Виртуальная работа - Virtual work

В механике , виртуальная работа возникает в применении принципа наименьшего действия к изучению сил и движения механической системы . Работа о силе , действующей на частицу , как она движется вдоль смещения различна для различных смещений. Среди всех возможных перемещений, которым может следовать частица, называемых виртуальными перемещениями , одно минимизирует действие. Таким образом, это смещение представляет собой смещение, за которым следует частица в соответствии с принципом наименьшего действия. Работа силы, действующая на частицу при виртуальном перемещении, известна как виртуальная работа .

Исторически виртуальная работа и связанное с ней вариационное исчисление были сформулированы для анализа систем твердых тел, но они также были разработаны для изучения механики деформируемых тел.

История

Принцип виртуальной работы всегда использовались в той или иной форме с древних времен в изучении статики. Греки, средневековые арабы и латиняне и итальянцы эпохи Возрождения использовали его как «закон рычага». Идея виртуальной работы использовалась многими известными физиками 17 века, такими как Галилей, Декарт, Торричелли, Уоллис и Гюйгенс, в разной степени общности при решении задач статики. Работая с лейбницевскими концепциями, Иоганн Бернулли систематизировал принцип виртуальной работы и сделал явной концепцию бесконечно малого смещения. Он смог решить проблемы как для твердых тел, так и для жидкостей. Версия закона виртуальной работы Бернулли появилась в его письме к Пьеру Вариньону в 1715 году, которое позже было опубликовано во втором томе Вариньона Nouvelle mécanique ou Statique в 1725 году. Эта формулировка принципа сегодня известна как принцип виртуальных скоростей и обычно считается как прототип современных принципов виртуальной работы. В 1743 году Даламбер опубликовал свою Traité de Dynamique, в которой применил принцип виртуальной работы, основанный на работе Бернулли, для решения различных задач динамики. Его идея заключалась в том, чтобы преобразовать динамическую задачу в статическую путем введения силы инерции . В 1768 году Лагранж представил принцип виртуальной работы в более эффективной форме, введя обобщенные координаты, и представил его как альтернативный принцип механики, с помощью которого могут быть решены все проблемы равновесия. Систематическое изложение программы Лагранжа применения этого подхода ко всей механике, как статической, так и динамической, по сути принципа Даламбера , было дано в его « Аналитической механике» 1788 года. Хотя Лагранж представил свою версию принципа наименьшего действия до этой работы, он признал принцип виртуальной работы более фундаментальным, главным образом потому, что он сам по себе может считаться основой всей механики, в отличие от современного понимания того, что наименьшее действие не учитывает неконсервативные силы.

Обзор

Если на частицу действует сила, когда она движется от точки к точке , то для каждой возможной траектории, которую может принять частица, можно вычислить полную работу, совершаемую силой на этом пути. Принцип виртуальной работы , которая является формой принципа наименьшего действия применительно к этим системам, гласит , что путь фактически следуют частицы является тот , для которых разность между работой по этому пути и других близлежащих путей равна нулю ( к первому порядку). Формальная процедура для вычисления разности функций, вычисленных на близлежащих путях, является обобщением производной, известной из дифференциального исчисления, и называется вариационным исчислением .

Рассмотрим точечную частицу, которая движется по пути, который описывается функцией от точки , где , до точки , где . Возможно, что частица движется из в по ближайшему пути, описываемому , где это называется вариацией . Вариант удовлетворяет требованию . Скалярные компоненты вариации , и называются виртуальными перемещениями. Это может быть обобщена на произвольной механической системы , определяемой обобщенных координат , . В этом случае, изменение траектории определяются виртуальными перемещениями , .

Виртуальная работа - это общая работа, выполняемая приложенными силами и силами инерции механической системы, когда она движется через набор виртуальных перемещений. При рассмотрении сил, приложенных к телу в статическом равновесии, принцип наименьшего действия требует, чтобы виртуальная работа этих сил была равна нулю.


Вступление

Рассмотрим частицу P, которая движется из точки A в точку B по траектории r ( t ), при этом к ней приложена сила F ( r ( t )). Работа, совершаемая силой F , дается интегралом

где d r - дифференциальный элемент вдоль кривой, являющейся траекторией P , а v - его скорость. Важно отметить, что величина работы W зависит от траектории r ( t ).

