Броуновская модель финансовых рынков - Brownian model of financial markets

Модели броуновского движения для финансовых рынков основаны на работе Роберта К. Мертона и Пола А. Самуэльсона как расширения однопериодных рыночных моделей Гарольда Марковица и Уильяма Ф. Шарпа и связаны с определением концепций финансового активы и рынки , портфели , прибыли и богатство в терминах стохастических процессов в непрерывном времени .

Согласно этой модели, цены на эти активы постоянно меняются во времени и управляются процессами броуновского движения. Эта модель требует допущения об идеально делимых активах и свободном от трений рынке (т. Е. О том, что транзакционные издержки не возникают ни при покупке, ни при продаже). Другое предположение - цены на активы не имеют скачков, то есть на рынке нет сюрпризов. Последнее предположение снимается в моделях скачкообразной диффузии .

Процессы финансового рынка

Рассмотрим финансовый рынок, состоящий из финансовых активов, где один из этих активов, называемый облигациями или денежным рынком , не подвержен риску, а остальные активы, называемые акциями , являются рискованными. ${\ displaystyle N + 1}$${\ displaystyle N}$

Определение

Финансовый рынок определяется как , которая удовлетворяет следующему: ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} = (г, \ mathbf {b}, \ mathbf {\ delta}, \ mathbf {\ sigma}, A, \ mathbf {S} (0))}$

1. Вероятностное пространство .${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, P)}$
2. Временной интервал .${\ displaystyle [0, T]}$
3. - Мерный процесс броуновского где адаптированы к расширенной фильтрации .${\ displaystyle D}$${\ Displaystyle \ mathbf {W} (t) = (W_ {1} (t) \ ldots W_ {D} (t)) ',}$${\ Displaystyle \; 0 \ Leq T \ Leq T}$${\ Displaystyle \ {{\ mathcal {F}} (т); \; 0 \ Leq т \ Leq T \}}$
4. Измеряемый безрисковый процесс определения ставок на денежном рынке .${\ Displaystyle г (т) \ в L_ {1} [0, Т]}$
5. Измеримая средняя норма доходности процесса .${\ displaystyle \ mathbf {b}: [0, T] \ times \ mathbb {R} ^ {N} \ rightarrow \ mathbb {R} \ in L_ {2} [0, T]}$
6. Измеримая норма прибыли от дивидендов .${\ displaystyle \ mathbf {\ delta}: [0, T] \ times \ mathbb {R} ^ {N} \ rightarrow \ mathbb {R} \ in L_ {2} [0, T]}$
7. Измеримый процесс волатильности , такой, что .${\ displaystyle \ mathbf {\ sigma}: [0, T] \ times \ mathbb {R} ^ {N \ times D} \ rightarrow \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {N} \ sum _ {d = 1} ^ {D} \ int _ {0} ^ {T} \ sigma _ {n, d} ^ {2} ( s) ds <\ infty}$
8. Измеримая, конечная вариация, сингулярно непрерывный стохастик .${\ Displaystyle А (т)}$
9. Начальные условия, заданные как .${\ Displaystyle \ mathbf {S} (0) = (S_ {0} (0), \ ldots S_ {N} (0)) '}$

Расширенная фильтрация

Пусть - вероятностное пространство , а - D-мерный случайный процесс броуновского движения с естественной фильтрацией : ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, p)}$${\ Displaystyle \ mathbf {W} (t) = (W_ {1} (t) \ ldots W_ {D} (t)) ', \; 0 \ leq t \ leq T}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {\ mathbf {W}} (т) \ треугольникq \ sigma \ left (\ {\ mathbf {W} (s); \; 0 \ leq s \ leq t \} \ right), \ quad \ forall t \ in [0, T].}$

Если такие меры 0 (т.е. нуля при мере ) подмножества , затем определяют дополненную фильтрацию : ${\ displaystyle {\ mathcal {N}}}$${\ displaystyle P}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {\ mathbf {W}} (т)}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} (т) \ треугольник \ сигма \ влево ({\ mathcal {F}} ^ {\ mathbf {W}} (т) \ чашка {\ mathcal {N}} \ справа) , \ quad \ forall t \ in [0, T]}$

