Проблема архимеда о скоте - Archimedes's cattle problem

Наименьшее решение проблемы Архимеда с рогатым скотом, где каждый значок представляет около 10 ^{206 543} голов крупного рогатого скота

Проблема Архимеда крупного рогатого скота (или проблема bovinum или проблема Архимедиса ) - это проблема диофантова анализа , исследования полиномиальных уравнений с целочисленными решениями. Задача, приписываемая Архимеду , заключается в вычислении количества крупного рогатого скота в стаде бога солнца с заданным набором ограничений. Проблема была обнаружена Готтхольдом Эфраимом Лессингом в греческой рукописи, содержащей стихотворение из сорока четырех строк, в Библиотеке Герцога Августа в Вольфенбюттеле , Германия, в 1773 году.

Проблема оставалась нерешенной в течение ряда лет, отчасти из-за сложности вычисления огромных чисел, задействованных в решении. Общее решение было найдено в 1880 году Карлом Эрнстом Августом Амтором (1845–1916), директором Gymnasium zum Heiligen Kreuz ( Гимназия Святого Креста) в Дрездене, Германия. Используя логарифмические таблицы , он вычислил первые цифры наименьшего решения, показав, что оно касается крупного рогатого скота, гораздо больше, чем может поместиться в наблюдаемой Вселенной . Десятичная форма слишком длинна, чтобы люди могли ее точно вычислить, но компьютерные арифметические пакеты с множественной точностью могут записывать ее явно. ${\ displaystyle 7.76 \ times 10 ^ {206544}}$

История

В 1769 году Готтхольд Эфраим Лессинг был назначен библиотекарем Библиотеки Герцога Августа в Вольфенбюттеле , Германия, которая содержала множество греческих и латинских рукописей. Спустя несколько лет Лессинг опубликовал переводы некоторых рукописей с комментариями. Среди них было греческое стихотворение из сорока четырех строк, содержащее арифметическую задачу, которая просит читателя найти количество скота в стаде бога солнца . Теперь это обычно приписывают Архимеду.

Проблема

Проблема, из сокращенных немецких переводов, опубликованных Георгом Нессельманном в 1842 году и Крумбигелем в 1880 году, гласит:

Вычисли, о друг, количество скота Солнца, который когда-то пасся на равнинах Сицилии, разделенный по цвету на четыре стада: одно молочно-белое, одно черное, одно пятнистое и одно желтое. Количество быков больше, чем количество коров, и отношения между ними следующие:

Белые быки, черные быки + желтые быки, ${\ displaystyle = \ left ({\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} \ right)}$

Черные быки, пятнистые быки + желтые быки, ${\ displaystyle = \ left ({\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {5}} \ right)}$

Пятнистые быки белые быки + желтые быки, ${\ displaystyle = \ left ({\ frac {1} {6}} + {\ frac {1} {7}} \ right)}$

Белые коровы, черное стадо, ${\ displaystyle = \ left ({\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {4}} \ right)}$

Черные коровы стадо пестрое, ${\ displaystyle = \ left ({\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {5}} \ right)}$

Пятнистые коровы желтое стадо, ${\ displaystyle = \ left ({\ frac {1} {5}} + {\ frac {1} {6}} \ right)}$

Желтые коровы белое стадо. ${\ displaystyle = \ left ({\ frac {1} {6}} + {\ frac {1} {7}} \ right)}$

Если ты можешь дать, о друг, количество каждого вида быков и коров, ты не новичок в численности, но не можешь считаться высококвалифицированным. Однако рассмотрим следующие дополнительные отношения между быками Солнца:

Белые быки + черные быки = квадратное число ,

Пятнистые быки + желтые быки = треугольное число .

Если ты подсчитал и их, о друг, и нашел общее количество скота, то ликуй себя как победитель, ибо ты оказался самым искусным в числах.

Решение

Первую часть проблемы легко решить, составив систему уравнений . Если количество белых, черных, пятнистых и желтых быков записано как и , а количество белых, черных, пятнистых и желтых коров написано как и , проблема заключается просто в том, чтобы найти решение: ${\ displaystyle W, B, D,}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle w, b, d,}$${\ displaystyle y}$

${\ displaystyle {\ begin {align} W & {} = {\ frac {5} {6}} B + Y \\ B & {} = {\ frac {9} {20}} D + Y \\ D & {} = {\ frac {13} {42}} W + Y \\ w & {} = {\ frac {7} {12}} (B + b) \\ b & {} = {\ frac {9} {20} } (D + d) \\ d & {} = {\ frac {11} {30}} (Y + y) \\ y & {} = {\ frac {13} {42}} (W + w) \ end {выровнено}}}$

который представляет собой систему из семи уравнений с восемью неизвестными. Он неопределенен и имеет бесконечно много решений. Наименьшие положительные целые числа, удовлетворяющие семи уравнениям:

${\ displaystyle {\ begin {align} B & {} = 7 {,} 460 {,} 514 \\ W & {} = 10 {,} 366 {,} 482 \\ D & {} = 7 {,} 358 {, } 060 \\ Y & {} = 4 {,} 149 {,} 387 \\ b & {} = 4 {,} 893 {,} 246 \\ w & {} = 7 {,} 206 {,} 360 \\ d & {} = 3 {,} 515 {,} 820 \\ y & {} = 5 {,} 439 {,} 213 \ end {выровнено}}}$

что в общей сложности составляет 50 389 082 голов крупного рогатого скота, а другие решения являются их целыми кратными. Обратите внимание, что первые четыре числа кратны 4657, значение, которое будет повторяться ниже.

