Номер Вудалла - Woodall number

В теории чисел число Вудалла ( W n ) - это любое натуральное число вида

для некоторого натурального числа n . Первые несколько чисел Вудалла:

1, 7, 23, 63, 159, 383, 895,… (последовательность A003261 в OEIS ).

История

Числа Вудолла были впервые изучены Алланом Дж. К. Каннингемом и Х. Дж. Вудаллом в 1917 году, вдохновленные более ранним исследованием Джеймса Каллена аналогичным образом определенных чисел Каллена .

Простые числа Вудалла

Нерешенная задача по математике :

Бесконечно много простых чисел Вудалла?

(больше нерешенных задач по математике)

Числа Вудалла, которые также являются простыми числами , называются простыми числами Вудалла ; первые несколько показателей степени n, для которых соответствующие числа Вудалла W n простые, равны 2, 3, 6, 30, 75, 81, 115, 123, 249, 362, 384,… (последовательность A002234 в OEIS ); сами простые числа Woodall начинаются с 7, 23, 383, 32212254719,… (последовательность A050918 в OEIS ).

В 1976 году Кристофер Хули показал, что почти все числа Каллена составны . В октябре 1995 года Уилфред Келлер опубликовал статью, в которой обсуждались несколько новых простых чисел Каллена и попытки разложить на множители другие числа Каллена и Вудалла. В этот документ включено личное сообщение Келлеру от Хироми Суямы , в котором утверждается, что метод Хули можно переформулировать, чтобы показать, что он работает для любой последовательности чисел n · 2 n + a + b , где a и b - целые числа , и в частности , что почти все числа Вудалла составные. Вопрос о том, существует ли бесконечно много простых чисел Вудалла, остается открытым . По состоянию на октябрь 2018 года, крупнейший известный Woodall премьер является 17016602 × 2 17016602  - 1. Он имеет 5,122,515 цифры и был найден Diego Бертолотти~d в марте 2018 года в распределенном вычислительном проекте PrimeGrid .

Ограничения

Начиная с W 4 = 63 и W 5 = 159, каждое шестое число Вудалла делится на 3; таким образом, чтобы W n было простым, индекс n не может быть сравним с 4 или 5 (по модулю 6). Кроме того, для положительного целого числа m число Вудалла W 2 m может быть простым, только если 2 m + m простое число. По состоянию на январь 2019 года единственными известными простыми числами, которые одновременно являются простыми числами Вудалла и Мерсенна, являются W 2 = M 3 = 7 и W 512 = M 521 .

Свойства делимости

Как и числа Каллена, числа Вудалла обладают многими свойствами делимости. Например, если p - простое число, то p делит

W ( p  + 1) / 2, если символ Якоби равен +1 и
W (3 p  - 1) / 2, если символ Якоби равен −1.

Обобщение

Обобщен Вудол счисления б определяется как число вида п × б п  - 1, где п  + 2>  б ; если в такой форме можно записать простое число, оно называется обобщенным простым числом Вудалла .

Наименьшее значение n такое, что n × b n - 1 простое для b = 1, 2, 3, ...