Разница между и заключается в том, что оба последних непрерывны слева в том смысле, что: ${\ Displaystyle \ {{\ mathcal {F}} ^ {\ mathbf {W}} (t); \; 0 \ leq t \ leq T \}}$${\ Displaystyle \ {{\ mathcal {F}} (т); \; 0 \ Leq т \ Leq T \}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (t) = \ sigma \ left (\ bigcup _ {0 \ leq s <t} {\ mathcal {F}} (s) \ right),}$

и непрерывные справа , такие что:

${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} (т) = \ bigcap _ {т <s \ leq T} {\ mathcal {F}} (s),}$

в то время как первый только непрерывен слева.

Связь

Доля облигации (денежный рынок) имеет цену на время с , непрерывно, адаптированной и имеет конечную вариацию . Поскольку он имеет конечную вариацию, его можно разложить на абсолютно непрерывную часть и сингулярно непрерывную часть по теореме Лебега о разложении . Определять: ${\ Displaystyle S_ {0} (т)> 0}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle S_ {0} (0) = 1}$${\ Displaystyle \ {{\ mathcal {F}} (т); \; 0 \ Leq т \ Leq T \}}$${\ Displaystyle S_ {0} ^ {а} (т)}$${\ Displaystyle S_ {0} ^ {s} (т)}$

${\ Displaystyle г (т) \ треугольникq {\ гидроразрыва {1} {S_ {0} (t)}} {\ гидроразрыва {d} {dt}} S_ {0} ^ {a} (t),}$ и

${\ Displaystyle А (т) \ треугольник q \ int _ {0} ^ {t} {\ гидроразрыва {1} {S_ {0} (s)}} dS_ {0} ^ {s} (s),}$

в результате чего SDE :

${\ displaystyle dS_ {0} (t) = S_ {0} (t) [r (t) dt + dA (t)], \ quad \ forall 0 \ leq t \ leq T,}$

который дает:

${\ Displaystyle S_ {0} (T) = \ ехр \ влево (\ int _ {0} ^ {t} r (s) ds + A (t) \ right), \ quad \ forall 0 \ leq t \ leq T.}$

Таким образом, можно легко увидеть, что если оно абсолютно непрерывно (т.е. ), то цена облигации изменяется подобно стоимости безрискового сберегательного счета с мгновенной процентной ставкой , которая является случайной, зависящей от времени и измеримой. ${\ Displaystyle S_ {0} (т)}$${\ Displaystyle А (\ cdot) = 0}$${\ Displaystyle г (т)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} (т)}$

Акции

Цены на акции моделируются как цены на облигации, за исключением случайных колебаний компонента (так называемой волатильности ). В качестве премии за риск, возникающий в результате этих случайных колебаний, средняя доходность акции выше, чем у облигации.

Позвольте быть строго положительными ценами на акцию акций, которые являются непрерывными стохастическими процессами, удовлетворяющими: ${\ Displaystyle S_ {1} (т) \ ldots S_ {N} (т)}$${\ displaystyle N}$

${\ displaystyle dS_ {n} (t) = S_ {n} (t) \ left [b_ {n} (t) dt + dA (t) + \ sum _ {d = 1} ^ {D} \ sigma _ {n, d} (t) dW_ {d} (t) \ right], \ quad \ forall 0 \ leq t \ leq T, \ quad n = 1 \ ldots N.}$

Здесь - волатильность -й акции, а - ее средняя доходность. ${\ displaystyle \ sigma _ {n, d} (t), \; d = 1 \ ldots D}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle b_ {n} (t)}$

Для сценария ценообразования без арбитража оно должно быть таким, как определено выше. Решение этого: ${\ Displaystyle А (т)}$

${\ displaystyle S_ {n} (t) = S_ {n} (0) \ exp \ left (\ int _ {0} ^ {t} \ sum _ {d = 1} ^ {D} \ sigma _ {n , d} (s) dW_ {d} (s) + \ int _ {0} ^ {t} \ left [b_ {n} (s) - {\ frac {1} {2}} \ sum _ {d = 1} ^ {D} \ sigma _ {n, d} ^ {2} (s) \ right] ds + A (t) \ right), \ quad \ forall 0 \ leq t \ leq T, \ quad n = 1 \ ldots N,}$

