Треугольное число - Triangular number

Первые шесть треугольных чисел

А количество треугольных или треугольник число отсчетов объектов , расположенные в равностороннем треугольнике . Треугольные числа представляют собой тип фигурных чисел , другими примерами являются квадратные числа и числа в кубе . П е треугольного числа есть число точек в треугольной договоренности с п точек на одной стороне, и равен сумму п натуральных чисел от 1 до п . Последовательность треугольных чисел, начиная с 0 - го треугольного числа , является

0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666 ...

(Эта последовательность включена в Он-лайн энциклопедию целочисленных последовательностей (последовательность A000217 в OEIS )).

Формула

Получение треугольных чисел из выровненного влево треугольника Паскаля

Треугольные числа задаются следующими явными формулами:

где - биномиальный коэффициент . Он представляет собой количество различных пар, которые могут быть выбраны из n + 1 объектов, и читается вслух как « n плюс один выбирают два».

Первое уравнение можно проиллюстрировать с помощью наглядного доказательства . Для каждого треугольного числа представьте «полуквадратное» расположение объектов, соответствующее треугольному числу, как на рисунке ниже. При копировании этой компоновки и ее повороте для создания прямоугольной фигуры количество объектов удваивается, образуя прямоугольник с размерами , который также является количеством объектов в прямоугольнике. Очевидно, что сам по себе треугольное число всегда ровно половина от числа объектов в такой фигуре, или: . В следующем примере :

(зеленый плюс желтый) означает, что (зеленый). Иллюстрация треугольного числа T 4, ведущего к прямоугольнику.png    

Первое уравнение также может быть установлено с помощью математической индукции : поскольку оно равно единице, устанавливается базисный случай. Из определения следует, что , принимая индуктивную гипотезу для , добавление к обеим частям немедленно дает

Другими словами, поскольку утверждение (то есть первое уравнение или сама индуктивная гипотеза) истинно, когда и поскольку истинность подразумевает, что это также верно, то первое уравнение истинно для всех натуральных чисел. Приведенный выше аргумент можно легко изменить, чтобы начать с нуля и включить его.

Говорят, что немецкий математик и ученый Карл Фридрих Гаусс обнаружил эту взаимосвязь в ранней юности, умножая п/2пары чисел в сумме по значениям каждой пары n + 1 . Однако, несмотря на правдивость этой истории, Гаусс не был первым, кто открыл эту формулу, и некоторые считают, что ее происхождение восходит к пифагорейцам в V веке до нашей эры. Эти две формулы были описаны ирландским монахом Дикуилом примерно в 816 году в его Computus .

Треугольное число T n решает проблему рукопожатия, заключающуюся в подсчете количества рукопожатий, если каждый человек в комнате с n + 1 людьми пожимает руку каждому человеку один раз. Другими словами, решение проблемы рукопожатия для n человек - это T n −1 . Функция T является аддитивным аналогом факториальной функции, которая является произведением целых чисел от 1 до  n .

Количество отрезков линии между ближайшими парами точек в треугольнике может быть представлено в виде количества точек или с помощью рекуррентного соотношения :

В пределе соотношение между двумя числами, точками и отрезками линии равно

Отношение к другим фигуральным числам

Треугольные числа имеют самые разные отношения с другими фигуральными числами.

Проще говоря, сумма двух последовательных треугольных чисел представляет собой квадратное число, сумма которого является квадратом разницы между ними (и, таким образом, разность двух является квадратным корнем из суммы). Алгебраически,

Этот факт можно продемонстрировать графически, расположив треугольники в противоположных направлениях для создания квадрата:

6 + 10 = 16 Квадратное число 16 как сумма двух треугольных чисел.svg    
10 + 15 = 25 Квадратное число 25 как сумма двух треугольных чисел.svg

Существует бесконечно много треугольных чисел, которые также являются квадратными числами; например, 1, 36, 1225. Некоторые из них могут быть сгенерированы простой рекурсивной формулой:

с участием

Все квадратные треугольные числа находятся из рекурсии

с и
Квадрат, длина стороны которого равна треугольному числу, можно разделить на квадраты и полуквадраты, площадь которых складывается с кубиками. Это показывает, что квадрат n- го треугольного числа равен сумме первых n кубических чисел.

Кроме того, квадрат n- го треугольного числа совпадает с суммой кубиков целых чисел от 1 до n . Это также можно выразить как

Сумма первых n треугольных чисел является n- м тетраэдрическим числом :

В более общем смысле, разница между n- м m- угольным числом и n- м ( m + 1) -угольным числом является ( n - 1) -м треугольным числом. Например, шестое семиугольное число (81) минус шестое шестиугольное число (66) равно пятому треугольному числу 15. Любое другое треугольное число является шестиугольным числом. Зная треугольные числа, можно считать любое центрированное многоугольное число ; п - го по центру K -gonal число получается по формуле

где T - треугольное число.

Положительная разность двух треугольных чисел - это число трапеции .

Прочие свойства

Треугольные числа соответствуют случаю первой степени формулы Фаульхабера .

Чередующиеся треугольные числа (1, 6, 15, 28, ...) также являются шестиугольными числами.

Каждое четное совершенное число является треугольным (а также шестиугольным), определяемым формулой

где M p - простое число
Мерсенна . Совершенные нечетные числа неизвестны; следовательно, все известные совершенные числа треугольные.

Например, третье треугольное число - (3 × 2 =) 6, седьмое - (7 × 4 =) 28, 31-е - (31 × 16 =) 496 и 127-е - (127 × 64 =) 8128.