3, 2, 1, 1, 8, 1, 2, 1, 10, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 167, 2, 1, 12, 1, 2, 2, 29028, 1, 2, 3, 10, 2, 26850, 1, 8, 1, 42, 2, 6, 2, 24, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 140, 1, 2, 2, 22, 2, 8, 1, 2064, 2, 468, 6, 2, 1, 362, 1, 2, 2, 6, 3, 26, 1, 2, 3, 20, 1, 2, 1, 28, 2, 38, 5, 3024, 1, 2, 81, 858, 1, 2, 3, 2, 8, 60, 1, 2, 2, 10, 5, 2, 7, 182, 1, 17782, 3, ... (последовательность A240235 в OEIS )
б числа n такие, что n × b n - 1 простое (эти n проверены до 350000) Последовательность OEIS
1 3, 4, 6, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30, 32, 38, 42, 44, 48, 54, 60, 62, 68, 72, 74, 80, 84, 90, 98, 102, 104, 108, 110, 114, 128, 132, 138, 140, 150, 152, 158, 164, 168, 174, 180, 182, 192, 194, 198, 200, 212, 224, 228, 230, 234, 240, 242, 252, 258, 264, 270, 272, 278, 282, 284, 294, ... (все простые числа плюс 1) A008864
2 2, 3, 6, 30, 75, 81, 115, 123, 249, 362, 384, 462, 512, 751, 822, 5312, 7755, 9531, 12379, 15822, 18885, 22971, 23005, 98726, 143018, 151023, 667071, 1195203, 1268979, 1467763, 2013992, 2367906, 3752948, ... A002234
3 1, 2, 6, 10, 18, 40, 46, 86, 118, 170, 1172, 1698, 1810, 2268, 4338, 18362, 72662, 88392, 94110, 161538, 168660, 292340, 401208, 560750, 1035092, ... A006553
4 1, 2, 3, 5, 8, 14, 23, 63, 107, 132, 428, 530, 1137, 1973, 2000, 7064, 20747, 79574, 113570, 293912, ..., 1993191, ... A086661
5 8, 14, 42, 384, 564, 4256, 6368, 21132, 27180, 96584, 349656, 545082, ... A059676
6 1, 2, 3, 19, 20, 24, 34, 77, 107, 114, 122, 165, 530, 1999, 4359, 11842, 12059, 13802, 22855, 41679, 58185, 145359, 249987, ... A059675
7 2, 18, 68, 84, 3812, 14838, 51582, ... A242200
8 1, 2, 7, 12, 25, 44, 219, 252, 507, 1155, 2259, 2972, 4584, 12422, 13905, 75606, ... A242201
9 10, 58, 264, 1568, 4198, 24500, ... A242202
10 2, 3, 8, 11, 15, 39, 60, 72, 77, 117, 183, 252, 396, 1745, 2843, 4665, 5364, ... A059671
11 2, 8, 252, 1184, 1308, ... A299374
12 1, 6, 43, 175, 821, 910, 1157, 13748, 27032, 71761, 229918, ... A299375
13 2, 6, 563528, ... A299376
14 1, 3, 7, 98, 104, 128, 180, 834, 1633, 8000, 28538, 46605, 131941, 147684, 433734, ... A299377
15 2, 10, 14, 2312, 16718, 26906, 27512, 41260, 45432, 162454, 217606, ... A299378
16 167, 189, 639, ... A299379
17 2, 18, 20, 38, 68, 3122, 3488, 39500, ... A299380
18 1, 2, 6, 8, 10, 28, 30, 39, 45, 112, 348, 380, 458, 585, 17559, 38751, 43346, 46984, 92711, ... A299381
19 12, 410, 33890, 91850, 146478, 189620, 280524, ... A299382
20 1, 18, 44, 60, 80, 123, 429, 1166, 2065, 8774, 35340, 42968, 50312, 210129, ... A299383
21 год 2, 18, 200, 282, 294, 1174, 2492, 4348, ...
22 2, 5, 140, 158, 263, 795, 992, 341351, ...
23 29028, ...
24 1, 2, 5, 12, 124, 1483, 22075, 29673, 64593, ...
25 2, 68, 104, 450, ...
26 3, 8, 79, 132, 243, 373, 720, 1818, 11904, 134778, ...
27 10, 18, 20, 2420, 6638, 11368, 14040, 103444, ...
28 год 2, 5, 6, 12, 20, 47, 71, 624, 1149, 2399, 8048, 30650, 39161, ...
29 26850, 237438, 272970, ...
30 1, 63, 331, 366, 1461, 3493, 4002, 5940, 13572, 34992, 182461, 201038, ...

По состоянию на октябрь 2018 года наибольшее известное обобщенное простое число Вудалла с основанием b больше 1 составляет 17016602 × 2 17016602 - 1.

Смотрите также

использованная литература

дальнейшее чтение

внешние ссылки