и цены на акции со скидкой:

${\ Displaystyle {\ гидроразрыва {S_ {n} (t)} {S_ {0} (t)}} = S_ {n} (0) \ exp \ left (\ int _ {0} ^ {t} \ sum _ {d = 1} ^ {D} \ sigma _ {n, d} (s) dW_ {d} (s) + \ int _ {0} ^ {t} \ left [b_ {n} (s) - {\ frac {1} {2}} \ sum _ {d = 1} ^ {D} \ sigma _ {n, d} ^ {2} (s) \ right] ds) \ right), \ quad \ forall 0 \ leq t \ leq T, \ quad n = 1 \ ldots N.}$

Обратите внимание, что вклад из-за скачков в цене облигации не появляется в этом уравнении. ${\ Displaystyle А (т)}$

Дивидендная ставка

Каждая акция может иметь соответствующий дивиденд процесс ставки дает норму выплаты дивидендов на единицу стоимости акций во время . Учет этого в модели дает процесс доходности : ${\ Displaystyle \ дельта _ {п} (т)}$${\ displaystyle t}$${\ Displaystyle Y_ {п} (т)}$

${\ displaystyle dY_ {n} (t) = S_ {n} (t) \ left [b_ {n} (t) dt + dA (t) + \ sum _ {d = 1} ^ {D} \ sigma _ {n, d} (t) dW_ {d} (t) + \ delta _ {n} (t) \ right], \ quad \ forall 0 \ leq t \ leq T, \ quad n = 1 \ ldots N. }$

Портфолио и процессы получения

Определение

Рассмотрим финансовый рынок . ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} = (г, \ mathbf {b}, \ mathbf {\ delta}, \ mathbf {\ sigma}, A, \ mathbf {S} (0))}$

Процесс портфеля для этого рынка является измеримым, оцениваются процессом таким образом, что: ${\ displaystyle (\ pi _ {0}, \ pi _ {1}, \ ldots \ pi _ {N})}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} (т)}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {N + 1}}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {T} | \ sum _ {n = 0} ^ {N} \ pi _ {n} (t) | \ left [| r (t) | dt + dA (t ) \ right] <\ infty}$, почти наверняка ,

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {T} | \ sum _ {n = 1} ^ {N} \ pi _ {n} (t) [b_ {n} (t) + \ mathbf {\ delta} _ {n} (t) -r (t)] | dt <\ infty}$, почти наверняка, и

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {T} \ sum _ {d = 1} ^ {D} | \ sum _ {n = 1} ^ {N} \ mathbf {\ sigma} _ {n, d} (t) \ pi _ {n} (t) | ^ {2} dt <\ infty}$, почти наверняка.

Процесс получения прибыли для этого портфеля:

${\ Displaystyle G (т) \ треугольник q \ int _ {0} ^ {t} \ left [\ sum _ {n = 0} ^ {N} \ pi _ {n} (t) \ right] \ left (r (s) ds + dA (s) \ right) + \ int _ {0} ^ {t} \ left [\ sum _ {n = 1} ^ {N} \ pi _ {n} (t) \ left ( b_ {n} (t) + \ mathbf {\ delta} _ {n} (t) -r (t) \ right) \ right] dt + \ int _ {0} ^ {t} \ sum _ {d = 1 } ^ {D} \ sum _ {n = 1} ^ {N} \ mathbf {\ sigma} _ {n, d} (t) \ pi _ {n} (t) dW_ {d} (s) \ quad 0 \ leq t \ leq T}$

Мы говорим, что портфель самофинансируется, если:

${\ Displaystyle G (т) = \ сумма _ {п = 0} ^ {N} \ pi _ {п} (т)}$.

