Парадокс Бореля – Колмогорова - Borel–Kolmogorov paradox

В теории вероятностей , то парадокс Борель-Колмогорова (иногда известный как парадокс Борель ) представляет собой парадокс , относящийся к условной вероятности по отношению к событию вероятности нулевой (также известное как набор нуля ). Он назван в честь Эмиля Бореля и Андрея Колмогорова .

Головоломка с большим кругом

Предположим, что случайная величина имеет равномерное распределение на единичной сфере. Каково его условное распределение по большому кругу ? Из-за симметрии сферы можно было ожидать, что распределение будет равномерным и не зависит от выбора координат. Однако два анализа дают противоречивые результаты. Во-первых, обратите внимание, что выбор точки равномерно на сфере эквивалентен равномерному выбору долготы из и выбору широты из с плотностью . Затем мы можем взглянуть на два разных больших круга: ${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle [- \ pi, \ pi]}$ ${\ displaystyle \ varphi}$${\ textstyle [- {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}}]}$${\ textstyle {\ frac {1} {2}} \ cos \ varphi}$

1. Если координаты выбраны так, что большой круг является экватором (широтой ), условная плотность для долготы, определенной на интервале, равна ${\ displaystyle \ varphi = 0}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle [- \ pi, \ pi]}$

   ${\ displaystyle f (\ lambda \ mid \ varphi = 0) = {\ frac {1} {2 \ pi}}.}$

2. Если большой круг представляет собой линию долготы с , условная плотность для на интервале равна ${\ displaystyle \ lambda = 0}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ textstyle [- {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}}]}$

   ${\ displaystyle f (\ varphi \ mid \ lambda = 0) = {\ frac {1} {2}} \ cos \ varphi.}$

Одно распределение равномерно по кругу, другое - нет. И все же оба, кажется, относятся к одному и тому же большому кругу в разных системах координат.

Между специалистами по теории вероятностей, компетентными в остальном, ведется множество совершенно бесплодных споров о том, какой из этих результатов является «правильным».

-  ET Джейнс

Объяснение и последствия

В случае (1) выше условную вероятность того, что долгота λ лежит в множестве E, при условии, что φ = 0, можно записать как P ( λ ∈ E | φ = 0). Элементарная теория вероятностей предполагает, что это можно вычислить как P ( λ ∈ E и φ = 0) / P ( φ = 0), но это выражение не является четко определенным, поскольку P ( φ = 0) = 0. Теория меры предоставляет способ для определения условной вероятности, используя семейство событий R _ab = { φ  : a < φ < b }, которые представляют собой горизонтальные кольца, состоящие из всех точек с широтой между a и b .

Разрешение парадокса состоит в том, чтобы заметить, что в случае (2) P ( φ ∈ F | λ = 0) определяется с помощью событий L _ab = { λ  : a < λ < b }, которые являются лунками (вертикальными клиньями) , состоящий из всех точек, долгота которых варьируется от a до b . Таким образом, хотя P ( λ ∈ E | φ = 0) и P ( φ ∈ F | λ = 0) каждый обеспечивает распределение вероятностей на большом круге, одно из них определяется с помощью колец, а другое - с помощью лунок. Поэтому неудивительно, что P ( λ ∈ E | φ = 0) и P ( φ ∈ F | λ = 0) имеют разные распределения.

Понятие условной вероятности применительно к изолированной гипотезе, вероятность которой равна 0, недопустимо. Поскольку мы можем получить распределение вероятностей для [широты] на меридиональном круге, только если мы будем рассматривать этот круг как элемент разложения всей сферической поверхности на меридиональные окружности с заданными полюсами.

-  Андрей Колмогоров

… Термин «большой круг» неоднозначен, пока мы не укажем, какая ограничивающая операция должна его произвести. Аргумент интуитивной симметрии предполагает экваториальный предел; однако один, поедающий дольки апельсина, может предполагать другого.

