Универсальность дзета-функции - Zeta function universality

Любая голоморфная функция f, отличная от нуля, определенная на полосе, может быть аппроксимирована ζ-функцией.

В математике , то универсальность из дзета - функция является замечательной способностью дзеты - функции Римана и других подобных функций (такими , как L-функций Дирихля ) для аппроксимации произвольных неисчезающих голоморфных функций сколь угодно хорошо.

Универсальность дзета-функции Римана была впервые доказана Сергеем Михайловичем Ворониным  [ ru ] в 1975 году и иногда известна как теорема универсальности Воронина .

Дзета-функция Римана на полосе 1/2 <Re ( s ) <1; 103 <Im ( s ) <109.

Официальное заявление

Математически точное утверждение универсальности дзета-функции Римана ζ ( s ) следует.

Пусть U - компактное подмножество полосы

${\ displaystyle \ {s \ in \ mathbb {C} \ mid 1/2 <{\ mbox {Re}} s <1 \}}$

таким образом, что дополнение в U будет подключен . Пусть F  : U → C быть непрерывная функция на U , которая голоморфна на внутренней части U и не имеет нулей в U . Тогда для любого ε > 0 существует t ≥ 0 такое, что

${\ displaystyle \ left | \ zeta (s + it) -f (s) \ right | <\ varepsilon}$

( 1 )

для всех . ${\ displaystyle s \ in U}$

Более того: меньшая плотность набора значений t, которые выполняют работу, положительна, что выражается следующим неравенством о пределе подчиненного .

${\ displaystyle 0 <\ liminf _ {T \ to \ infty} {\ frac {1} {T}} \, \ lambda \! \ left (\ left \ {t \ in [0, T] \; {\ bigg |} \; \ max _ {s \ in U} \ left | \ zeta (s + it) -f (s) \ right | <\ varepsilon \ right \} \ right),}$

где λ обозначает меру Лебега на действительных числах .

Обсуждение

Условие связности дополнения к U по существу означает, что U не содержит дыр.

Интуитивный смысл первого утверждения заключается в следующем: можно перемещать U некоторым вертикальным перемещением его так , что функция F на U аппроксимируется дзета функции на смещенной копии U , с точностью е.

Функция F не может иметь нулей на U . Это важное ограничение; если вы начнете с голоморфной функции с изолированным нулем, то любая «близкая» голоморфная функция также будет иметь нуль. Согласно гипотезе Римана, дзета-функция Римана не имеет нулей в рассматриваемой полосе, поэтому она не может аппроксимировать такую ​​функцию. Функция f ( s ) = 0, которая тождественно равна нулю на U, может быть аппроксимирована ζ : мы можем сначала выбрать «ближайшую» функцию g ( s ) = ε / 2 (которая голоморфна и не имеет нулей) и найти вертикальное смещение, такое, что ζ приближает g с точностью ε / 2 и, следовательно, f с точностью ε .

На прилагаемом рисунке показана дзета-функция на репрезентативной части соответствующей полосы. Цвет точки s кодирует значение ζ ( s ) следующим образом: оттенок представляет аргумент ζ ( s ), где красный означает положительные действительные значения, а затем против часовой стрелки через желтый, зеленый, голубой, синий и фиолетовый. Яркие цвета обозначают значения, близкие к 0 (черный = 0), слабые цвета обозначают значения, далекие от 0 (белый = ∞). На рисунке показаны три нуля дзета-функции примерно при 1/2 + 103,7 i , 1/2 + 105,5 i и 1/2 + 107,2 i . Теорема Воронина по существу утверждает, что эта полоса содержит все возможные «аналитические» цветовые узоры, в которых не используются черный или белый.

Грубый смысл постановки на более низкой плотности заключается в следующем: если функция F и ε > 0 дается, существует положительная вероятность того, что случайно выбрал вертикальное смещение , что даст приближение F с точностью е .

Внутренняя часть U может быть пустой, и в этом случае не требуется, чтобы f была голоморфна. Например, если мы возьмем U за отрезок прямой, то непрерывная функция f  : U → C будет не чем иным, как кривой на комплексной плоскости, и мы увидим, что дзета-функция кодирует каждую возможную кривую (т. Е. Любую фигуру, которая может рисовать, не поднимая карандаша) с произвольной точностью на рассматриваемой полосе.

Сформулированная теорема применима только к областям U , которые содержатся в полосе. Однако, если мы разрешаем переводы и масштабирование, мы также можем найти закодированные в дзета-функциях приближенные версии всех ненулевых голоморфных функций, определенных в других областях. В частности, поскольку сама дзета-функция является голоморфной, ее версии закодированы в ней в разных масштабах, что является отличительной чертой фрактала .

