Виртуальная черная дыра - Virtual black hole

где - тензор Эйнштейна , объединяющий тензор Риччи , скалярную кривизну и метрический тензор ; - космологическая постоянная ; а - тензор энергии-импульса вещества; - математическая константа пи ; это скорость света ; и - гравитационная постоянная Ньютона . ${\ displaystyle G _ {\ mu \ nu} = R _ {\ mu \ nu} - {R \ over 2} g _ {\ mu \ nu}}$${\ displaystyle \ Lambda}$${\ Displaystyle Т _ {\ му \ ню}}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle G}$

Эйнштейн предположил, что физическое пространство является римановым, то есть искривленным, и поэтому положил риманову геометрию в основу теории гравитации. Небольшая область риманова пространства близка к плоскому пространству.

Для любого тензорного поля , можно назвать плотность тензорной, где является определяющим фактором в метрическом тензоре . Интеграл является тензором, если область интегрирования мала. Это не тензор, если область интегрирования не мала, потому что тогда она состоит из суммы тензоров, расположенных в разных точках, и не преобразуется каким-либо простым образом при преобразовании координат. Здесь мы рассматриваем только небольшие домены. Это также верно для интегрирования по трехмерной гиперповерхности . ${\ displaystyle N _ {\ mu \ nu ...}}$${\ displaystyle N _ {\ mu \ nu ...} {\ sqrt {-g}}}$${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}$${\ displaystyle \ int N _ {\ mu \ nu ...} {\ sqrt {-g}} \, d ^ {4} x}$ ${\ Displaystyle S ^ {\ nu}}$

Таким образом, уравнения Эйнштейна для малой пространственно-временной области могут быть интегрированы с помощью трехмерной гиперповерхности . Есть ${\ Displaystyle S ^ {\ nu}}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int \ left (G _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} \ right) {\ sqrt {-g}} \, dS ^ {\ nu} = {2G \ over c ^ {4}} \ int T _ {\ mu \ nu} {\ sqrt {-g}} \, dS ^ {\ nu}}$

Поскольку интегрируемая пространственно-временная область мала, мы получаем тензорное уравнение

где - составляющая 4-импульса материи, - составляющая радиуса кривизны малой области. ${\ displaystyle P _ {\ mu} = {\ frac {1} {c}} \ int T _ {\ mu \ nu} {\ sqrt {-g}} \, dS ^ {\ nu}}$${\ displaystyle R _ {\ mu} = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int \ left (G _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} \ right) {\ sqrt { -g}} \, dS ^ {\ nu}}$

Полученное тензорное уравнение можно переписать в другом виде. С тех пор ${\ Displaystyle P _ {\ mu} = mc \, U _ {\ mu}}$

${\ Displaystyle R _ {\ mu} = {\ frac {2G} {c ^ {3}}} mc \, U _ {\ mu} = r_ {s} \, U _ {\ mu}}$

где - радиус Шварцшильда , - 4-х скоростная, - гравитационная масса. Эта запись раскрывает физический смысл величин как составляющих гравитационного радиуса . ${\ displaystyle r_ {s}}$${\ displaystyle U _ {\ mu}}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle R _ {\ mu}}$${\ displaystyle r_ {s}}$

На небольшой площади пространство-время почти плоское и это уравнение можно записать в операторной форме

${\ displaystyle {\ hat {R}} _ {\ mu} = {\ frac {2G} {c ^ {3}}} {\ hat {P}} _ {\ mu} = {\ frac {2G} { c ^ {3}}} (- i \ hbar) {\ frac {\ partial} {\ partial \, x ^ {\ mu}}} = - 2i \, \ ell _ {P} ^ {2} {\ гидроразрыв {\ partial} {\ partial \, x ^ {\ mu}}}}$

или же

Тогда коммутатор операторов и есть ${\ displaystyle {\ hat {R}} _ {\ mu}}$${\ displaystyle {\ hat {x}} _ {\ mu}}$

${\ displaystyle [{\ hat {R}} _ {\ mu}, {\ hat {x}} _ {\ mu}] = - 2i \ ell _ {P} ^ {2}}$

Отсюда следуют указанные соотношения неопределенностей

Подставляя значения и и уменьшая идентичные константы с двух сторон, мы получаем принцип неопределенности Гейзенберга${\ displaystyle R _ {\ mu} = {\ frac {2G} {c ^ {3}}} m \, c \, U _ {\ mu}}$${\ displaystyle \ ell _ {P} ^ {2} = {\ frac {\ hbar \, G} {c ^ {3}}}}$

${\ displaystyle \ Delta P _ {\ mu} \ Delta x _ {\ mu} = \ Delta (mc \, U _ {\ mu}) \ Delta x _ {\ mu} \ geq {\ frac {\ hbar} {2}} }$

В частном случае статического сферически-симметричного поля и статического распределения материи так и остались ${\ Displaystyle U_ {0} = 1, U_ {i} = 0 \, (я = 1,2,3)}$

${\ displaystyle \ Delta R_ {0} \ Delta x_ {0} = \ Delta r_ {s} \ Delta r \ geq \ ell _ {P} ^ {2}}$

где - радиус Шварцшильда , - радиальная координата. Здесь и , поскольку вещество движется со скоростью света в масштабе Планка. ${\ displaystyle r_ {s}}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle R_ {0} = r_ {s}}$${\ Displaystyle х_ {0} = с \, т = г}$

Последнее соотношение неопределенностей позволяет сделать некоторые оценки уравнений общей теории относительности в масштабах Планка . Например, уравнение для инвариантного интервала в в решении Шварцшильда имеет вид ${\ displaystyle dS}$

${\ displaystyle dS ^ {2} = \ left (1 - {\ frac {r_ {s}} {r}} \ right) c ^ {2} dt ^ {2} - {\ frac {dr ^ {2} } {1- {r_ {s}} / {r}}} - r ^ {2} (d \ Omega ^ {2} + \ sin ^ {2} \ Omega d \ varphi ^ {2})}$

Заменить согласно соотношению неопределенностей . Мы получаем ${\ displaystyle r_ {s} \ приблизительно \ ell _ {P} ^ {2} / r}$

${\ displaystyle dS ^ {2} \ приблизительно \ left (1 - {\ frac {\ ell _ {P} ^ {2}} {r ^ {2}}} \ right) c ^ {2} dt ^ {2 } - {\ frac {dr ^ {2}} {1 - {\ ell _ {P} ^ {2}} / {r ^ {2}}}} - r ^ {2} (d \ Omega ^ {2 } + \ sin ^ {2} \ Omega d \ varphi ^ {2})}$

Видно, что на планковском масштабе метрика пространства-времени ограничена снизу планковской длиной (появляется деление на ноль), и на этом масштабе существуют реальные и виртуальные планковские черные дыры. ${\ displaystyle r = \ ell _ {P}}$

Аналогичные оценки можно сделать и в других уравнениях общей теории относительности . Например, анализ уравнения Гамильтона – Якоби для центрально-симметричного гравитационного поля в пространствах разной размерности (с помощью полученного соотношения неопределенности) указывает на предпочтение трехмерного пространства для возникновения виртуальных черных дыр ( квантовая пена , основа «ткани» Вселенной.). Это могло предопределить трехмерность наблюдаемого пространства.

Описанное выше соотношение неопределенности справедливо для сильных гравитационных полей, так как в любой достаточно малой области сильного поля пространство-время по существу является плоским.