отрицательный к западу от центрального меридиана. Чтобы избежать таких отрицательных координат сетки, стандартная практика определяет ложное начало координат к западу (и, возможно, к северу или югу) от начала координатной сетки: координаты относительно ложного начала координат определяют восток и север, которые всегда будут положительными. Ложный пищеблок , E ₀ , расстояние от истинной сетки координат к востоку от ложного происхождения. Ложные Northing , N ₀ , расстояние от истинной сетки происхождения к северу от ложного происхождения. Если истинное начало координатной сетки находится на широте φ ₀ на центральном меридиане, а масштабный коэффициент центрального меридиана равен k _0, то эти определения дают восточные и северные координаты следующим образом:

${\ displaystyle {\ begin {align} E & = E_ {0} + x (\ lambda, \ varphi), \\ [5px] N & = N_ {0} + y (\ lambda, \ varphi) -k_ {0} м (\ varphi _ {0}). \ end {выравнивается}}}$

Термины «восток» и «север» не означают строгих направлений на восток и север. Линии сетки поперечной проекции, кроме осей x и y , не проходят с севера на юг или с востока на запад, как это определено параллелями и меридианами. Это очевидно из представленных выше глобальных прогнозов. Вблизи центрального меридиана различия небольшие, но измеримые. Разница между линиями сетки север-юг и истинными меридианами заключается в угле схождения .

Смотрите также

• Список картографических проекций
• Проекция Меркатора
• Масштаб (карта)
• Косая проекция Меркатора

использованная литература

внешние ссылки

• Проекции, использованные для иллюстрации этой статьи, были подготовлены с использованием Geocart, доступного на http://www.mapthematics.com.