Удивительный характер теоремы можно резюмировать следующим образом: дзета-функция Римана содержит в себе «все возможные варианты поведения» и, таким образом, в определенном смысле «хаотична», однако это совершенно гладкая аналитическая функция с довольно простой и понятной определение.

Доказательство эскиза

Набросок доказательства, представленного в (Воронин, Карацуба, 1992), следует ниже. Мы рассматриваем только случай, когда U - диск с центром в 3/4:

${\ Displaystyle U = \ {s \ in \ mathbb {C}: | s-3/4 | <r \} \ quad {\ mbox {with}} \ quad 0 <r <1/4}$

и мы будем утверждать, что любая ненулевая голоморфная функция, определенная на U, может быть аппроксимирована ζ -функцией на вертикальном переносе этого множества.

Переходя к логарифму , достаточно показать, что для любой голоморфной функции g  : U → C и любого ε > 0 существует вещественное число t такое, что

${\ displaystyle \ left | \ ln \ zeta (s + it) -g (s) \ right | <\ varepsilon \ quad {\ text {для всех}} \ quad s \ in U.}$

Сначала мы аппроксимируем g ( s ) логарифмом некоторых конечных произведений, напоминающих произведение Эйлера для ζ -функции:

${\ displaystyle \ zeta (s) = \ prod _ {p \ in \ mathbb {P}} \ left (1 - {\ frac {1} {p ^ {s}}} \ right) ^ {- 1}, }$

где P обозначает множество всех простых чисел.

Если - последовательность действительных чисел, по одному на каждое простое число p , и M - конечный набор простых чисел, мы полагаем ${\ Displaystyle \ theta = (\ theta _ {p}) _ {p \ in \ mathbb {P}}}$

${\ displaystyle \ zeta _ {M} (s, \ theta) = \ prod _ {p \ in M} \ left (1 - {\ frac {e ^ {- 2 \ pi i \ theta _ {p}}}) {p ^ {s}}} \ right) ^ {- 1}.}$

Рассмотрим конкретную последовательность

${\ displaystyle {\ hat {\ theta}} = \ left ({\ frac {1} {4}}, {\ frac {2} {4}}, {\ frac {3} {4}}, {\ frac {4} {4}}, {\ frac {5} {4}}, \ ldots \ right)}$

и утверждают, что g ( s ) можно аппроксимировать функцией вида для подходящего набора M простых чисел. Доказательство этого утверждения использует пространство Бергмана , ошибочно названное пространством Харди в (Воронин и Карацуба, 1992), в H голоморфных функций, определенных на U , гильбертовом пространстве . Мы установили ${\ displaystyle \ ln (\ zeta _ {M} (s, {\ hat {\ theta}}))}$

${\ displaystyle u_ {k} (s) = \ ln \ left (1 - {\ frac {e ^ {- \ pi ik / 2}} {p_ {k} ^ {s}}} \ right)}$

где p _k обозначает k-е простое число. Затем можно показать, что серия

${\ Displaystyle \ сумма _ {к = 1} ^ {\ infty} и_ {к}}$

является условно сходящимся в H , то есть для каждого элемента V из H существует перестановка ряда , которая сходится в H к V . Этот аргумент использует теорему, которая обобщает теорему о рядах Римана на случай гильбертова пространства. Из-за связи между нормой в H и максимальным абсолютным значением функции, мы можем затем аппроксимировать нашу заданную функцию g ( s ) с начальным сегментом этого переставленного ряда, как требуется.

По версии теоремы Кронекера , примененной к действительным числам (которые линейно независимы от рациональных чисел), мы можем найти действительные значения t, которые аппроксимируются с помощью . Кроме того, для некоторых из этих значений т , приблизительно , завершая доказательство. ${\ displaystyle {\ frac {\ ln 2} {2 \ pi}}, {\ frac {\ ln 3} {2 \ pi}}, {\ frac {\ ln 5} {2 \ pi}}, \ ldots , {\ frac {\ ln p_ {N}} {2 \ pi}}}$${\ displaystyle \ ln (\ zeta _ {M} (s, {\ hat {\ theta}}))}$${\ displaystyle \ ln (\ zeta _ {M} (s + it, 0))}$${\ displaystyle \ ln (\ zeta _ {M} (s + it, 0))}$${\ displaystyle \ ln (\ zeta (s + it))}$

Теорема сформулирована без доказательства в § 11.11 (Titchmarsh and Heath-Brown, 1986), второго издания монографии Титчмарша 1951 года; и более слабый результат дан в теор. 11.9. Хотя теорема Воронина там не доказана, из нее выводятся два следствия:

1) Позвольте     быть фиксированным. Тогда кривая ${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {2}} <\ sigma <1}$

${\ Displaystyle \ гамма (T) = (\ zeta (\ sigma + it), \ zeta '(\ sigma + it), \ dots, \ zeta ^ {(n-1)} (\ sigma + it))}$

