Интеграл Римана

В математике , то интеграл Римана-Стилтьеса является обобщением интеграла Римана , имени Бернхарда Римана и Стилтьес . Определение этого интеграла впервые было опубликовано в 1894 году Стилтьесом. Он служит поучительным и полезным предшественником интеграла Лебега и бесценным инструментом в унификации эквивалентных форм статистических теорем, применимых к дискретной и непрерывной вероятности.

Формальное определение

Римана-Стилтьеса интеграл из вещественной функции вещественной переменной на отрезке относительно другой реальной к реальной функции обозначается ${\ displaystyle f}$ ${\ Displaystyle [а, б]}$ ${\ displaystyle g}$

{\ displaystyle \ int _ {x = a} ^ {b} f (x) \, \ mathrm {d} g (x).}

В его определении используется последовательность разбиений интервала ${\ displaystyle P}$ ${\ Displaystyle [а, б]}$

{\ displaystyle P = \ {a = x_ {0} <x_ {1} <\ cdots <x_ {n} = b \}.}

Таким образом, интеграл определяется как предел по мере приближения нормы (длины самого длинного подынтервала) разбиений аппроксимирующей суммы ${\ displaystyle 0}$

{\ Displaystyle S (P, f, g) = \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} f (c_ {i}) \ left [g (x_ {i + 1}) - g (x_ { Я прав]}

где находится в i -м подынтервале [ x _i , x _i₊₁ ]. Две функции и соответственно называются подынтегральным выражением и интегратором . Обычно считается монотонным (или, по крайней мере, с ограниченной вариацией ) и полунепрерывным справа (однако это последнее, по сути, соглашение). Мы специально не требуем непрерывности, что позволяет использовать интегралы с точечными массами. ${\ displaystyle c_ {i}}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle g}$

Под "пределом" здесь понимается число A (значение интеграла Римана – Стилтьеса) такое, что для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любого разбиения P с нормой ( P ) < δ и для каждого выбора точек c _i в [ x _i , x _{i +1} ],

{\ Displaystyle | S (P, f, g) -A | <\ varepsilon. \,}

Характеристики

Интеграл Римана – Стилтьеса допускает интегрирование по частям в виде

{\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} е (х) \, \ mathrm {d} g (x) = f (b) g (b) -f (a) g (a) - \ int _ {a} ^ {b} g (x) \, \ mathrm {d} f (x)}

и существование одного интеграла подразумевает существование другого.

С другой стороны, классический результат показывает , что интеграл хорошо определен , если F является α - Гельдеровский непрерывного и г есть β -Hölder непрерывно & alpha ; + & beta ; > 1 .

Приложение к теории вероятностей

Если г является кумулятивная функция распределения вероятности из случайной величины X , имеющей функцию плотности вероятности относительно меры Лебега и F любая функция , для которой ожидаемая величина конечна, то функция плотности вероятности X является производной г и у нас есть ${\ Displaystyle \ OperatorName {E} \ left [\, \ left | f (X) \ right | \, \ right]}$

{\ displaystyle \ operatorname {E} [f (X)] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) g '(x) \, \ mathrm {d} x.}

Но эта формула не работает, если X не имеет функции плотности вероятности относительно меры Лебега. В частности, он не работает, если распределение X является дискретным (т.е. вся вероятность учитывается точечными массами), и даже если кумулятивная функция распределения g является непрерывной, она не работает, если g не может быть абсолютно непрерывна (опять же, функция Кантора может служить примером этого отказа). Но личность

{\ Displaystyle \ OperatorName {E} [е (X)] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) \, \ mathrm {d} g (x)}

выполняется, если g - любая кумулятивная функция распределения вероятностей на реальной прямой, независимо от того, насколько плохо она себя ведет. В частности, как бы плохо себя ни вела кумулятивная функция распределения g случайной величины X , если момент E ( X ⁿ ) существует, то он равен

{\ displaystyle \ operatorname {E} \ left [X ^ {n} \ right] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x ^ {n} \, \ mathrm {d} g (x). }

Приложение к функциональному анализу

Римана-Стилтьеса появляется в первоначальной формулировке теоремы Ф. Рисса , которая представляет собой двойное пространство в банаховом пространстве C [ , Ь ] непрерывных функций в интервале [ , Ь ] в качестве Римана-Стилтьеса от функций ограниченной вариация . Позже эта теорема была переформулирована в терминах мер.

Интеграл Римана – Стилтьеса также появляется в формулировке спектральной теоремы для (некомпактных) самосопряженных (или, в более общем смысле, нормальных) операторов в гильбертовом пространстве. В этой теореме интеграл рассматривается по спектральному семейству проекций.

Существование интеграла

Лучшая простая теорема существования утверждает, что если f непрерывна, а g имеет ограниченную вариацию на [ a , b ], то интеграл существует. Функция g имеет ограниченную вариацию тогда и только тогда, когда она является разницей между двумя (ограниченными) монотонными функциями. Если g не имеет ограниченной вариации, то будут непрерывные функции, которые нельзя проинтегрировать по g . В общем, интеграл не определен правильно, если f и g имеют общие точки разрыва , но есть и другие случаи.

Обобщение

Важным обобщением является интеграл Лебега – Стилтьеса , который обобщает интеграл Римана – Стилтьеса аналогично тому, как интеграл Лебега обобщает интеграл Римана. Если допускаются несобственные интегралы Римана – Стилтьеса, то интеграл Лебега не является строго более общим, чем интеграл Римана – Стилтьеса.

