Трохоид - Trochoid

Циклоиды (общий трохоида) , порожденные катящимся кругом

В геометрии , A трохоида (от греческого слова для колеса, «trochos») представляет собой рулетку , образованный круговой прокатки вдоль линии . Другими словами, это кривая, очерченная точкой, прикрепленной к окружности (где точка может быть внутри, внутри или за пределами круга), когда она катится по прямой линии. Если точка находится на окружности, трохоида называется обыкновенной (также известной как циклоида ); если острие находится внутри круга, трохоида курчавая ; а если точка находится вне круга, трохоида вытянутая . Слово «трохоид» придумал Жиль де Роберваль .

Основное описание

Вытянутый трохоид с b / a = 5/4

Кратковременный трохоид с b / a = 4/5

Поскольку круг радиуса а катится без скольжения по линии L, центр С движется параллельно L, и каждая другая точка P во вращающейся плоскости, жестко прикрепленная к кругу, следует по кривой, называемой трохоидой. Пусть CP = b . Параметрические уравнения трохоиды, для которой L - ось абсцисс, имеют следующий вид:

${\ Displaystyle х = а \ тета -b \ грех \ тета \,}$

${\ Displaystyle у = ab \ соз \ тета \,}$

где θ - переменный угол, на который катится круг.

Куртатный, общий, вытянутый

Если P лежит внутри круга ( b < a ), на его окружности ( b = a ) или снаружи ( b > a ), трохоида описывается как куртированная («сжатая»), общая или вытянутая («расширенная» ), соответственно. Курчавая трохоида отслеживается педалью, когда велосипед с нормальной передачей вращается по прямой. Вытянутая трохоида прослеживаются кончиком манипулятора , когда лодка приводятся в движении с постоянной скоростью с помощью гребных колес; эта кривая содержит петли. Общая трохоида, также называемая циклоидами , имеет бугры в точках , где Р соприкасается с L .

Общее описание

Более общий подход позволил бы определить трохоиду как локус точки на орбите со скоростью постоянной вокруг оси , расположенной на , ${\ Displaystyle (х, у)}$ ${\ Displaystyle (х ', у')}$

${\ displaystyle x = x '+ r_ {1} \ cos (\ omega _ {1} t + \ phi _ {1}), \ y = y' + r_ {1} \ sin (\ omega _ {1} t + \ phi _ {1}), \ r_ {1}> 0,}$

какая ось перемещается в плоскости xy с постоянной скоростью либо по прямой,

${\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} x '= x_ {0} + v_ {2x} t, \ y' = y_ {0} + v_ {2y} t \\\, следовательно, x = x_ {0} + r_ {1} \ cos (\ omega _ {1} t + \ phi _ {1}) + v_ {2x} t, \ y = y_ {0} + r_ {1} \ sin (\ omega _ {1} t + \ phi _ {1}) + v_ {2y} t, \\\ конец {массив}}}$

или круговой путь (другая орбита) вокруг ( случай гипотрохоида / эпитрохоида ), ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$

${\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} x '= x_ {0} + r_ {2} \ cos (\ omega _ {2} t + \ phi _ {2}), \ y' = y_ {0} + r_ {2} \ sin (\ omega _ {2} t + \ phi _ {2}), \ r_ {2} \ geq 0 \\\ поэтому x = x_ {0} + r_ {1} \ cos (\ омега _ {1} t + \ phi _ {1}) + r_ {2} \ cos (\ omega _ {2} t + \ phi _ {2}), \ y = y_ {0} + r_ {1} \ sin (\ omega _ {1} t + \ phi _ {1}) + r_ {2} \ sin (\ omega _ {2} t + \ phi _ {2}), \\\ end {array}}}$

Соотношение скоростей движения и то, перемещается ли движущаяся ось по прямой или по круговой траектории, определяет форму трохоиды. В случае прямого пути один полный оборот совпадает с одним периодом периодического (повторяющегося) геометрического места. В случае круговой траектории для движущейся оси, локус является периодическим только тогда , когда отношение этих угловых движений, является рациональным числом, скажем , где & являются взаимно простыми , и в этом случае, один период состоит из орбит вокруг движущегося ось и орбиты движущейся оси вокруг точки . Частные случаи эпициклоиды и гипоциклоиды , генерируемые путем отслеживания геометрического места точки на периметре окружности радиуса, когда она катится по периметру стационарной окружности радиуса , обладают следующими свойствами: ${\ displaystyle \ omega _ {1} / \ omega _ {2}}$${\ displaystyle p / q}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$${\ displaystyle r_ {1}}$${\ displaystyle R}$

${\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} {\ text {epicycloid:}} & \ omega _ {1} / \ omega _ {2} & = p / q = r_ {2} / r_ {1} = R / r_ {1} +1, \ | pq | {\ text {cusps}} \\ {\ text {гипоциклоида:}} & \ omega _ {1} / \ omega _ {2} & = p / q = -r_ {2} / r_ {1} = - (R / r_ {1} -1), \ | pq | = | p | + | q | {\ text {cusps}} \ end {array}}}$

где - радиус орбиты движущейся оси. Приведенное выше количество бугров также верно для любого эпитрохоида и гипотрохоида, при этом «бугорки» заменены либо «радиальными максимумами», либо «радиальными минимумами». ${\ displaystyle r_ {2}}$

Смотрите также

• Брахистохрона
• Циклогон
• Циклоида
• Эпитрохоид
• Гипотрохоид
• Список периодических функций
• Рулетка (кривая)
• Спирограф
• Трохоидальная волна

использованная литература

внешние ссылки

• Онлайн-эксперименты с трохоидом с использованием JSXGraph