-  ET Джейнс

Математическая экспликация

Теоретическая перспектива

Чтобы понять проблему, нам нужно признать, что распределение на непрерывной случайной величине описывается плотностью f только относительно некоторой меры μ . Оба важны для полного описания распределения вероятностей. Или, что то же самое, нам нужно полностью определить пространство, в котором мы хотим определить f .

Пусть Φ и Λ обозначают две случайные величины, принимающие значения в Ω ₁ = соответственно Ω ₂ = [- π , π ]. Событие {Φ =  φ , Λ =  λ } дает точку на сфере S ( r ) радиуса r . Определим преобразование координат${\ textstyle \ left [- {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} \ right]}$

${\ displaystyle {\ begin {align} x & = r \ cos \ varphi \ cos \ lambda \\ y & = r \ cos \ varphi \ sin \ lambda \\ z & = r \ sin \ varphi \ end {align}}}$

для чего получаем элемент объема

${\ displaystyle \ omega _ {r} (\ varphi, \ lambda) = \ left \ | {\ partial (x, y, z) \ over \ partial \ varphi} \ times {\ partial (x, y, z) \ over \ partial \ lambda} \ right \ | = r ^ {2} \ cos \ varphi \.}$

Кроме того, если фиксировать φ или λ , мы получаем элементы объема

${\ Displaystyle {\ begin {align} \ omega _ {r} (\ lambda) & = \ left \ | {\ partial (x, y, z) \ over \ partial \ varphi} \ right \ | = r \, \ quad {\ text {соответственно}} \\ [3pt] \ omega _ {r} (\ varphi) & = \ left \ | {\ partial (x, y, z) \ over \ partial \ lambda} \ right \ | = г \ соз \ варфи \. \ конец {выровнено}}}$

Позволять

${\ displaystyle \ mu _ {\ Phi, \ Lambda} (d \ varphi, d \ lambda) = f _ {\ Phi, \ Lambda} (\ varphi, \ lambda) \ omega _ {r} (\ varphi, \ lambda ) \, d \ varphi \, d \ lambda}$

обозначим совместную меру на , имеющую плотность относительно, и пусть ${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} (\ Omega _ {1} \ times \ Omega _ {2})}$${\ displaystyle f _ {\ Phi, \ Lambda}}$${\ displaystyle \ omega _ {r} (\ varphi, \ lambda) \, d \ varphi \, d \ lambda}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mu _ {\ Phi} (d \ varphi) & = \ int _ {\ lambda \ in \ Omega _ {2}} \ mu _ {\ Phi, \ Lambda} (d \ varphi, d \ lambda) \, \\\ mu _ {\ Lambda} (d \ lambda) & = \ int _ {\ varphi \ in \ Omega _ {1}} \ mu _ {\ Phi, \ Lambda} (д \ варфи, д \ лямбда) \. \ конец {выровнено}}}$

Если предположить, что плотность однородна, то ${\ displaystyle f _ {\ Phi, \ Lambda}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mu _ {\ Phi \ mid \ Lambda} (d \ varphi \ mid \ lambda) & = {\ mu _ {\ Phi, \ Lambda} (d \ varphi, d \ lambda ) \ over \ mu _ {\ Lambda} (d \ lambda)} = {\ frac {1} {2r}} \ omega _ {r} (\ varphi) \, d \ varphi \, \ quad {\ text { и}} \\ [3pt] \ mu _ {\ Lambda \ mid \ Phi} (d \ lambda \ mid \ varphi) & = {\ mu _ {\ Phi, \ Lambda} (d \ varphi, d \ lambda) \ over \ mu _ {\ Phi} (d \ varphi)} = {\ frac {1} {2r \ pi}} \ omega _ {r} (\ lambda) \, d \ lambda \. \ end {выровнено} }}$

Следовательно, имеет равномерную плотность по мере Лебега, но не по ней. С другой стороны, имеет однородную плотность по и по мере Лебега. ${\ displaystyle \ mu _ {\ Phi \ mid \ Lambda}}$${\ displaystyle \ omega _ {r} (\ varphi) \, d \ varphi}$${\ displaystyle \ mu _ {\ Lambda \ mid \ Phi}}$${\ displaystyle \ omega _ {r} (\ lambda) \, d \ lambda}$

