Разложение Такера - Tucker decomposition

В математике, разложение Такера разлагает тензор в набор матриц и одного небольшого тензор ядра. Он назван в честь Ледьярда Р. Таккера, хотя восходит к Хичкоку в 1927 году. Первоначально описанный как трехрежимное расширение факторного анализа и анализа главных компонентов, он фактически может быть обобщен на анализ более высокого порядка , который также называется сингулярным анализом более высокого порядка. ценностная декомпозиция (HOSVD).

Ее можно рассматривать как более гибкую модель PARAFAC (параллельный факторный анализ). В PARAFAC основной тензор ограничен «диагональю».

На практике разложение Такера используется как инструмент моделирования. Например, он используется для моделирования трехсторонних (или более высоких) данных с помощью относительно небольшого количества компонентов для каждого из трех или более режимов, и компоненты связаны друг с другом трехсторонним (или более высоким) ) способ основного массива. Параметры модели оцениваются таким образом, чтобы при фиксированном количестве компонентов смоделированные данные оптимально напоминали фактические данные в смысле наименьших квадратов. Модель дает сводку информации в данных так же, как анализ главных компонентов делает для двусторонних данных.

Для тензора 3-го порядка , где либо, либо , разложение Таккера можно обозначить следующим образом: ${\ displaystyle T \ in F ^ {d_ {1} \ times d_ {2} \ times d_ {3}}}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

{\ displaystyle T = {\ mathcal {T}} \ times _ {1} U ^ {(1)} \ times _ {2} U ^ {(2)} \ times _ {3} U ^ {(3) }}

где - основной тензор , тензор 3-го порядка, который содержит 1-модовые, 2-модовые и 3-модовые сингулярные значения , которые определены как норма Фробениуса для 1-модовых, 2-модовых и 3-модовых срезов. тензора соответственно. - унитарные матрицы в соответственно. J -mode продукт ( J = 1, 2, 3) с помощью обозначается как с элементами , как

{\ displaystyle {\ mathcal {T}} \ in F ^ {d_ {1} \ times d_ {2} \ times d_ {3}}}

{\ displaystyle T}

{\ Displaystyle {\ mathcal {T}}}

{\ Displaystyle U ^ {(1)}, U ^ {(2)}, U ^ {(3)}}

{\ displaystyle F ^ {d_ {1} \ times d_ {1}}, F ^ {d_ {2} \ times d_ {2}}, F ^ {d_ {3} \ times d_ {3}}}

{\ Displaystyle {\ mathcal {T}}}

{\ Displaystyle U ^ {(j)}}

{\ displaystyle {\ mathcal {T}} \ times U ^ {(j)}}

{\ displaystyle {\ begin {align} ({\ mathcal {T}} \ times _ {1} U ^ {(1)}) (d_ {1}, d_ {2}, d_ {3}) & = \ сумма _ {i_ {1} = 1} ^ {d_ {1}} {\ mathcal {T}} (i_ {1}, d_ {2}, d_ {3}) U ^ {(1)} (d_ { 1}, i_ {1}) \\ ({\ mathcal {T}} \ times _ {2} U ^ {(2)}) (d_ {1}, d_ {2}, d_ {3}) & = \ sum _ {i_ {2} = 1} ^ {d_ {2}} {\ mathcal {T}} (d_ {1}, i_ {2}, d_ {3}) U ^ {(2)} (d_ {2}, i_ {2}) \\ ({\ mathcal {T}} \ times _ {3} U ^ {(3)}) (d_ {1}, d_ {2}, d_ {3}) & = \ sum _ {i_ {3} = 1} ^ {d_ {3}} {\ mathcal {T}} (d_ {1}, d_ {2}, i_ {3}) U ^ {(3)} ( d_ {3}, i_ {3}) \ end {align}}}

Есть два частных случая разложения Таккера:

Tucker1 : если и идентичны, то ${\ Displaystyle U ^ {(2)}}$ ${\ Displaystyle U ^ {(3)}}$ ${\ Displaystyle T = {\ mathcal {T}} \ times _ {1} U ^ {(1)}}$

Tucker2 : если это личность, то . ${\ Displaystyle U ^ {(3)}}$ ${\ displaystyle T = {\ mathcal {T}} \ times _ {1} U ^ {(1)} \ times _ {2} U ^ {(2)}}$

Разложение

RESCAL можно рассматривать как частный случай Tucker'а, где - identity и равно .

{\ Displaystyle U ^ {(3)}}

{\ Displaystyle U ^ {(1)}}

{\ Displaystyle U ^ {(2)}}

Languages

In other projects

Разложение Такера - Tucker decomposition

Смотрите также

Рекомендации