Теперь рассмотрим частицу P, которая снова движется из точки A в точку B , но на этот раз она движется по ближайшей траектории, которая отличается от r ( t ) вариацией δ r ( t ) = ε h ( t ), где ε - масштаб константа, которую можно сделать сколь угодно малой, а h ( t ) - произвольная функция, для которой h ( t 0 ) = h ( t 1 ) = 0. Предположим, что сила F ( r ( t ) + ε h ( t )) совпадает с F ( r ( t )). Работа, совершаемая силой, дается интегралом

Изменение работы δW, связанной с этим близлежащим путем, известное как виртуальная работа , может быть вычислено как

Если нет ограничений на движение P , то необходимы 6 параметров, чтобы полностью описать положение P в любой момент времени t . Если имеется k ( k ≤ 6) сдерживающих сил, то необходимо n = (6 - k ) параметров. Следовательно, мы можем определить n обобщенных координат q i ( t ) ( i = 1, 2, ..., n ) и выразить r ( t ) и δ r = ε h ( t ) через обобщенные координаты. То есть,

,
.

Тогда производная вариации δ r = ε h ( t ) имеет вид

тогда у нас есть

Требование нулевой виртуальной работы при произвольной вариации δ r ( t ) = ε h ( t ) эквивалентно набору требований

Члены Q i называются обобщенными силами, связанными с виртуальным перемещением δ r .

Статическое равновесие

Статическое равновесие - это состояние, в котором результирующая сила и чистый крутящий момент, действующие на систему, равны нулю. Другими словами, и импульс, и момент количества движения системы сохраняются. Принцип виртуальной работы гласит, что виртуальная работа приложенных сил равна нулю для всех виртуальных движений системы из статического равновесия . Этот принцип может быть обобщен таким образом, что включены трехмерные вращения : виртуальная работа приложенных сил и приложенных моментов равна нулю для всех виртуальных движений системы из статического равновесия. То есть

где F i , i = 1, 2, ..., m и M j , j = 1, 2, ..., n - приложенные силы и приложенные моменты соответственно, а δ r i , i = 1, 2 , ..., m и δ φ j , j = 1, 2, ..., n - виртуальные перемещения и виртуальные вращения соответственно.

Предположим, что система состоит из N частиц и имеет f ( f ≤ 6 N ) степеней свободы . Достаточно использовать только f координат, чтобы дать полное описание движения системы, поэтому f обобщенных координат q k , k = 1, 2, ..., f определены так, что виртуальные движения могут быть выражены в терминах этих обобщенных координат . То есть,

Виртуальная работа может быть репараметризационный по обобщенным координатам :

где обобщенные силы Q k определяются как

Кейн показывает, что эти обобщенные силы также могут быть сформулированы в терминах отношения производных по времени. То есть,

Принцип виртуальной работы требует, чтобы виртуальная работа, совершаемая над системой силами F i и моментами M j, равнялась нулю, если она находится в равновесии . Следовательно, обобщенные силы Q k равны нулю, т. Е.

Ограничивающие силы

Важным преимуществом принципа виртуальной работы является то, что для определения механики системы необходимы только силы, действующие при движении системы через виртуальное смещение . В механической системе есть много сил, которые не работают во время виртуального перемещения , а это означает, что их не нужно учитывать в этом анализе. Двумя важными примерами являются (i) внутренние силы в твердом теле и (ii) силы связи в идеальном сочленении .

Ланцош представляет это как постулат: «Виртуальная работа сил реакции всегда равна нулю для любого виртуального смещения, которое находится в гармонии с данными кинематическими ограничениями». Аргумент следующий. Принцип виртуальной работы гласит, что в равновесии виртуальная работа сил, приложенных к системе, равна нулю. Законы Ньютона гласят, что в состоянии равновесия приложенные силы равны и противоположны силам реакции или сдерживающим силам. Это означает, что виртуальная работа ограничивающих сил также должна быть равна нулю.


Закон рычага

Рычаг моделируются как жесткий бар подключен к наземной раме с помощью шарнирного сустава называется точкой опоры. Рычаг приводится в действие путем приложения входной силы F A в точке A, расположенной вектором координат r A на стержне. Рычаг затем оказывает выходную силу F B в точке B , расположенном по г B . Вращение рычага вокруг оси P определяется углом поворота θ .

Это гравюра из журнала «Механика», опубликованного в Лондоне в 1824 году.

Пусть вектор координат точки P , определяющей точку опоры, равен r P , и введем длины

которые представляют собой расстояния от точки опоры до точки входа A и точки выхода B соответственно.

Теперь введем единичные векторы e A и e B от точки опоры до точек A и B , так что

Это обозначение позволяет нам определить скорость точек A и B как

где e A и e B - единичные векторы, перпендикулярные e A и e B , соответственно.