Интеграл Римана – Стилтьеса также обобщается на случай, когда либо подынтегральное выражение ƒ, либо интегратор g принимают значения в банаховом пространстве . Если g : [ a , b ] → X принимает значения в банаховом пространстве X , то естественно предположить, что оно имеет сильно ограниченную вариацию , что означает, что

{\ displaystyle \ sup \ sum _ {i} \ | g (t_ {i-1}) - g (t_ {i}) \ | _ {X} <\ infty}

супремум берется по всем конечным разбиениям

{\ displaystyle a = t_ {0} \ leq t_ {1} \ leq \ cdots \ leq t_ {n} = b}

отрезка [ a , b ]. Это обобщение играет роль при изучении полугрупп с помощью преобразования Лапласа – Стилтьеса .

Интеграл Ито расширяет интеграл Римана-Stietjes , чтобы охватить интеграндов и интеграторами , которые являются случайными процессами , а не простых функций; см. также стохастическое исчисление .

Обобщенный интеграл Римана – Стилтьеса.

Небольшое обобщение заключается в рассмотрении в приведенном выше определении разбиений P, которые уточняют другое разбиение P _ε , что означает, что P возникает из P _ε путем добавления точек, а не из разбиений с более мелкой сеткой. В частности, обобщенный интеграл Римана – Стилтьеса от f относительно g - это такое число A , что для любого ε > 0 существует такое разбиение P _ε , что для каждого разбиения P , уточняющего P _ε ,

{\ Displaystyle | S (P, f, g) -A | <\ varepsilon \,}

для каждого выбора точек c _i в [ x _i , x _{i +1} ].

Это обобщение демонстрирует интеграл Римана – Стилтьеса как предел Мура – Смита на направленном множестве разбиений отрезка [ a , b ].

Следствием этого является то, что с этим определением интеграл все еще может быть определен в случаях, когда f и g имеют общую точку разрыва. ${\ textstyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, \ mathrm {d} g (x)}$

Суммы Дарбу

Интеграл Римана – Стилтьеса может быть эффективно обработан с помощью подходящего обобщения сумм Дарбу . Для разбиения P и неубывающей функции g на [ a , b ] определим верхнюю сумму Дарбу функции f относительно g следующим образом:

{\ Displaystyle U (п, е, г) = \ сумма _ {я = 1} ^ {п} \, \, [\, г (х_ {я}) - г (х_ {я-1}) \, ] \, \ sup _ {x \ in [x_ {i-1}, x_ {i}]} f (x)}

а нижняя сумма на

{\ Displaystyle L (п, е, г) = \ сумма _ {я = 1} ^ {п} \, \, [\, г (х_ {я}) - г (х_ {я-1}) \, ] \, \ inf _ {x \ in [x_ {i-1}, x_ {i}]} f (x).}

Тогда обобщенная функция Римана – Стилтьеса f относительно g существует тогда и только тогда, когда для любого ε> 0 существует такое разбиение P , что

{\ Displaystyle U (P, f, g) -L (P, f, g) <\ varepsilon.}

Кроме того, f интегрируема по Риману – Стилтьесу относительно g (в классическом смысле), если

{\ displaystyle \ lim _ {\ operatorname {mesh} (P) \ to 0} [\, U (P, f, g) -L (P, f, g) \,] = 0. \ quad}

Примеры и частные случаи

Дифференцируемая g ( x )

Для a, непрерывно дифференцируемого над ним, можно показать, что существует равенство ${\ displaystyle g (x)}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

{\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} е (х) \, \ mathrm {d} g (x) = \ int _ {a} ^ {b} f (x) g '(x) \, \ mathrm {d} x}

где интеграл в правой части является стандартным интегралом Римана в предположении, что он может быть проинтегрирован с помощью интеграла Римана – Стилтьеса. ${\ displaystyle f}$

В более общем смысле интеграл Римана равен интегралу Римана – Стилтьеса, если является интегралом Лебега от его производной; в этом случае называется абсолютно непрерывным . ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle g}$

Это может быть случай, когда есть скачкообразные разрывы или производная может быть нулевая почти всюду, но при этом непрерывная и возрастающая (например, это может быть функция Кантора или «чертова лестница»), в любом из этих случаев интеграл Римана – Стилтьеса равен не охвачены никаким выражением, включающим производные g . ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle g}$

Стандартный интеграл Римана является частным случаем интеграла Римана – Стилтьеса, где . ${\ Displaystyle г (х) = х}$

Выпрямитель

Рассмотрим функцию, используемую при исследовании нейронных сетей , которая называется выпрямленным линейным блоком (ReLU) . Тогда Римана – Стилтьеса можно оценить как ${\ Displaystyle г (х) = \ макс \ {0, х \}}$

{\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} е (х) \, \ mathrm {d} g (x) = \ int _ {g (a)} ^ {g (b)} f (x) \ , \ mathrm {d} x}

где интеграл в правой части - стандартный интеграл Римана.

Интеграция Cavaliere

Визуализация интеграла Кавальера для функции

{\ displaystyle f (x) = (2x + 8) ^ {3}}

Принцип Кавальери можно использовать для вычисления площадей, ограниченных кривыми, с использованием интегралов Римана – Стилтьеса. Интегральные планки интеграции Riemann заменяются планками непрямоугольной формы. Метод состоит в том, чтобы преобразовать «область Кавальере» с помощью преобразования или использовать в качестве подынтегральной функции. ${\ displaystyle h}$ ${\ displaystyle g = h ^ {- 1}}$

Для данной функции на интервале «трансляционная функция» должна пересекаться ровно один раз для любого сдвига в интервале. Тогда "регион Кавальера" ограничен , осью и . Тогда площадь региона ${\ displaystyle f (x)}$ ${\ Displaystyle [а, б]}$ ${\ Displaystyle а (у)}$ ${\ Displaystyle (х, е (х))}$ ${\ Displaystyle е (х), а (у)}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ Displaystyle б (у) = а (у) + (ба)}$