Объем - Volume

Объем
Простая мерная чашка.jpg
Мерный стаканчик можно использовать для измерения объемов жидкостей . Эта чашка измеряет объем в стаканах , жидких унциях и миллилитрах .
Общие символы
V
Единица СИ Кубический метр3 ]
Прочие единицы
Литр , жидкая унция , галлон , кварта , пинты , чайная ложка , драма жидкости , в 3 , ярде 3 , бочка
В базовых единицах СИ м 3
Измерение L 3

Объем представляет собой количество из трехмерного пространства , заключенные в замкнутой поверхности . Например, пространство, которое занимает или содержит вещество ( твердое тело , жидкость , газ или плазма ) или трехмерная форма . Объем часто определяется численно с использованием производной единицы СИ - кубического метра . Под объемом контейнера обычно понимают вместимость контейнера; т.е. количество жидкости (газа или жидкости), которое может вместить контейнер, а не количество пространства, которое сам контейнер вытесняет. Трехмерным математическим формам также приписываются объемы. Объемы некоторых простых форм, таких как правильные, прямые и круглые, можно легко вычислить с помощью арифметических формул . Объемы сложных форм можно рассчитать с помощью интегрального исчисления, если существует формула для границы формы. Одномерные фигуры (например, линии ) и двухмерные фигуры (например, квадраты ) получают нулевой объем в трехмерном пространстве.

Объем твердого тела (правильной или неправильной формы) можно определить по вытеснению жидкости . Вытеснение жидкости также можно использовать для определения объема газа. Совокупный объем двух веществ обычно больше, чем объем только одного из веществ. Тем не менее, иногда один растворяет вещество в другой и в таких случаях комбинированного объема не является аддитивным .

В дифференциальной геометрии объем выражается через форму объема и является важным глобальным римановым инвариантом . В термодинамике объем является фундаментальным параметром и является переменной, сопряженной с давлением .

Единицы

Измерения объема из Справочника нового студента 1914 года .

Любая единица длины дает соответствующую единицу объема: объем куба , стороны которого имеют заданную длину. Например, кубический сантиметр (см 3 ) - это объем куба, длина сторон которого составляет один сантиметр (1 см).

В Международной системе единиц (СИ) стандартной единицей объема является кубический метр (м 3 ). Метрическая система также включает в себя литр (L) в качестве единицы объема, где один литр объем 10-сантиметрового куб. Таким образом

1 = (10 см) 3 = 1000 кубических сантиметров = 0,001 кубических метров,

так

1 кубометр = 1000 литров.

Небольшие количества жидкости часто измеряются в миллилитрах , где

1 миллилитр = 0,001 литра = 1 кубический сантиметр.

Таким же образом можно измерить большие количества в мегалитрах, где

1 миллион литров = 1000 кубометров = 1 мегалитр.

Также используются различные другие традиционные единицы объема, включая кубический дюйм , кубический фут , кубический ярд , кубическую милю , чайную ложку , столовую ложку , жидкую унцию , жидкий драм , жабры , пинту , кварту. , то галлон , то минит , то ствол , то шнур , то клюнет , то бушель , то хогсхед , то акр-фут и доска для ног . Все это единицы объема.

Связанные термины

В Оксфордском словаре английского языка вместимость определяется как «мера, применяемая к содержимому сосуда, а также к жидкостям, зерну и т.п., которые принимают форму того, что их удерживает». (Слово « емкость» имеет другие значения, не связанные, например, с управлением мощностью .) «Емкость» не тождественна по значению объему, хотя и тесно связана; вместимость контейнера всегда равна его внутреннему объему. Единицы измерения емкости - это литр СИ и его производные единицы, а также британские единицы, такие как жабры , пинта , галлон и другие. Единицы объема - это кубы единиц длины . В системе СИ единицы объема и вместимости тесно связаны: один литр равен 1 кубическому дециметру, вместимость куба со стороной 10 см. В других системах преобразование нетривиально; Емкость топливного бака транспортного средства редко указывается в кубических футах, например, в галлонах (британский галлон заполняет объем 0,1605 куб. фута).

Плотность объекта определяется как отношение массы к объему. Плотность, обратная плотности, - это удельный объем, который определяется как объем, деленный на массу. Удельный объем - это понятие, важное в термодинамике, где объем рабочего тела часто является важным параметром изучаемой системы.

Объемная скорость потока в динамике жидкости представляет собой объем жидкости , который проходит через заданную поверхность за единицу времени (например , кубических метров в секунду [м 3 с -1 ]).