Угол θ является обобщенной координатой, которая определяет конфигурацию рычага, поэтому, используя приведенную выше формулу для сил, приложенных к механизму с одной степенью свободы, обобщенная сила определяется как

Теперь обозначим F A и F B компоненты сил, перпендикулярные радиальным сегментам PA и PB . Эти силы даны

Эти обозначения и принцип виртуальной работы дают формулу для обобщенной силы как

Отношение выходной силы F B к входной силе F A является механическим преимуществом рычага и получается из принципа виртуальной работы как

Это уравнение показывает, что если расстояние a от точки опоры до точки A, где приложена входная сила, больше, чем расстояние b от точки опоры до точки B, где приложена выходная сила, то рычаг усиливает входную силу. Если верно обратное, что расстояние от точки опоры до точки входа A меньше, чем от точки опоры до точки выхода B , то рычаг уменьшает величину входной силы.

Это закон рычага , который был доказан Архимедом с помощью геометрических рассуждений.

Зубчатая передача

Зубчатая передача образована установкой шестерен на раме так, чтобы зубья шестерен входили в зацепление. Зубья шестерни спроектированы таким образом, чтобы продольные круги зацепляющих шестерен катились друг по другу без проскальзывания, что обеспечивает плавную передачу вращения от одной шестерни к другой. Для этого анализа мы рассматриваем зубчатую передачу с одной степенью свободы, что означает, что угловое вращение всех шестерен в зубчатой ​​передаче определяется углом входной шестерни.

Иллюстрация из Тренинга армейского корпуса по механическому транспорту, (1911 г.), рис. 112. Передача движения и силы зубчатыми колесами, составной поезд.

Размер шестерен и последовательность, в которой они входят в зацепление, определяют отношение угловой скорости ω A входной шестерни к угловой скорости ω B выходной шестерни, известное как передаточное число или передаточное число зубчатой ​​передачи. . Пусть R будет передаточным числом, тогда

Входной крутящий момент T A действует на входной шестерни G A преобразуется зубчатой передачи в выходной крутящий момент T B , оказываемого выходной шестерни G B . Если предположить, что шестерни жесткие и нет потерь при зацеплении зубьев шестерни, то принцип виртуальной работы может быть использован для анализа статического равновесия зубчатой ​​передачи.

Пусть угол θ входной шестерни является обобщенной координатой зубчатой ​​передачи, тогда передаточное отношение R зубчатой ​​передачи определяет угловую скорость выходной шестерни в терминах входной шестерни, то есть

Приведенная выше формула для принципа виртуальной работы с приложенными крутящими моментами дает обобщенную силу

Механическое преимущество зубчатой передачи является отношение выходного крутящего момента T B к входным крутящим моментом T A , и выше , дает уравнение

Таким образом, передаточное число зубчатой ​​передачи также определяет ее механическое преимущество. Это показывает, что если входная шестерня вращается быстрее, чем выходная шестерня, то зубчатая передача усиливает входной крутящий момент. И если входная шестерня вращается медленнее, чем выходная шестерня, то зубчатая передача снижает входной крутящий момент.

Динамическое равновесие для твердых тел

Если принцип виртуальной работы приложенных сил применяется к отдельным частицам твердого тела , этот принцип можно обобщить для твердого тела: когда твердое тело, находящееся в равновесии, подвергается виртуально совместимым перемещениям, общая виртуальная работа всех внешние силы равны нулю; и наоборот, если полная виртуальная работа всех внешних сил, действующих на твердое тело, равна нулю, то тело находится в равновесии .

Если система не находится в статическом равновесии, Даламбер показал, что, вводя ускоряющие условия из законов Ньютона как силы инерции, этот подход обобщается для определения динамического равновесия. Результатом является форма принципа виртуальной работы Даламбера, который используется для вывода уравнений движения механической системы твердых тел.

Выражение совместимые смещения означает, что частицы остаются в контакте и смещаются вместе, так что работа, выполняемая парами межчастичных сил действие / противодействие, сводится на нет. Различные формы этого принципа приписываются Иоганну (Жану) Бернулли (1667–1748) и Даниэлю Бернулли (1700–1782).


Обобщенные силы инерции

Пусть механическая система построена из n твердых тел, B i , i = 1, ..., n, и пусть равнодействующая приложенных сил к каждому телу будет парами сила-момент, F i и T i , i = 1, ..., п. Обратите внимание, что эти приложенные силы не включают силы реакции в местах соединения тел. Наконец, предположим, что скорость V i и угловые скорости ω i , i =, 1 ..., n, для каждого твердого тела определены одной обобщенной координатой q. Говорят, что такая система твердых тел имеет одну степень свободы .