Оказывается, что для самофинансируемого портфеля соответствующая стоимость определяется из и поэтому иногда упоминается как процесс портфеля. Также подразумевается заимствование денег на денежном рынке, в то время как подразумевается занятие короткой позиции по акциям. ${\ displaystyle \ pi _ {0}}$${\ displaystyle \ pi = (\ pi _ {1}, \ ldots \ pi _ {N})}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle \ pi _ {0} <0}$${\ displaystyle \ pi _ {n} <0}$

Термин в SDE - процесс премии за риск , и это компенсация, полученная в обмен на инвестирование в -ю акцию. ${\ displaystyle b_ {n} (t) + \ mathbf {\ delta} _ {n} (t) -r (t)}$${\ Displaystyle G (т)}$${\ displaystyle n}$

Мотивация

Рассмотрим временные интервалы , и пусть будет количество акций актива , удерживаемых в портфеле в течение временного интервала во времени . Для того, чтобы избежать случая инсайдерской торговли (то есть предвидение будущего), необходимо, чтобы это измеримое. ${\ displaystyle 0 = t_ {0} <t_ {1} <\ ldots <t_ {M} = T}$${\ Displaystyle \ ню _ {п} (т_ {м})}$${\ Displaystyle п = 0 \ ldots N}$${\ Displaystyle [т_ {м}, т_ {м + 1} \; т = 0 \ ldots M-1}$${\ Displaystyle \ ню _ {п} (т_ {м})}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} (т_ {м})}$

Следовательно, дополнительная прибыль на каждом торговом интервале из такого портфеля составляет:

${\ Displaystyle G (0) = 0,}$

${\ Displaystyle G (t_ {m + 1}) - G (t_ {m}) = \ sum _ {n = 0} ^ {N} \ nu _ {n} (t_ {m}) [Y_ {n} (t_ {m + 1}) - Y_ {n} (t_ {m})], \ quad m = 0 \ ldots M-1,}$

и - общая прибыль с течением времени , тогда как общая стоимость портфеля равна . ${\ displaystyle G (t_ {m})}$${\ displaystyle [0, t_ {m}]}$${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {N} \ nu _ {n} (t_ {m}) S_ {n} (t_ {m})}$

Определите , дайте временному разделу обнулить и замените, как определено ранее, чтобы получить соответствующее SDE для процесса усиления. Здесь обозначается сумма в долларах, вложенная в актив на данный момент , а не количество акций. ${\ Displaystyle \ пи _ {п} (т) \ треугольник \ ню _ {п} (т)}$${\ Displaystyle Y (т)}$${\ Displaystyle \ pi _ {п} (т)}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle t}$

Доходы и процессы благосостояния

Определение

Учитывая финансовый рынок , то кумулятивный процесс дохода является семимартингалом и представляет собой доход , накопленный за время , в связи с другими , чем инвестиции в источники активов финансового рынка. ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}}}$ ${\ Displaystyle \ Гамма (т) \; 0 \ Leq т \ Leq T}$${\ displaystyle [0, t]}$${\ displaystyle N + 1}$

Затем процесс получения благосостояния определяется как: ${\ Displaystyle X (т)}$

${\ Displaystyle Икс (т) \ треугольник G (т) + \ Гамма (т)}$

и представляет собой общее состояние инвестора на данный момент . Портфель считается финансируемым, если: ${\ Displaystyle 0 \ Leq T \ Leq T}$${\ displaystyle \ Gamma (t)}$

${\ Displaystyle X (t) = \ sum _ {n = 0} ^ {N} \ pi _ {n} (t).}$

Соответствующее SDE для процесса благосостояния с помощью соответствующих замен становится:

${\ displaystyle dX (t) = d \ Gamma (t) + X (t) \ left [r (t) dt + dA (t) \ right] + \ sum _ {n = 1} ^ {N} \ left [\ pi _ {n} (t) \ left (b_ {n} (t) + \ delta _ {n} (t) -r (t) \ right) \ right] + \ sum _ {d = 1} ^ {D} \ left [\ sum _ {n = 1} ^ {N} \ pi _ {n} (t) \ sigma _ {n, d} (t) \ right] dW_ {d} (t)}$.