Исчисление

В исчислении , разделе математики , объем области D в R 3 задается тройным интегралом постоянной функции по области и обычно записывается как:

В цилиндрических координатах объемный интеграл равен

В сферических координатах (с использованием соглашения об углах в качестве азимута и отсчитываемых от полярной оси; см. Дополнительные условные обозначения ), интеграл объема равен

Формулы

Форма Формула объема Переменные
Куб Wuerfel-1-tab.svg
Кубоид Quader-1-tab.svg
Призма

( B : площадь основания)

Призма-1-e.svg
Пирамида

( B : площадь основания)

Пирамида-46-e.svg
Параллелепипед

Параллелепипед-1-tab.svg
Правильный тетраэдр Tetraeder-1-tab.svg
Сфера Кугель-1-tab.svg
Эллипсоид Эллипсоид-1-tab.svg
Круглый цилиндр Зилиндер-1-таб.svg
Конус Кегель-1-tab.svg
Твердый тор Тор-1-tab.svg
Твердая революция Ваза-1-tab.svg
Твердое тело с непрерывной областью

его поперечных сечений
(пример: твердое тело Штейнмеца )

Для твердого тела революции выше:

Соотношения для конуса, сферы и цилиндра одинакового радиуса и высоты

Конус, сфера и цилиндр радиуса r и высоты h

Приведенные выше формулы можно использовать, чтобы показать, что объемы конуса , сферы и цилиндра одинакового радиуса и высоты находятся в соотношении 1: 2: 3 , как показано ниже.

Пусть радиус равен r, а высота равна h (что составляет 2 r для сферы), тогда объем конуса равен

объем шара

а объем цилиндра

Архимеду приписывают открытие отношения 2: 3 объемов сферы и цилиндра .

Вывод формул

Сфера

Объем сферы - это интеграл бесконечного числа бесконечно малых круглых дисков толщиной dx . Расчет объема сферы с центром 0 и радиусом r выполняется следующим образом.

Площадь круглого диска составляет .

Радиус круглых дисков, определяемый таким образом, что ось x проходит через них перпендикулярно, составляет

или

где y или z могут быть взяты для представления радиуса диска при определенном значении x.

Используя y в качестве радиуса диска, объем сферы можно рассчитать как

Теперь

Объединение урожайности

Эту формулу можно получить быстрее, используя формулу для площади поверхности сферы , которая равна . Объем сферы состоит из слоев бесконечно тонких сферических оболочек, а объем сферы равен

Конус

Конус представляет собой разновидность пирамидальной формы. Фундаментальное уравнение для пирамид, в три раза превышающее высоту основания, умноженную на высоту, применимо и к конусам.

Однако, используя математический анализ, объем конуса представляет собой интеграл бесконечного числа бесконечно тонких круглых дисков толщиной dx . Расчет объема конуса высотой h с центром в точке (0, 0, 0) с радиусом r выполняется следующим образом.

Радиус каждого кругового диска равен r, если x = 0, и 0, если x = h , и линейно изменяется между ними, то есть

Тогда площадь поверхности круглого диска равна

Тогда объем конуса можно рассчитать как

и после извлечения констант

Интеграция дает нам

Многогранник

Дифференциальная геометрия

В дифференциальной геометрии , разделе математики , форма объема на дифференцируемом многообразии - это дифференциальная форма высшей степени (т. Е. Степень которой равна размерности многообразия), которая нигде не равна нулю. Многообразие имеет форму объема тогда и только тогда, когда оно ориентируемо. Ориентируемое многообразие имеет бесконечно много форм объема, поскольку умножение формы объема на функцию, отличную от нуля, дает другую форму объема. На неориентируемых многообразиях вместо этого можно определить более слабое понятие плотности . Интегрирование формы объема дает объем коллектора в соответствии с этой формой.

Ориентированное псевдориманово многообразие имеет естественную форму объема. В местных координатах это можно выразить как

где are 1-формы, которые образуют положительно ориентированный базис кокасательного расслоения многообразия, и является определителем матричного представления метрического тензора на многообразии в терминах того же базиса.

Термодинамика

В термодинамике , то объем из системы является важным обширен параметром для описания его термодинамического состояния . Объемное удельное , интенсивное свойство , является громкость системы на единицу массы. Объем является функцией состояния и зависит от других термодинамических свойств, таких как давление и температура . Например, объем связан с давлением и температурой в качестве идеального газа по идеальному газу .

Вычисление

Задача численного вычисления объема объектов изучается в области вычислительной геометрии в информатике, исследуются эффективные алгоритмы для выполнения этого вычисления, приблизительно или точно , для различных типов объектов. Например, метод аппроксимации выпуклого объема показывает, как аппроксимировать объем любого выпуклого тела с помощью оракула членства .

Смотрите также

использованная литература

внешние ссылки