Рассмотрим одиночное твердое тело, которое движется под действием равнодействующей силы F и крутящего момента T , с одной степенью свободы, определяемой обобщенной координатой q. Предположим, что точкой отсчета для результирующей силы и крутящего момента является центр масс тела, тогда обобщенная сила инерции Q *, связанная с обобщенной координатой q, определяется выражением

Эту силу инерции можно вычислить из кинетической энергии твердого тела,

используя формулу

Система из n твердых тел с m обобщенными координатами имеет кинетическую энергию

которые можно использовать для вычисления m обобщенных сил инерции

Форма принципа виртуальной работы Даламбера

Форма принципа виртуальной работы Даламбера утверждает, что система твердых тел находится в динамическом равновесии, когда виртуальная работа суммы приложенных сил и сил инерции равна нулю для любого виртуального смещения системы. Таким образом, для динамического равновесия системы из n твердых тел с m обобщенными координатами требуется, чтобы

для любого набора виртуальных перемещений δq j . Это условие дает m уравнений,

который также можно записать как

Результатом является система m уравнений движения, которые определяют динамику системы твердого тела, известной как уравнения Лагранжа или обобщенные уравнения движения .

Если обобщенные силы Q j выводятся из потенциальной энергии V (q 1 , ..., q m ), то эти уравнения движения принимают вид

В этом случае введем лагранжиан L = TV, чтобы эти уравнения движения стали

Они известны как уравнения Эйлера-Лагранжа для системы с m степенями свободы или уравнения Лагранжа второго рода .

Принцип виртуальной работы деформируемого тела

Рассмотрим теперь свободную схему тела в виде деформируемого тела , которая состоит из бесконечного числа дифференциальных кубов. Определим два не связанных между собой состояния тела:

  • -Государственный: Это показывает внешние поверхностные силы Т , тело силы F , и внутренние напряжения в равновесии.
  • -Государственная: Это показывает непрерывные смещения и последовательные штаммы .

Верхний индекс * подчеркивает, что эти два состояния не связаны. Помимо вышеуказанных условий, нет необходимости указывать, является ли какое-либо из состояний реальным или виртуальным.

Теперь представьте, что силы и напряжения в -состоянии претерпевают смещения и деформации в -состоянии: мы можем вычислить общую виртуальную (воображаемую) работу, совершаемую всеми силами, действующими на грани всех кубов, двумя разными способами:

  • Во-первых, суммируя работу, проделанную силами, такими как те, которые действуют на отдельные общие грани (рис. C): поскольку материал испытывает совместимые смещения , такая работа сводится на нет, оставляя только виртуальную работу, выполняемую поверхностными силами T (которые равны к напряжениям на гранях кубов по равновесию).
  • Во-вторых, вычисляя чистую работу, выполняемую напряжениями или силами, такими как , которые действуют на отдельный куб, например, для одномерного случая на рис. (C):
где использовалось соотношение равновесия и пренебрегали членом второго порядка.
Интеграция по всему телу дает:
- Работа, выполняемая телесными силами f .

Приравнивание двух результатов приводит к принципу виртуальной работы деформируемого тела:

где общая внешняя виртуальная работа выполняется T и f . Таким образом,

Правую часть (d, e) часто называют внутренней виртуальной работой. Затем принцип виртуальной работы гласит: внешняя виртуальная работа равна внутренней виртуальной работе, когда уравновешенные силы и напряжения подвергаются несвязанным, но постоянным перемещениям и деформациям . Он включает принцип виртуальной работы для твердых тел как частный случай, когда внутренняя виртуальная работа равна нулю.

Доказательство эквивалентности принципа виртуальной работы уравнению равновесия

Начнем с рассмотрения общей работы, проделанной поверхностным натяжением тела, проходящего через указанную деформацию:

Применяя теорему о расходимости к правой части, получаем:

Теперь переключимся на условные обозначения для простоты вывода.

Чтобы продолжить наш вывод, подставим в уравнение равновесия . потом

Первый член в правой части необходимо разбить на симметричную и косую части следующим образом:

где - деформация, соответствующая заданному полю смещения. Второе и последнее равенство вытекает из того факта, что матрица напряжений является симметричной и что произведение матрицы перекоса и симметричной матрицы равно нулю.

А теперь резюмируем. С помощью вышеприведенного вывода мы показали, что

Переместите 2-й член в правой части уравнения влево:

Физическая интерпретация приведенного выше уравнения такова: внешняя виртуальная работа равна внутренней виртуальной работе, когда уравновешенные силы и напряжения претерпевают несвязанные, но согласованные смещения и деформации .