Общее решение второй части проблемы было впервые найдено А. Амтором в 1880 году. Следующая его версия была описана Х. У. Ленстра на основе уравнения Пелла : решение, данное выше для первой части задачи, должно быть умножено от

${\ displaystyle n = {\ frac {(w ^ {4658j} -w ^ {- 4658j}) ^ {2}} {(4657) (79072)}} \,}$

где

${\ displaystyle w = 300426607914281713365 {\ sqrt {609}} + 84129507677858393258 {\ sqrt {7766}}}$

и j - любое положительное целое число. Эквивалентно возведение в квадрат w приводит к

${\ Displaystyle ш ^ {2} = и + v {\ sqrt {(609) (7766)}} \,}$

где { u , v } - фундаментальные решения уравнения Пелла

${\ displaystyle u ^ {2} - (609) (7766) v ^ {2} = 1}$

Размер наименьшего стада, которое могло бы удовлетворить как первую, так и вторую части задачи, тогда определяется выражением j = 1 и составляет около (сначала решено Амтором). Современные компьютеры могут легко распечатать все цифры ответа. Впервые это было сделано в Университете Ватерлоо в 1965 году Хью К. Уильямсом , немецким гражданином РА, и Чарльзом Робертом Зарнке. Они использовали комбинацию компьютеров IBM 7040 и IBM 1620 . ${\ displaystyle 7.76 \ times 10 ^ {206544}}$

Уравнение Пелла

Ограничения второй части задачи очевидны, и фактическое уравнение Пелла, которое необходимо решить, может быть легко дано. Во-первых, он спрашивает, что B + W должно быть квадратом , или используя значения, указанные выше,

${\ Displaystyle B + W = 7 {,} 460 {,} 514k + 10 {,} 366 {,} 482k = (2 ^ {2}) (3) (11) (29) (4657) k \,}$

таким образом, следует положить k = (3) (11) (29) (4657) q ² для некоторого целого числа q . Это решает первое условие. Во втором случае требуется, чтобы D + Y было треугольным числом ,

${\ Displaystyle D + Y = {\ гидроразрыва {т ^ {2} + т} {2}}}$

Решая для t ,

${\ displaystyle t = {\ frac {-1 \ pm {\ sqrt {1 + 8 (D + Y)}}} {2}}}$

Подстановка значения D + Y и k и нахождение такого значения q ² , при котором дискриминант этой квадратичной функции является точным квадратом p ^2, влечет за собой решение уравнения Пелла ,

${\ Displaystyle p ^ {2} - (4) (609) (7766) (4657 ^ {2}) q ^ {2} = 1 \,}$

Подход Амтора, обсуждавшийся в предыдущем разделе, состоял в основном в том, чтобы найти наименьшее v, такое, что оно целиком делится на 2   ·   4657. Фундаментальное решение этого уравнения состоит из более чем ста тысяч цифр.

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Белл, AH (1895), "В "крупного рогатого скота Проблема" По Archimedies 251 г. до н.э.",. Американский Математический Месячный , Математическая ассоциация Америки, 2 (5): 140-141, DOI : 10,2307 / 2968125 , JSTOR   2968125
• Дёрри, Генрих (1965). « Проблема Архимеда Бовинум ». 100 великих задач элементарной математики . Dover Publications . С. 3–7.
• Уильямс, ХК; Немецкий, РА; Зарнке, CR (1965). «Решение проблемы Архимеда со скотом» . Математика вычислений . Американское математическое общество . 19 (92): 671–674. DOI : 10.2307 / 2003954 . JSTOR   2003954 .
• Варди, И. (1998). «Проблема архимеда о скоте». Американский математический ежемесячник . Математическая ассоциация Америки. 105 (4): 305–319. DOI : 10.2307 / 2589706 .
• Бенсон, Г. (2014). «Поэт Архимед: общие инновации и математическая фантазия в проблеме крупного рогатого скота». Аретуза . Издательство Университета Джона Хопкинса . 47 (2): 169–196. DOI : 10,1353 / are.2014.0008 .

Внешние ссылки

• Последовательность OEIS A096151 (десятичное разложение 206545-значного целочисленного решения проблемы Архимеда крупного рогатого скота) - полное десятичное решение второй проблемы
• Алекс Беллос . «Святая корова - это большое число» (видео) . YouTube . Брэди Харан . Проверено 25 ноября 2019 года .