Гиперболическое метрическое пространство - Hyperbolic metric space

В математике гиперболическое метрическое пространство - это метрическое пространство, удовлетворяющее определенным метрическим соотношениям (количественно зависящим от неотрицательного действительного числа δ) между точками. Определение, введенное Михаилом Громовым , обобщает метрические свойства классической гиперболической геометрии и деревьев . Гиперболичность - это крупномасштабное свойство, которое очень полезно для изучения некоторых бесконечных групп, называемых гиперболическими группами Громова .

Определения

В этом абзаце мы даем различные определения -гиперболического пространства. Метрическое пространство называется (по Громову) гиперболическим, если оно является -гиперболическим для некоторых . ${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle \ delta> 0}$

Определение с использованием произведения Громова

Позвольте быть метрическое пространство . Продукт Громова из двух точек по отношению к третьему определяется по формуле: ${\ displaystyle (X, d)}$${\ displaystyle y, z \ in X}$${\ displaystyle x \ in X}$

${\ displaystyle (y, z) _ {x} = {\ frac {1} {2}} \ left (d (x, y) + d (x, z) -d (y, z) \ right). }$

Громов определяет гиперболическое метрическое пространство следующим образом: является -гиперболическим тогда и только тогда, когда все они удовлетворяют четырехточечному условию${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle x, y, z, w \ in X}$

${\ displaystyle (x, z) _ {w} \ geq \ min \ left ((x, y) _ {w}, (y, z) _ {w} \ right) - \ delta}$

Обратите внимание, что если это условие выполняется для всех и одной фиксированной базовой точки , то оно выполняется для всех с константой . Таким образом, условие гиперболичности нужно проверять только для одной фиксированной базовой точки; по этой причине индекс базовой точки в произведении Громова часто опускается. ${\ displaystyle x, y, z \ in X}$${\ displaystyle w_ {0}}$${\ displaystyle 2 \ delta}$

Определения с использованием треугольников

Вплоть до замены на постоянное кратное существует эквивалентное геометрическое определение, включающее треугольники, когда метрическое пространство является геодезическим , то есть любые две точки являются конечными точками геодезического сегмента (изометрического изображения компактного подынтервала вещественных чисел). Обратите внимание, что определение с помощью произведений Громова не требует, чтобы пространство было геодезическим. ${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x, y \ in X}$${\ Displaystyle [х, у]}$${\ Displaystyle [а, б]}$

Пусть . Геодезический треугольник с вершинами является объединением трех геодезических отрезков (где обозначает сегмент с конечными точками и ). ${\ displaystyle x, y, z \ in X}$${\ displaystyle x, y, z}$${\ Displaystyle [х, y], [y, z], [z, x]}$${\ displaystyle [p, q]}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$

Если для любой точки существует точка на расстоянии менее чем из , а так же для точек на других кромках, а затем треугольник называется -slim . ${\ Displaystyle м \ в [х, у]}$${\ Displaystyle [y, z] \ чашка [z, x]}$${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle \ delta \ geq 0}$${\ displaystyle \ delta}$

Тогда определение -гиперболическое пространство - это геодезическое метрическое пространство, все геодезические треугольники которого являются -тонкими. Это определение обычно приписывают Элияху Рипсу . ${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle \ delta}$

Другое определение может быть дано с использованием понятия -приближенного центра геодезического треугольника: это точка, которая находится на расстоянии не более чем от любого края треугольника («приблизительная» версия центра ). Пространство называется -гиперболическим, если каждый геодезический треугольник имеет -центр. ${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle \ delta}$

Эти два определения -гиперболического пространства с использованием геодезических треугольников не совсем эквивалентны, но существует такое, что -гиперболическое пространство в первом смысле является -гиперболическим во втором, и наоборот. Таким образом, понятие гиперболического пространства не зависит от выбранного определения. ${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle k> 1}$${\ displaystyle \ delta}$${\ Displaystyle к \ cdot \ delta}$

Примеры

Гиперболическая плоскость является гиперболической: на самом деле вписанной геодезическим треугольником окружность наибольшего диаметра , содержащейся в треугольнике и каждый геодезическом треугольник лежит внутри идеального треугольника, все из которых являются изометрическими с окружностями , вписанным диаметр 2 бревна 3. Отметим, что в этом случае произведение Громова также имеет простую интерпретацию в терминах вписанной окружности геодезического треугольника. Фактически величина ( A , B ) _C - это просто гиперболическое расстояние p от C до любой из точек соприкосновения вписанной окружности со смежными сторонами: ибо из диаграммы c = ( a - p ) + ( b - p ) , так что р = ( + б - гр ) / 2 = ( , В ) _С .