Для практического применения:

  • Чтобы наложить равновесие на реальные напряжения и силы, мы используем согласованные виртуальные смещения и деформации в уравнении виртуальной работы.
  • Чтобы наложить согласованные перемещения и деформации, мы используем уравновешенные виртуальные напряжения и силы в уравнении виртуальной работы.

Эти два общих сценария приводят к двум часто заявляемым вариационным принципам. Они действительны независимо от поведения материала.

Принцип виртуальных перемещений

В зависимости от цели мы можем специализировать уравнение виртуальной работы. Например, чтобы вывести принцип виртуальных перемещений в вариационных обозначениях опорных тел, мы указываем:

  • Виртуальные смещения и деформации как вариации реальных смещений и деформаций с использованием вариационных обозначений, таких как и
  • Виртуальные смещения равны нулю на той части поверхности, которая имеет заданные смещения, и, таким образом, работа, совершаемая реакциями, равна нулю. На работающую деталь остаются только внешние поверхностные силы .

Тогда уравнение виртуальной работы становится принципом виртуальных перемещений:

Это соотношение эквивалентно системе уравнений равновесия, записанных для дифференциального элемента в деформируемом теле, а также граничным условиям напряжений на части поверхности. И наоборот, (f) может быть достигнуто, хотя и нетривиальным образом, если начать с дифференциальных уравнений равновесия и граничных условий напряжения и действовать аналогично пунктам (a) и (b).

Поскольку виртуальные перемещения автоматически совместимы , если они выражены в терминах непрерывных , однозначных функций , мы часто упоминаем лишь о необходимости согласованности между деформациями и перемещениями. Принцип виртуальной работы также применим для больших реальных перемещений; однако уравнение (f) тогда будет записано с использованием более сложных мер напряжений и деформаций.

Принцип виртуальных сил

Здесь мы указываем:

  • Виртуальные силы и напряжения как вариации реальных сил и напряжений.
  • Виртуальные силы равны нулю на той части поверхности, которая имеет предписанные силы, и, таким образом, только поверхностные (противодействующие) силы на (где заданы смещения) будут работать.

Уравнение виртуальной работы становится принципом виртуальных сил:

Это соотношение эквивалентно системе уравнений совместимости деформаций, а также граничным условиям смещения на детали . У него есть другое название: принцип дополнительной виртуальной работы.

Альтернативные формы

Специализация принципа виртуальных сил - это метод единичной фиктивной силы , который очень полезен для вычисления перемещений в конструктивных системах. Согласно принципу Даламбера , включение инерционных сил в качестве дополнительных объемных сил даст уравнение виртуальной работы, применимое к динамическим системам. Более общие принципы могут быть получены следующим образом:

  • допускающие вариации всех количеств.
  • использование множителей Лагранжа для наложения граничных условий и / или ослабления условий, указанных в двух состояниях.

Они описаны в некоторых ссылках.

Среди многих энергетических принципов в строительной механике принцип виртуальной работы заслуживает особого места из-за его универсальности, которая приводит к мощным приложениям в структурном анализе , механике твердого тела и методе конечных элементов в строительной механике .

Смотрите также

использованная литература

внешние ссылки

Библиография

  • Бат, KJ "Процедуры конечных элементов", Prentice Hall, 1996. ISBN  0-13-301458-4
  • Чарльтон, TM Энергетические принципы в теории структур , Oxford University Press, 1973. ISBN  0-19-714102-1
  • Дим, К.Л. и И.Х. Шеймс, Механика твердого тела: вариационный подход , McGraw-Hill, 1973.
  • Гринвуд, Дональд Т. Классическая динамика , Dover Publications Inc., 1977, ISBN  0-486-69690-1
  • Ху, Х. Вариационные принципы теории упругости с приложениями , Тейлор и Фрэнсис, 1984. ISBN  0-677-31330-6
  • Лангхаар, Х.Л. Энергетические методы в прикладной механике , Кригер, 1989.
  • Редди, Дж. Н. Энергетические принципы и вариационные методы в прикладной механике , Джон Вили, 2002. ISBN  0-471-17985-X
  • Шеймс, И. Х. и Дим, К. Л. Методы энергии и конечных элементов в механике конструкций , Тейлор и Фрэнсис, 1995, ISBN  0-89116-942-3
  • Tauchert, TR Energy Principles in Structural Mechanics , McGraw-Hill, 1974. ISBN  0-07-062925-0
  • Васизу, К. Вариационные методы упругости и пластичности , Пергамонский пр., 1982. ISBN  0-08-026723-8
  • Вундерлих, В. Механика конструкций: вариационные и вычислительные методы , CRC, 2002. ISBN  0-8493-0700-7