плотно в ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}.}$

2) Позвольте     быть любой непрерывной функцией, и пусть     быть действительными константами.${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle h_ {1}, h_ {2}, \ dots, h_ {n}}$

Тогда не может удовлетворять дифференциально-разностное уравнение ${\ displaystyle \ zeta (s)}$

${\ Displaystyle \ Phi \ {\ zeta (s + h_ {1}), \ zeta '(s + h_ {1}), \ dots, \ zeta ^ {(n_ {1})} (s + h_ {1) }), \ zeta (s + h_ {2}), \ zeta '(s + h_ {2}), \ dots, \ zeta ^ {(n_ {2})} (s + h_ {2}), \ точки \} = 0}$

если не     исчезает одинаково.${\ displaystyle \ Phi}$

Эффективная универсальность

Некоторые недавние работы были сосредоточены на эффективной универсальности. При условиях, изложенных в начале статьи, существуют значения t , удовлетворяющие неравенству (1). Эффективная теорема универсальности устанавливает верхнюю границу для наименьшего такого т .

Например, в 2003 году Гарунштис доказал, что если аналитическое в с , то для любого ε в существует такое число в , что ${\ displaystyle f (s)}$${\ displaystyle | s | \ leq .05}$${\ displaystyle \ max _ {\ left | s \ right | \ leq .05} \ left | f (s) \ right | \ leq 1}$${\ displaystyle 0 <\ epsilon <1/2}$${\ displaystyle t}$${\ Displaystyle 0 \ Leq T \ Leq \ ехр ({\ ехр ({10 / \ эпсилон ^ {13}})})}$

${\ displaystyle \ max _ {\ left | s \ right | \ leq .0001} \ left | \ log \ zeta (s + {\ frac {3} {4}} + it) -f (s) \ right | < \ epsilon}$.

Например, если , то оценка t равна . ${\ displaystyle \ epsilon = 1/10}$${\ Displaystyle т \ Leq \ ехр ({\ ехр ({10 / \ эпсилон ^ {13}})}) = \ ехр ({\ ехр ({10 ^ {14}})})}$

Также могут быть получены оценки меры этих значений t в терминах ε:

${\ displaystyle \ liminf _ {T \ to \ infty} {\ frac {1} {T}} \, \ lambda \! \ left (\ left \ {t \ in [0, T]: \ max _ {\ left | s \ right | \ leq .0001} \ left | \ log \ zeta (s + {\ frac {3} {4}} + it) -f (s) \ right | <\ epsilon \ right \} \ right ) \ geq {\ frac {1} {\ exp ({\ epsilon ^ {- 13}})}}}$.

Например, если , то правая часть равна . Видеть. ${\ displaystyle \ epsilon = 1/10}$${\ Displaystyle 1 / \ ехр ({10 ^ {13}})}$

Универсальность других дзета-функций

Была проделана работа, показывающая, что универсальность распространяется на дзета-функции Сельберга .

В L-функции Дирихле показывают не только универсальность, но определенный вид совместной универсальности , которые позволяют любой набор функций , которые будут аппроксимировать ту же величину (ы) т в различных L - функций, где каждая функция , чтобы быть аппроксимирована в паре с другая L- функция.

Аналогичное свойство универсальности было показано для дзета-функции Лерха , по крайней мере, когда параметр α является трансцендентным числом . Также было показано, что участки дзета-функции Лерха имеют форму совместной универсальности. ${\ Displaystyle L (\ лямбда, \ альфа, s)}$

использованная литература

дальнейшее чтение

• Карацуба, Анатолий А .; Воронин, С.М. (2011). Дзета-функция Римана . выставки де Грюйтера по математике. Берлин: де Грюйтер. ISBN 978-3110131703.
• Лауринчикас, Антанас (1996). Предельные теоремы для дзета-функции Римана . Математика и ее приложения. 352 . Берлин: Springer. DOI : 10.1007 / 978-94-017-2091-5 . ISBN 978-90-481-4647-5.
• Штойдинг, Йорн (2007). Распределение значений L-функций . Конспект лекций по математике. 1877 . Берлин: Springer. п. 19 . arXiv : 1711.06671 . DOI : 10.1007 / 978-3-540-44822-8 . ISBN 978-3-540-26526-9.
• Титчмарш, Эдвард Чарльз; Хит-Браун, Дэвид Родни («Роджер») (1986). Теория дзета-функции Римана (2-е изд.). Оксфорд: Oxford UP ISBN 0-19-853369-1.

внешние ссылки

• Теорема Воронина об универсальности Мэтью Р. Уоткинса
• Рентгеновский снимок дзета-функции Визуально ориентированное исследование того, где дзета является реальной или чисто воображаемой. Дает некоторое представление о том, насколько это сложно в критической полосе.