Евклидова плоскость не является гиперболической, например , из - за существования гомотетий .

Два «вырожденных» примера гиперболических пространств - это пространства с ограниченным диаметром (например, конечные или компактные пространства) и вещественная прямая.

Метрические деревья и вообще реальные деревья являются простейшими интересными примерами гиперболических пространств, поскольку они являются 0-гиперболическими (т.е. все треугольники являются треногами).

1-скелет триангуляции евклидовыми равносторонними треугольниками не является гиперболическим (фактически он квазиизометричен евклидовой плоскости). Триангуляция плоскости имеет гиперболический 1-остов, если каждая вершина имеет степень 7 или более. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

Двумерная сетка не является гиперболической (она квазиизометрична евклидовой плоскости). Это граф Кэли из фундаментальной группы из тора ; графы Кэли фундаментальных групп поверхности высшего рода гиперболичны (фактически, они квазиизометричны гиперболической плоскости).

Гиперболичность и кривизна

Гиперболическая плоскость (и в более общем случае любое Адамара многообразие из секционной кривизны ) является -hyperbolic. Если мы масштабируем риманову метрику в раз, то расстояния умножаются на, и, таким образом, мы получаем пространство, которое является -гиперболическим. Поскольку кривизна умножается на, мы видим, что в этом примере «чем больше (отрицательно) искривлено пространство, тем оно более гиперболично (измеряется его константой гиперболичности )». ${\ displaystyle \ leq -1}$${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle \ lambda> 0}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ lambda \ cdot \ delta}$${\ displaystyle \ lambda ^ {- 1}}$${\ displaystyle \ delta}$

Подобные примеры - пространства CAT отрицательной кривизны. Что касается кривизны и гиперболичности, следует отметить, однако, что, хотя кривизна является свойством, которое по существу является локальным, гиперболичность - это крупномасштабное свойство, которое не видит локальных (то есть происходящих в ограниченной области) метрических явлений. Например, объединение гиперболического пространства с компактным пространством с любой метрикой, продолжающей исходные, остается гиперболическим.

Важные свойства

Инвариантность относительно квазиизометрии

Один из способов уточнить значение термина «крупный масштаб» - потребовать инвариантности относительно квазиизометрии . Это верно в отношении гиперболичности.

Если геодезическое метрическое пространство является квазиизометрично в -hyperbolic пространства , то существует такими , что является -hyperbolic.${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ delta '}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle \ delta '}$

Константа зависит от мультипликативных и аддитивных констант квазиизометрии и от них. ${\ displaystyle \ delta '}$${\ displaystyle \ delta}$

Приближенные деревья в гиперболических пространствах

Определение гиперболического пространства в терминах произведения Громова можно рассматривать как утверждение, что метрические отношения между любыми четырьмя точками такие же, как и в дереве, с точностью до аддитивной константы . В более общем плане следующее свойство показывает, что любое конечное подмножество гиперболического пространства выглядит как конечное дерево. ${\ displaystyle \ delta}$

Для любого существует такая константа , что выполняется следующее: если - точки в -гиперболическом пространстве, существует конечное дерево и вложение такие, что для всех и${\ displaystyle n, \ delta}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {n}}$${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle f: T \ to X}$${\ displaystyle x_ {i} \ in f (T)}$${\ Displaystyle я = 1, \ ldots, п}$

${\ displaystyle \ forall i, j: d (f ^ {- 1} (x_ {i}), f ^ {- 1} (x_ {j})) \ leq d (x_ {i}, x_ {j}) ) \ leq d (f ^ {- 1} (x_ {i}), f ^ {- 1} (x_ {j})) + C}$

Константа может быть взята с , и это является оптимальным. ${\ displaystyle C}$${\ Displaystyle \ дельта \ CDOT ч (п)}$${\ Displaystyle ч (п) = О (\ журнал п)}$

Экспоненциальный рост расстояний и изопериметрических неравенств

В гиперболическом пространстве мы обладаем следующим свойством: ${\ displaystyle X}$