Доказательство противоречия

Рассмотрим случайный вектор , равномерно распределенный на единичной сфере . ${\ displaystyle (X, Y, Z)}$${\ Displaystyle S ^ {2}}$

Начнем с параметризации сферы с помощью обычных сферических полярных координат :

${\ Displaystyle {\ begin {align} x & = \ cos (\ varphi) \ cos (\ theta) \\ y & = \ cos (\ varphi) \ sin (\ theta) \\ z & = \ sin (\ varphi) \ конец {выровнен}}}$

где и . ${\ textstyle - {\ гидроразрыв {\ pi} {2}} \ leq \ varphi \ leq {\ frac {\ pi} {2}}}$${\ displaystyle - \ pi \ leq \ theta \ leq \ pi}$

Мы можем определить случайные величины , как значения по обратному этой параметризации, или более формально , используя функцию arctan2 : ${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle \ Theta}$${\ displaystyle (X, Y, Z)}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ Phi & = \ arcsin (Z) \\\ Theta & = \ arctan _ {2} \ left ({\ frac {Y} {\ sqrt {1-Z ^ {2}) }}}, {\ frac {X} {\ sqrt {1-Z ^ {2}}}} \ right) \ end {align}}}$

Используя формулы для сферического колпачка с площадью поверхности и сферического клина , поверхность сферического клина для колпачка определяется как

${\ Displaystyle \ OperatorName {Area} (\ Theta \ Leq \ theta, \ Phi \ Leq \ varphi) = (1+ \ sin (\ varphi)) (\ theta + \ pi)}$

Поскольку он равномерно распределен, вероятность пропорциональна площади поверхности, что дает совместную кумулятивную функцию распределения${\ displaystyle (X, Y, Z)}$

${\ Displaystyle F _ {\ Phi, \ Theta} (\ varphi, \ theta) = P (\ Theta \ leq \ theta, \ Phi \ leq \ varphi) = {\ frac {1} {4 \ pi}} (1 + \ sin (\ varphi)) (\ theta + \ pi)}$

Функция плотности вероятности совместного затем дается

${\ displaystyle f _ {\ Phi, \ Theta} (\ varphi, \ theta) = {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial \ varphi \ partial \ theta}} F _ {\ Phi, \ Theta} ( \ varphi, \ theta) = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ cos (\ varphi)}$

Обратите внимание, что и являются независимыми случайными величинами. ${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle \ Theta}$

Для простоты мы не будем вычислять полное условное распределение на большом круге, а будем рассчитывать только вероятность того, что случайный вектор лежит в первом октанте. То есть мы попытаемся вычислить условную вероятность с помощью ${\ Displaystyle \ mathbb {P} (A | B)}$

${\ Displaystyle {\ begin {align} A & = \ left \ {0 <\ Theta <{\ frac {\ pi} {4}} \ right \} && = \ {0 <X <1,0 <Y <X \} \\ B & = \ {\ Phi = 0 \} && = \ {Z = 0 \} \ end {выровнено}}}$

Мы пытаемся оценить условную вероятность как предел обусловленности событий.

${\ Displaystyle B _ {\ varepsilon} = \ {| \ Phi | <\ varepsilon \}}$

Так же, как и независимы, таковы события и , следовательно, ${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle \ Theta}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B _ {\ varepsilon}}$

${\ Displaystyle P (A \ mid B) \ mathrel {\ stackrel {?} {=}} \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} {\ frac {P (A \ cap B _ {\ varepsilon})} {P (B _ {\ varepsilon})}} = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} P (A) = P \ left (0 <\ Theta <{\ frac {\ pi} {4}} \ right) = { \ frac {1} {8}}.}$

Теперь повторяем процесс с другой параметризацией сферы:

${\ Displaystyle {\ begin {выровнен} х & = \ грех (\ varphi) \\ у & = \ соз (\ varphi) \ грех (\ тета) \\ z & = - \ соз (\ varphi) \ соз (\ тета) \ конец {выровнено}}}$

Это эквивалентно предыдущей параметризации, повернутой на 90 градусов вокруг оси y .