В базе 10 , то цифровой корень из числа от нуля треугольной всегда равен 1, 3, 6 или 9. Следовательно, каждое треугольное число либо делится на три или имеет остаток 1 при делении на 9:

0 = 9 × 0

1 = 9 × 0 + 1

3 = 9 × 0 + 3

6 = 9 × 0 + 6

10 = 9 × 1 + 1

15 = 9 × 1 + 6

21 = 9 × 2 + 3

28 = 9 × 3 + 1

36 = 9 × 4

45 = 9 × 5

55 = 9 × 6 + 1

66 = 9 × 7 + 3

78 = 9 × 8 + 6

91 = 9 × 10 + 1

...

У треугольных чисел, которые не делятся на 3, есть более специфическое свойство; то есть, они имеют остаток 1 или 10 при делении на 27. Те, которые равны 10 по модулю 27, также равны 10 по модулю 81.

Шаблон цифрового корня для треугольных чисел, повторяющихся каждые девять членов, как показано выше, - это «1, 3, 6, 1, 6, 3, 1, 9, 9».

Однако обратное приведенному выше утверждению не всегда верно. Например, цифровой корень из 12, который не является треугольным числом, равен 3 и делится на три.

Если x - треугольное число, то ax + b также является треугольным числом, если a - нечетный квадрат и b =а - 1/8. Обратите внимание, что b всегда будет треугольным числом, потому что 8 T n + 1 = (2 n + 1) 2 , что дает все нечетные квадраты, обнаруживаются путем умножения треугольного числа на 8 и добавления 1, а процесс для b задан a - нечетный квадрат - это операция, обратная этой операции. Первые несколько пар этой формы (не считая 1 x + 0 ): 9 x + 1 , 25 x + 3 , 49 x + 6 , 81 x + 10 , 121 x + 15 , 169 x + 21 и т. Д. Если x равно T n , эти формулы дают T 3 n + 1 , T 5 n + 2 , T 7 n + 3 , T 9 n + 4 и так далее.

Сумма обратных всех ненулевых треугольных чисел равна

Это можно показать, используя базовую сумму ряда телескопирования :

Две другие формулы относительно треугольных чисел:

а также
и то, и другое можно легко установить, глядя на точечные рисунки (см. выше) или с помощью какой-нибудь простой алгебры.

В 1796 году Гаусс обнаружил, что каждое положительное целое число можно представить в виде суммы трех треугольных чисел (возможно, включая T 0 = 0), записав в своем дневнике свои знаменитые слова « ! Num = Δ + Δ + Δ ». Эта теорема не означает, что треугольные числа различны (как в случае 20 = 10 + 10 + 0), или что должно существовать решение с ровно тремя ненулевыми треугольными числами. Это частный случай теоремы Ферма о многоугольных числах .

Наибольшее треугольное число вида 2 k - 1 равно 4095 (см. Уравнение Рамануджана – Нагелла ).

Вацлав Францишек Серпинский задал вопрос о существовании четырех различных треугольных чисел в геометрической прогрессии . Польский математик Казимеж Шимичек предположил, что это невозможно, и позже это было доказано

Фангом и Ченом в 2007 году.

Формулы, выражающие целое число как сумму треугольных чисел, связаны с тета-функциями , в частности с тета-функцией Рамануджана .

Приложения

Максимальное количество штук p, которое можно получить с помощью n прямых разрезов, равно n- му треугольному числу плюс один, образуя последовательность ленивого поставщика услуг общественного питания (OEIS A000124).

Полностью подключен сеть из п вычислительных устройств требует присутствия Т п - 1 кабели или другие соединения; это эквивалентно проблеме рукопожатия, упомянутой выше.

В формате турнира, который использует групповой этап по круговой системе , количество матчей, которые необходимо сыграть между n командами, равно треугольному числу T n - 1 . Например, групповой этап с 4 командами требует 6 матчей, а групповой этап с 8 командами требует 28 матчей. Это также эквивалентно проблеме рукопожатия и неполадкам полностью подключенной сети.

Одним из способов расчета амортизации актива является метод суммы лет , который включает определение T n , где n - продолжительность срока полезного использования актива в годах. Каждый год товар теряет ( b - s ) ×п - у/Т н, где b - начальная стоимость предмета (в денежных единицах), s - его окончательная ликвидационная стоимость, n - общее количество лет, в течение которых предмет может использоваться, а y - текущий год в графике амортизации. При использовании этого метода элемент со сроком службы n = 4 года потеряет4/10 от его «потерянной» стоимости в первый год, 3/10 во-вторых, 2/10 в третьем и 1/10 в четвертом, накапливая общую амортизацию в размере 10/10 (целиком) потерянной стоимости.

Треугольные корни и тесты для треугольных чисел

По аналогии с квадратным корнем из x , можно определить (положительный) треугольный корень из x как число n такое, что T n = x :

что непосредственно следует из квадратичной формулы . Таким образом, целое число x является треугольным тогда и только тогда, когда 8 x + 1 является квадратом. Эквивалентно, если положительный треугольный корень n из x является целым числом, то x является n- м треугольным числом.

альтернативное имя

Альтернативное название, предложенное Дональдом Кнутом , по аналогии с факториалами , - "termial" с обозначением n ? для n- го треугольного числа. Однако, хотя некоторые другие источники используют это название и обозначения, они не получили широкого распространения.

Смотрите также

  • 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
  • Дважды треугольное число , треугольное число, положение которого в последовательности треугольных чисел также является треугольным числом.
  • Тетрактис , расположение десяти точек в треугольнике, важное в пифагореизме.

использованная литература

внешние ссылки