Обратите внимание, что опять же, в этом случае значение может быть определено из . ${\ displaystyle \ pi _ {0}}$${\ Displaystyle \ пи _ {п}, \; п = 1 \ ldots N}$

Жизнеспособные рынки

Стандартная теория математических финансов ограничена жизнеспособными финансовыми рынками, то есть теми, на которых нет возможностей для арбитража . Если такие возможности существуют, это подразумевает возможность получения сколь угодно большой безрисковой прибыли.

Определение

На финансовом рынке процесс самофинансирования портфеля считается возможностью арбитража, если связанный с ним процесс получения прибыли , почти наверняка и строго. Рынок, на котором нет такого портфеля, считается жизнеспособным . ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}}}$${\ Displaystyle \ пи (т)}$${\ Displaystyle G (T) \ geq 0}$${\ Displaystyle P [G (T)> 0]> 0}$${\ Displaystyle {\ mathcal {M}}}$

Подразумеваемое

На жизнеспособном рынке существует адаптированный процесс, такой, что почти для каждого : ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} (т)}$${\ displaystyle \ theta: [0, T] \ times \ mathbb {R} ^ {D} \ rightarrow \ mathbb {R}}$${\ displaystyle t \ in [0, T]}$

${\ displaystyle b_ {n} (t) + \ mathbf {\ delta} _ {n} (t) -r (t) = \ sum _ {d = 1} ^ {D} \ sigma _ {n, d} (t) \ theta _ {d} (t)}$.

Это называется рыночной ценой риска и связывает премию за акцию с ее волатильностью . ${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle \ sigma _ {п, \ cdot}}$

И наоборот, если существует D-мерный процесс , удовлетворяющий вышеуказанному требованию, и: ${\ Displaystyle \ theta (т)}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {T} \ sum _ {d = 1} ^ {D} | \ theta _ {d} (t) | ^ {2} dt <\ infty}$

${\ Displaystyle \ mathbb {E} \ left [\ exp \ left \ {- \ int _ {0} ^ {T} \ sum _ {d = 1} ^ {D} \ theta _ {d} (t) dW_ {d} (t) - {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {T} \ sum _ {d = 1} ^ {D} | \ theta _ {d} (t) | ^ {2} dt \ right \} \ right] = 1}$,

тогда рынок жизнеспособен.

Кроме того, на жизнеспособном рынке может быть только один денежный рынок (облигация) и, следовательно, только одна безрисковая ставка. Следовательно, если -я акция не влечет за собой риска (т.е. ) и не приносит дивидендов (т.е. ), то ее норма доходности равна ставке денежного рынка (т.е. ), а ее цена соответствует цене облигации (т.е. ). ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ sigma _ {n, d} = 0, \; d = 1 \ ldots D}$${\ Displaystyle \ дельта _ {п} (т) = 0}$${\ displaystyle b_ {n} (t) = r (t)}$${\ Displaystyle S_ {n} (t) = S_ {n} (0) S_ {0} (t)}$

Стандартный финансовый рынок

Определение

Финансовый рынок считается стандартным, если: ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}}}$

(i) Это жизнеспособно.

(ii) Количество акций не превышает размер основного процесса броуновского движения .${\ displaystyle N}$${\ displaystyle D}$${\ Displaystyle \ mathbf {W} (т)}$

(iii) Рыночная цена процесса риска удовлетворяет: ${\ displaystyle \ theta}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {T} \ sum _ {d = 1} ^ {D} | \ theta _ {d} (t) | ^ {2} dt <\ infty}$, почти наверняка.

(iv) Позитивный процесс - это мартингал .${\ displaystyle Z_ {0} (t) = \ exp \ left \ {- \ int _ {0} ^ {t} \ sum _ {d = 1} ^ {D} \ theta _ {d} (t) dW_ {d} (t) - {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {t} \ sum _ {d = 1} ^ {D} | \ theta _ {d} (t) | ^ {2} dt \ right \}}$

Комментарии

В случае, если количество акций превышает размер , в нарушение пункта (ii) из линейной алгебры, можно увидеть, что есть акции, волатильность которых (заданная вектором ) является линейной комбинацией волатильностей других акций ( потому что ранг есть ). Таким образом, акции могут быть заменены эквивалентными паевыми фондами. ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle ND}$${\ displaystyle (\ sigma _ {n, 1} \ ldots \ sigma _ {n, D})}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle D}$

Стандарт мартингальной мера на для стандартного рынка, определяются как: ${\ displaystyle P_ {0}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} (Т)}$

${\ Displaystyle P_ {0} (А) \ треугольник \ mathbb {E} [Z_ {0} (T) \ mathbf {1} _ {A}], \ quad \ forall A \ in {\ mathcal {F}} (T)}$.

