Неравенство Турана - Turán's inequalities

В математике неравенства Турана - это некоторые неравенства для многочленов Лежандра, найденные Полом Тураном  ( 1950 ) (и впервые опубликованные Сегё (1948) ). Существует множество обобщений других многочленов, часто называемых неравенствами Турана, которые были даны (EF Beckenbach, W. Seidel & Otto Szász  1951 ) и другими авторами.

Если P _n - n- й полином Лежандра , неравенства Турана утверждают, что

${\ displaystyle \, \! P_ {n} (x) ^ {2}> P_ {n-1} (x) P_ {n + 1} (x) {\ text {for}} - 1 <x <1 .}$

Для H _n , n- го полинома Эрмита , неравенства Турана имеют вид

${\ displaystyle H_ {n} (x) ^ {2} -H_ {n-1} (x) H_ {n + 1} (x) = (n-1)! \ cdot \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} {\ frac {2 ^ {ni}} {i!}} H_ {i} (x) ^ {2}> 0 ~,}$

а для полиномов Чебышева они равны

${\ displaystyle T_ {n} (x) ^ {2} -T_ {n-1} (x) T_ {n + 1} (x) = 1-x ^ {2}> 0 {\ text {for}} -1 <x <1 ~.}$

Смотрите также

• Неравенство Аски – Гаспера
• Цепь Штурма

Ссылки

• Beckenbach, EF; Seidel, W .; Сас, Отто (1951), "Рекуррентные определители Лежандра и ультрасферических многочленов", Duke Math. J. , 18 : 1-10, DOI : 10,1215 / S0012-7094-51-01801-7 , МР  0040487
• Сегё, Г. (1948), "Об одном неравенстве П. Турана относительно полиномов Лежандра", Bull. Амер. Математика. Soc. , 54 (4): 401-405, DOI : 10,1090 / S0002-9904-1948-09017-6 , МР  0023954
• Туран, Пауль (1950), «О нулях многочленов Лежандра», Časopis Pěst. Мат. Fys. , 75 : 113–122, MR  0041284

Эта статья, посвященная математическому анализу, является незавершенной . Вы можете помочь Википедии, расширив ее . v т е