Универсальность (динамические системы) - Universality (dynamical systems)
В статистической механике , универсальность является наблюдением , что существует свойства для широкого класса систем , которые не зависят от динамических деталей системы. Универсальность систем проявляется в пределе масштабирования, когда объединяется большое количество взаимодействующих частей. Современное значение этого термина было введено Лео Кадановым в 1960-х годах, но более простая версия концепции уже подразумевалась в уравнении Ван-дер-Ваальса и в более ранней теории фазовых переходов Ландау , которая неправильно учитывала масштабирование.
Этот термин постепенно получает все более широкое применение в нескольких областях математики, включая комбинаторику и теорию вероятностей , когда количественные характеристики структуры (например, асимптотическое поведение) можно вывести из нескольких глобальных параметров, фигурирующих в определении, не требуя знания детали системы.
Ренормгруппа обеспечивает весьма привлекательную, хотя и математически нестрогим, объяснение универсальности. Он классифицирует операторы статистической теории поля на релевантные и нерелевантные. Соответствующие операторы ответственны за возмущения свободной энергии, лагранжиана мнимого времени , которые влияют на континуальный предел и могут быть видны на больших расстояниях. Нерелевантные операторы - это те, которые изменяют только детали на коротком расстоянии. Набор масштабно-инвариантных статистических теорий определяет классы универсальности , а конечномерный список коэффициентов соответствующих операторов параметризует почти критическое поведение.
Универсальность в статистической механике
Понятие универсальности возникло при изучении фазовых переходов в статистической механике. Фазовый переход происходит, когда материал резко меняет свои свойства: вода при нагревании закипает и превращается в пар; или магнит при нагревании теряет свой магнетизм. Фазовые переходы характеризуются параметром порядка , таким как плотность или намагниченность, который изменяется в зависимости от параметра системы, например температуры. Особое значение параметра, при котором система меняет свою фазу, является критической точкой системы . Для систем, которые демонстрируют универсальность, чем ближе параметр к своему критическому значению , тем менее чувствительно параметр порядка зависит от деталей системы.
Если параметр β является критическим при значении β c , то параметр порядка a будет хорошо аппроксимирован выражением
Показатель α является критическим показателем системы. Замечательное открытие, сделанное во второй половине двадцатого века, заключалось в том, что очень разные системы имеют одинаковые критические показатели.
В 1975 году Митчелл Фейгенбаум открыл универсальность повторяющихся отображений.
Примеры
Универсальность получила свое название, потому что проявляется в большом разнообразии физических систем. Примеры универсальности включают:
- Лавины в кучах песка. Вероятность схода лавины пропорциональна размеру лавины, и лавины наблюдаются во всех масштабах. Это называется « самоорганизованной критичностью ».
- Образование и распространение трещин и разрывов в материалах от стали до камня и бумаги. Вариации направления разрыва или шероховатости изломанной поверхности пропорциональны шкале размеров по степенному закону.
- Электрический пробой из диэлектриков , которые напоминают трещины и слезы.
- Перколяции жидкостей через неупорядоченные среды, такие как нефть через трещиноватые горные породы, или воду через фильтровальную бумагу, например, в хроматографии . Масштабирование по степенному закону связывает скорость потока с распределением трещин.
- Диффузии из молекул в растворе , и явление ограниченной диффузии агрегации .
- Распределение пород разных размеров в смеси заполнителей, которая встряхивается (под действием силы тяжести на породы).
- Появление критической опалесценции жидкостей вблизи фазового перехода .
Теоретический обзор
Одним из важных достижений в материаловедении 1970-х и 1980-х годов было осознание того, что статистическую теорию поля, подобно квантовой теории поля, можно использовать для создания микроскопической теории универсальности. Основное наблюдение заключалось в том, что для всех различных систем поведение при фазовом переходе описывается континуальным полем, и что одна и та же статистическая теория поля будет описывать разные системы. Показатели масштабирования во всех этих системах могут быть получены только на основе теории поля и известны как критические показатели .
Ключевое наблюдение состоит в том, что вблизи фазового перехода или критической точки возмущения возникают во всех масштабах, и поэтому для описания явлений следует искать явно масштабно-инвариантную теорию, которая, по-видимому, была заложена в формальную теоретическую основу сначала Покровский и Паташинский в 1965 году. Универсальность - это побочный продукт того факта, что существует относительно мало масштабно-инвариантных теорий. Для любой конкретной физической системы подробное описание может иметь множество параметров и аспектов, зависящих от масштаба. Однако по мере приближения к фазовому переходу параметры, зависящие от масштаба, играют все менее и менее важную роль, и преобладают масштабно-инвариантные части физического описания. Таким образом, упрощенная и часто точно решаемая модель может быть использована для аппроксимации поведения этих систем вблизи критической точки.
Просачивание можно смоделировать с помощью случайной сети электрических резисторов , при которой электричество течет от одной стороны сети к другой. Видно, что общее сопротивление сети описывается средней связностью резисторов в сети.
Образование разрывов и трещин можно моделировать случайной сетью электрических предохранителей . По мере увеличения электрического тока, протекающего через сеть, некоторые предохранители могут взорваться, но в целом ток шунтируется вокруг проблемных участков и равномерно распределяется. Однако в определенный момент (при фазовом переходе) может произойти каскадный отказ , когда избыточный ток от одного сработавшего предохранителя поочередно перегрузит следующий предохранитель, пока две стороны цепи не будут полностью отключены и ток перестанет течь.
Чтобы выполнить анализ таких систем случайных сетей, рассматривается стохастическое пространство всех возможных сетей (то есть канонический ансамбль ) и выполняется суммирование (интегрирование) по всем возможным конфигурациям сетей. Как и в предыдущем обсуждении, каждая заданная случайная конфигурация понимается как полученная из пула всех конфигураций с некоторым заданным распределением вероятностей; роль температуры в распределении обычно заменяется средней связностью сети.
Ожидаемые значения операторов, такие как скорость потока, теплоемкость и т. Д., Получаются путем интегрирования по всем возможным конфигурациям. Этот акт интеграции по всем возможным конфигурациям является точкой общности между системами в статистической механике и квантовой теории поля . В частности, язык ренормгруппы может быть применен к обсуждению моделей случайных сетей. В 1990-х и 2000-х годах были обнаружены более сильные связи между статистическими моделями и конформной теорией поля . Изучение универсальности остается важной областью исследований.
Приложения к другим областям
Как и другие концепции статистической механики (такие как энтропия и основные уравнения ), универсальность оказалась полезной конструкцией для характеристики распределенных систем на более высоком уровне, таких как многоагентные системы . Этот термин был применен к многоагентному моделированию, в котором поведение на уровне системы, демонстрируемое системой, не зависит от степени сложности отдельных агентов и почти полностью определяется природой ограничений, управляющих их взаимодействиями. В сетевой динамике универсальность означает тот факт, что, несмотря на разнообразие нелинейных динамических моделей, которые различаются во многих деталях, наблюдаемое поведение множества различных систем подчиняется набору универсальных законов. Эти законы не зависят от конкретных деталей каждой системы.