Определите новые случайные величины

${\ displaystyle {\ begin {align} \ Phi '& = \ arcsin (X) \\\ Theta' & = \ arctan _ {2} \ left ({\ frac {Y} {\ sqrt {1-X ^ { 2}}}}, {\ frac {-Z} {\ sqrt {1-X ^ {2}}}} \ right). \ End {align}}}$

Вращение сохраняется с сохранением меры, поэтому плотность и одинакова: ${\ displaystyle \ Phi '}$${\ displaystyle \ Theta '}$

${\ Displaystyle е _ {\ Phi ', \ Theta'} (\ varphi, \ theta) = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ cos (\ varphi)}$.

Выражения для A и B :

${\ Displaystyle {\ begin {align} A & = \ left \ {0 <\ Theta <{\ frac {\ pi} {4}} \ right \} && = \ {0 <X <1, \ 0 <Y < X \} && = \ left \ {0 <\ Theta '<\ pi, \ 0 <\ Phi' <{\ frac {\ pi} {2}}, \ \ sin (\ Theta ') <\ tan (\ Phi ') \ right \} \\ B & = \ {\ Phi = 0 \} && = \ {Z = 0 \} && = \ left \ {\ Theta' = - {\ frac {\ pi} {2}} \ right \} \ cup \ left \ {\ Theta '= {\ frac {\ pi} {2}} \ right \}. \ end {align}}}$

Попытка снова оценить условную вероятность как предел обусловленности событий

${\ Displaystyle B _ {\ varepsilon} ^ {\ prime} = \ left \ {\ left | \ Theta '+ {\ frac {\ pi} {2}} \ right | <\ varepsilon \ right \} \ cup \ left \ {\ left | \ Theta '- {\ frac {\ pi} {2}} \ right | <\ varepsilon \ right \}.}$

Используя правило Лопиталя и дифференцирование под знаком интеграла :

${\ displaystyle {\ begin {align} P (A \ mid B) & \ mathrel {\ stackrel {?} {=}} \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} {\ frac {P (A \ cap B_ { \ varepsilon} ^ {\ prime})} {P (B _ {\ varepsilon} ^ {\ prime})}} \\ & = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} {\ frac {1} {\ frac { 4 \ varepsilon} {2 \ pi}}} P \ left ({\ frac {\ pi} {2}} - \ varepsilon <\ Theta '<{\ frac {\ pi} {2}} + \ varepsilon, \ 0 <\ Phi '<{\ frac {\ pi} {2}}, \ \ sin (\ Theta') <\ tan (\ Phi ') \ right) \\ & = {\ frac {\ pi} {2 }} \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} {\ frac {\ partial} {\ partial \ varepsilon}} \ int _ {{\ pi} / {2} - \ epsilon} ^ {{\ pi} / { 2} + \ epsilon} \ int _ {0} ^ {{\ pi} / {2}} 1 _ {\ sin (\ theta) <\ tan (\ varphi)} f _ {\ Phi ', \ Theta'} ( \ varphi, \ theta) \ mathrm {d} \ varphi \ mathrm {d} \ theta \\ & = \ pi \ int _ {0} ^ {{\ pi} / {2}} 1_ {1 <\ tan ( \ varphi)} f _ {\ Phi ', \ Theta'} \ left (\ varphi, {\ frac {\ pi} {2}} \ right) \ mathrm {d} \ varphi \\ & = \ pi \ int _ {\ pi / 4} ^ {\ pi / 2} {\ frac {1} {4 \ pi}} \ cos (\ varphi) \ mathrm {d} \ varphi \\ & = {\ frac {1} {4 }} \ left (1 - {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ right) \ neq {\ frac {1} {8}} \ end {align}}}$

Это показывает, что условная плотность не может рассматриваться как обусловливание события с нулевой вероятностью, как объяснено в разделе «Условная вероятность # Условие для события с нулевой вероятностью» .

Рекомендации

Цитаты

Источники