Личность Брахмагупты - Brahmagupta's identity

В алгебре , идентичность Брахмагупты говорит , что, учитывая , что произведение двух чисел вида является само количество этой формы. Другими словами, множество таких чисел замкнуто относительно умножения. В частности:

И (1), и (2) можно проверить, развернув каждую часть уравнения. Кроме того, (2) можно получить из (1) или (1) из (2), заменив b на - b .

Это тождество выполняется как в кольце целых чисел, так и в кольце рациональных чисел , и вообще в любом коммутативном кольце .

История

Идентичность является обобщением так называемой идентичности Фибоначчи (где п = 1) , которое фактически находится в Диофанта ' Arithmetica (III, 19). Эта идентичность была заново открыта Брахмагуптой (598–668), индийским математиком и астрономом , который обобщил ее и использовал в своем исследовании того, что сейчас называется уравнением Пелла . Его Brahmasphutasiddhanta была переведена с санскрита на арабский язык на Мохаммеда аль-Фазари , а затем был переведен на латинский в 1126 Тождественность позже появился в Фибоначчи «s Книга Квадраты в 1225 году .

Приложение к уравнению Пелла

В исходном контексте Брахмагупта применил свое открытие к решению того, что позже было названо уравнением Пелла , а именно x 2  -  Ny 2  = 1. Использование тождества в форме

он смог «составить» тройки ( x 1 ,  y 1 ,  k 1 ) и ( x 2 ,  y 2 ,  k 2 ), которые были решениями x 2  -  Ny 2  =  k , чтобы сгенерировать новую тройку

Это не только давало возможность генерировать бесконечно много решений для x 2  -  Ny 2  = 1, начиная с одного решения, но также, деля такую ​​композицию на k 1 k 2 , часто можно было получить целые или «почти целые» решения. . Общий метод решения уравнения Пелла, данный Бхаскарой II в 1150 году, а именно метод чакравалы (циклический) , также был основан на этом тождестве.

Смотрите также

Ссылки

внешние ссылки