Есть такие , что для всех с , каждый путь присоединения к и оставаясь на расстоянии , по крайней мере из имеет длину , по меньшей мере .${\ displaystyle \ mu, K> 0}$${\ displaystyle p, x, y \ in X}$${\ Displaystyle d (p, x) = d (p, y) =: r}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle e ^ {\ mu \ cdot d (x, y)} - K}$

Неформально это означает, что длина окружности «круга» радиуса растет экспоненциально с . Это напоминает изопериметрическую задачу на евклидовой плоскости . Вот более конкретное заявление на этот счет. ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle r}$

Предположим, что это клеточный комплекс размерности 2 такой, что его 1-скелет гиперболический, и существует такой, что граница любой 2-клетки содержит не более 1-клеток. Тогда существует такая константа , что для любого конечного подкомплекса имеем${\ displaystyle X}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle \ lambda> 0}$${\ Displaystyle Y \ подмножество X}$

${\ displaystyle \ operatorname {area} (Y) \ leq \ lambda \ cdot \ operatorname {length (\ partial Y)}}$

Здесь площадь 2-комплекса - это количество 2-ячеек, а длина 1-комплекса - это количество 1-ячеек. Приведенное выше утверждение является линейным изопериметрическим неравенством  ; оказывается, что наличие такого изопериметрического неравенства характеризует Громов-гиперболические пространства. Линейные изопериметрические неравенства были вдохновлены условиями малого сокращения из комбинаторной теории групп .

Квазивыпуклые подпространства

Подпространство геодезического метрического пространства называется квазивыпуклым , если существует постоянная такие , что любое геодезический в между двумя точками остается в пределах расстояния от . ${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle Y}$

Квазивыпуклое подпространство гиперболического пространства гиперболично.

Асимптотические конусы

Все асимптотические конусы гиперболического пространства - вещественные деревья . Это свойство характеризует гиперболические пространства.

Граница гиперболического пространства

Обобщая конструкцию концов симплициального дерева, существует естественное понятие границы на бесконечности для гиперболических пространств, которое оказалось очень полезным для анализа действий групп.

В этом абзаце находится геодезическое метрическое пространство, которое является гиперболическим. ${\ displaystyle X}$

Определение с использованием произведения Громова

Говорят, что последовательность сходится к бесконечности, если для некоторой (или любой) точки мы имеем это как обе, и стремимся к бесконечности. Две сходящиеся к бесконечности последовательности считаются эквивалентными, когда (для некоторых или любых ). Граница из есть множество классов эквивалентности последовательностей , которые сходятся к бесконечности, который обозначается . ${\ displaystyle (x_ {n}) \ in X ^ {\ mathbb {N}}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle (x_ {n}, x_ {m}) _ {p} \ rightarrow \ infty}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle m}$${\ Displaystyle (х_ {п}), (у_ {п})}$${\ Displaystyle \ lim _ {п \ к + \ infty} (x_ {n}, y_ {n}) _ {p} = + \ infty}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ partial X}$

Если на границе две точки, то их произведение Громова определяется как: ${\ displaystyle \ xi, \ eta}$

${\ Displaystyle (\ xi, \ eta) _ {p} = \ sup _ {(x_ {n}) = \ xi, (y_ {n}) = \ eta} \ left (\ liminf _ {n, m \ to + \ infty} (x_ {n}, y_ {m}) _ {p} \ right)}$

которая конечна тогда и только тогда . Затем можно определить топологию использования функций . Эта топология является метризуемой, и существует особое семейство метрик, определяемых с помощью произведения Громова. ${\ displaystyle \ xi \ neq \ eta}$${\ displaystyle \ partial X}$${\ Displaystyle (\ cdot, \ xi)}$${\ displaystyle \ partial X}$

Определение собственных пространств с использованием лучей

Пусть будет два квазиизометрических вложения из в ( «квази-геодезических лучи»). Они считаются эквивалентными тогда и только тогда, когда функция ограничена на . Если пространство собственное, то множество всех таких вложений по модулю эквивалентности с его естественной топологией гомеоморфно определенному выше. ${\ displaystyle \ alpha, \ beta}$${\ displaystyle [0, + \ infty [}]$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle т \ mapsto d (\ альфа (т), \ бета (т))}$${\ displaystyle [0, + \ infty [}]$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ partial X}$

Аналогичная реализация состоит в том, чтобы зафиксировать базовую точку и рассматривать только квазигеодезические лучи, исходящие из этой точки. В случае геодезических и собственных лучей можно также ограничиться настоящими геодезическими лучами. ${\ displaystyle X}$

