Теорема Бернштейна о монотонных функциях - Bernstein's theorem on monotone functions
В реальном анализе , разделе математики , теорема Бернштейна утверждает, что любая действительная функция на полупрямой [0, ∞), которая является полностью монотонной, представляет собой смесь экспоненциальных функций. В одном важном частном случае смесь представляет собой средневзвешенное или ожидаемое значение .
Полная монотонность (иногда также полная монотонность ) функции f означает, что f непрерывна на [0, ∞) , бесконечно дифференцируема на (0, ∞) и удовлетворяет
для всех неотрицательных целых n и всех t > 0 . Другое соглашение ставит противоположное неравенство в приведенное выше определение.
Утверждение "средневзвешенного" можно охарактеризовать так: существует неотрицательная конечная борелевская мера на [0, ∞) с кумулятивной функцией распределения g такая, что
интеграл является интегралом Римана – Стилтьеса .
Говоря более абстрактным языком, теорема характеризует преобразования Лапласа положительных борелевских мер на [0, ∞) . В таком виде она известна как теорема Бернштейна – Виддера или теорема Хаусдорфа – Бернштейна – Виддера . Феликс Хаусдорф ранее охарактеризовал полностью монотонные последовательности . Это последовательности, встречающиеся в проблеме моментов Хаусдорфа .
Функции Бернштейна
Неотрицательные функции, производная которых полностью монотонна, называются функциями Бернштейна . Каждая функция Бернштейна имеет представление Леви – Хинчина :
где и - такая мера на положительной действительной полупрямой, что
Ссылки
- С. Н. Бернштейн (1928). "Sur les fonctions Absolument Monotones" . Acta Mathematica . 52 : 1–66. DOI : 10.1007 / BF02592679 .
- Д. Виддер (1941). Преобразование Лапласа . Издательство Принстонского университета.
- Рене Шиллинг, Ренминг Сонг и Зоран Вондрачек (2010). Функции Бернштейна . Де Грюйтер.