Обратите внимание , что и являются абсолютно непрерывными по отношению друг к другу, то есть они эквивалентны. Также, согласно теореме Гирсанова , ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle P_ {0}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {W} _ {0} (т) \ треугольник \ mathbf {W} (т) + \ int _ {0} ^ {t} \ theta (s) ds}$,

является -мерным процессом броуновского движения при фильтрации по . ${\ displaystyle D}$${\ Displaystyle \ {{\ mathcal {F}} (т); \; 0 \ Leq т \ Leq T \}}$${\ displaystyle P_ {0}}$

Полные финансовые рынки

Полный финансовый рынок - это такой рынок, который позволяет эффективно хеджировать риск, присущий любой инвестиционной стратегии.

Определение

Позвольте быть стандартным финансовым рынком и быть измеряемой случайной величиной, такой что: ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}}}$${\ displaystyle B}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} (Т)}$

${\ displaystyle P_ {0} \ left [{\ frac {B} {S_ {0} (T)}}> - \ infty \ right] = 1}$.

${\ Displaystyle х \ треугольникq \ mathbb {E} _ {0} \ left [{\ frac {B} {S_ {0} (T)}} \ right] <\ infty}$,

Рынок считается завершенным, если каждый из них является финансируемым , т. Е. Если существует процесс -финансирование портфеля , такой, что связанный с ним процесс обеспечения благосостояния удовлетворяет ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}}}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle (\ пи _ {п} (т); \; п = 1 \ ldots N)}$${\ Displaystyle X (т)}$

${\ Displaystyle X (t) = B}$, почти наверняка.

Мотивация

Если конкретная инвестиционная стратегия требует своевременной выплаты , размер которой неизвестен , тогда консервативная стратегия будет состоять в том, чтобы отложить сумму , чтобы покрыть платеж. Однако на полноценном рынке можно отложить меньше капитала (а именно ) и инвестировать его так, чтобы со временем он вырос до размера . ${\ displaystyle B}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle t = 0}$${\ Displaystyle х = \ sup _ {\ omega} B (\ omega)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle B}$

Следствие

Стандартный финансовый рынок является полным тогда и только тогда , когда волатильный процесс не является сингулярным почти для каждого в отношении меры Лебега . ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}}}$${\ Displaystyle N = D}$${\ Displaystyle N \ раз D}$${\ Displaystyle \ sigma (т)}$${\ displaystyle t \ in [0, T]}$

Смотрите также

• Модель Блэка – Шоулза
• Ценообразование по мартингейлу
• Математические финансы
• Метод Монте-Карло

Примечания

использованная литература

Карацас, Иоаннис; Шрив, Стивен Э. (1998). Методы математических финансов . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-94839-2.

Корн, Ральф; Корн, Эльке (2001). Ценообразование опционов и оптимизация портфеля: современные методы финансовой математики . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 0-8218-2123-7.

Мертон, Р.К. (1 августа 1969 г.). «Пожизненный выбор портфеля в условиях неопределенности: случай непрерывного времени» (PDF) . Обзор экономики и статистики . 51 (3): 247–257. DOI : 10.2307 / 1926560 . ISSN  0034-6535 . JSTOR  1926560 . S2CID  8863885 . Архивировано из оригинального (PDF) 12 ноября 2019 года.

Мертон, Р.К. (1970). «Оптимальное потребление и правила портфеля в модели непрерывного времени». Журнал экономической теории . 3 (4): 373–413. DOI : 10.1016 / 0022-0531 (71) 90038-х . ЛВП : 1721,1 / 63980 .