Примеры

Когда это симплициальное правильное дерево, граница - это просто пространство концов, которое является канторовым множеством. Фиксация точки дает естественное расстояние : две точки, представленные лучами, исходящими из, находятся на расстоянии . ${\ Displaystyle X = T}$${\ displaystyle x \ in T}$${\ displaystyle \ partial T}$${\ displaystyle \ alpha, \ beta}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ exp (- \ operatorname {Length} (\ alpha \ cap \ beta))}$

Когда - единичный круг, т. Е. Модель диска Пуанкаре для гиперболической плоскости, гиперболическая метрика на диске равна ${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle ds ^ {2} = {4 | dz | ^ {2} \ over (1- | z | ^ {2}) ^ {2}}}$

а границу Громова можно отождествить с единичной окружностью.

Граница -мерного гиперболического пространства гомеоморфна -мерной сфере, а метрика аналогична указанной выше. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n-1}$

Функции Буземана

Если собственно, то его граница гомеоморфна пространству функций Буземана по модулю сдвигов. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

Действие изометрий на границе и их классификация

Квазиизометрия между двумя гиперболическими пространствами индуцирует гомеоморфизм между границами. ${\ displaystyle X, Y}$

В частности, группа изометрий полигонов гомеоморфизмами на . Это действие можно использовать для классификации изометрий в соответствии с их динамическим поведением на границе, обобщая это действие для деревьев и классических гиперболических пространств. Позвольте быть изометрией , тогда имеет место один из следующих случаев: ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ partial X}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle X}$

• Первый случай: имеет ограниченную орбиту на (в надлежащем случае это означает, что имеет неподвижную точку в ). Тогда это называется эллиптической изометрией.${\ displaystyle g}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle X}$
• Второй случай: имеет ровно две неподвижные точки на и каждая положительная орбита накапливается только . Тогда это называется гиперболической изометрией.${\ displaystyle g}$${\ Displaystyle \ xi _ {+}, \ xi _ {-}}$${\ displaystyle \ partial X}$${\ displaystyle \ {g ^ {n} \ xi: n \ geq 0 \}, \ xi \ not = \ xi _ {-}}$${\ displaystyle \ xi _ {+}}$${\ displaystyle g}$
• Третий случай: имеет ровно одну фиксированную точку на границе, и все орбиты накапливаются в этой точке. Тогда это называется параболической изометрией.${\ displaystyle g}$

Еще примеры

Подмножества теории гиперболических групп могут быть использованы , чтобы дать больше примеров гиперболических пространствах, например , в граф Кэли о наличии небольшой отмены группы . Также известно, что графы Кэли некоторых моделей случайных групп (которые, по сути, представляют собой бесконечные регулярные графы, генерируемые случайным образом) очень часто имеют тенденцию быть гиперболическими.

Доказать, что некоторые пространства гиперболичны, может быть сложно и интересно. Например, следующие результаты гиперболичности привели к открытию новых явлений для групп, действующих на них.

• Гиперболичность комплекса кривых привела к новым результатам о группе классов отображений.
• Точно так же гиперболичность некоторых графов, связанных с группой внешних автоморфизмов Out (Fn) , привела к новым результатам об этой группе.

Смотрите также

• Группа с отрицательным изгибом
• Идеальный треугольник

Примечания

использованная литература

• Боудич, Брайан (2006), Курс геометрической теории групп (PDF) , Матем. соц. Япония
• Bridson, Martin R .; Хефлигер, Андре (1999), Метрические пространства неположительной кривизны , Springer
• Coornaert, M .; Delzant, T .; Пападопулос А. (1990), Géométrie et théorie des groupes. Les groupes hyperboliques de Gromov , Lecture Notes in Mathematics (на французском языке), 1441 , Springer-Verlag, ISBN 3-540-52977-2
• де ла Харп, Пьер; Гиз, Этьен (1990), Sur les groupes hyperboliques d'après Михаэль Громов (на французском языке), Birkhäuser
• Громов, Михаэль (1987), "Гиперболические группы", в Герстене, С.М. (ред.), Очерки теории групп , Springer, стр. 75–264.
• Роу, Джон (2003), Лекции по грубой геометрии , Серия лекций в университете, 31 , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-3332-2
• Вайсалы, Юсси (2005), "Громова гиперболических пространств", Expositiones Mathematicae , 23 (3): 187-231, DOI : 10.1016 / j.exmath.2005.01.010 , МР  2164775.