Комплексное умножение абелевых многообразий - Complex multiplication of abelian varieties
В математике , абелево многообразие , определенная над полем К , как говорят, СМ-типа , если он имеет достаточно большое коммутативное подкольцо в его эндоморфизм кольца End ( A ). Терминология здесь взята из сложной теории умножения , которая была разработана для эллиптических кривых в девятнадцатом веке. Одним из важнейших достижений алгебраической теории чисел и алгебраической геометрии двадцатого века было нахождение правильных формулировок соответствующей теории для абелевых многообразий размерности d > 1. Проблема находится на более глубоком уровне абстракции, потому что она намного сложнее манипулировать аналитические функции от нескольких комплексных переменных .
Формальное определение таково:
тензорное произведение из End ( A ) с рациональным числами поля Q , должно содержать коммутативное подкольцо размерности 2 г над Q . Когда d = 1, это может быть только квадратичное поле , и восстанавливаются случаи, когда End ( A ) является порядком в мнимом квадратичном поле . Для г > 1 существует аналогичные случаи для СМ-полей , комплексных квадратичных расширений от вполне вещественных полей . Есть и другие случаи, которые отражают, что A может не быть простым абелевым многообразием (например, это может быть декартово произведение эллиптических кривых). Другое название абелевых многообразий CM-типа - абелевы многообразия с достаточно большим числом комплексных умножений .
Известно, что если K - комплексные числа, то любое такое A имеет поле определения, которое на самом деле является числовым полем . Возможные типы колец эндоморфизмов были классифицированы как кольца с инволюцией ( инволюция Розати ), что привело к классификации абелевых многообразий CM-типа. Для построения таких многообразий в том же стиле, что и для эллиптических кривых, начиная с решетки Λ в C d , необходимо учитывать римановы соотношения теории абелевых многообразий.
СМ-тип представляет собой описание действия (максимальный) коммутативного подкольцо L Конца Q ( A ) на голоморфное касательное пространстве из А на элементе идентичности . Применяется простая спектральная теория , чтобы показать, что L действует через базис из собственных векторов ; другими словами , L имеет действие, которое с помощью диагональных матриц на голоморфных векторных полей на A . В простом случае, когда L является само поле число , а не произведение некоторого числа полей СМ-типа является то список комплексных вложений в L . Таких 2 d , встречающихся в комплексно сопряженных парах; Тип CM - это выбор одного из каждой пары. Известно, что все такие возможные CM-типы могут быть реализованы.
Основные результаты Горо Шимуры и Ютаки Таниямы вычисляют L-функцию Хассе – Вейля для A в терминах CM-типа и L-функцию Гекке с характером Гекке , имеющую бесконечный тип, полученный из нее. Они обобщают результаты Макса Дойринга для случая эллиптической кривой.
Ссылки
- Ланг, Серж (1983), Комплексное умножение , Springer Verlag, ISBN 0-387-90786-6