Теория возмущений резонатора - Cavity perturbation theory

Теория возмущений резонатора описывает методы вывода формул возмущения для изменения характеристик объемного резонатора.

Предполагается, что эти изменения производительности вызваны либо попаданием в полость небольшого постороннего предмета, либо небольшой деформацией ее границы.

Различные математические методы могут быть использованы для изучения характеристик резонаторов, которые важны в области микроволновых систем и, в более общем плане, в области электромагнетизма.

Объемные резонаторы находят множество промышленных применений, включая микроволновые печи, системы микроволновой связи и системы удаленной визуализации, использующие электромагнитные волны.

То, как работает резонансная полость, может повлиять на количество энергии, необходимое для ее резонанса, или на относительную стабильность или нестабильность системы.

Вступление

Когда резонансная полость возмущается, например, введением в полость постороннего предмета с различными свойствами материала или когда форма полости слегка изменяется, электромагнитные поля внутри полости соответственно изменяются. Это означает, что все резонансные моды (т.е. квазинормальная мода ) невозмущенного резонатора слегка изменяются. Аналитическое предсказание того, как возмущение изменяет оптический отклик, является классической задачей в электромагнетизме, с важными последствиями, простирающимися от радиочастотной области до современной нанооптики. Основное предположение теории возмущений полости состоит в том, что электромагнитные поля внутри полости после изменения отличаются на очень небольшую величину от полей до изменения. Затем уравнения Максвелла для исходных и возмущенных резонаторов можно использовать для получения аналитических выражений для результирующего сдвига резонансной частоты и изменения ширины линии (или изменения добротности ), обращаясь только к исходной невозмущенной моде (а не к возмущенной).

Общая теория

Частоты резонатора удобно обозначать комплексным числом , где - угловая резонансная частота, а - величина, обратная времени жизни моды. Теория возмущений резонатора была первоначально предложена Бете-Швингером в оптике и Уолдроном в области радиочастот. Эти начальные подходы основаны на формулах, которые учитывают запасенную энергию ${\ Displaystyle {\ тильда {\ omega}} = \ omega -i \ gamma / 2}$${\ displaystyle \ omega = Re ({\ тильда {\ omega}})}$${\ displaystyle \ gamma = 2Im ({\ тильда {\ omega}})}$

${\ displaystyle {\ frac {{\ tilde {\ omega}} - {\ tilde {\ omega}} _ {0}} {{\ tilde {\ omega}} _ {0}}} \ Thickapprox - {\ frac {\ iiint _ {V} (\ mu _ {0} | H_ {0} | ^ {2} + \ Delta \ epsilon | E_ {0} | ^ {2}) dv} {\ iiint _ {V} ( \ mu _ {0} | H_ {0} | ^ {2} + \ epsilon | E_ {0} | ^ {2}) dv}} \,}$

( 1 )

где и являются комплексными частотами возмущенного и невозмущенных мод резонатора, а также и являются электромагнитными полями невозмущенного режима (изменение проницаемости не считаются для простоты). Выражение ( 1 ) основывается на соображениях накопленной энергии. Последние интуитивно понятны, поскольку здравый смысл подсказывает, что максимальное изменение резонансной частоты происходит, когда возмущение помещается на максимум интенсивности моды резонатора. Однако учет энергии в электромагнетизме справедлив только для эрмитовых систем, для которых сохраняется энергия. Для полостей энергия сохраняется только в пределе очень небольшой утечки (бесконечные Q), так что выражение ( 1 ) действительно только в этом пределе. Например, очевидно, что выражение ( 1 ) предсказывает изменение Q-фактора ( ), только если оно комплексное, т.е. только если возмущающий фактор является абсорбирующим. Ясно, что это не так, и хорошо известно, что диэлектрическое возмущение может увеличивать или уменьшать добротность. ${\ displaystyle {\ tilde {\ omega}}}$${\ displaystyle {\ tilde {\ omega}} _ {0}}$${\ displaystyle H_ {0}}$${\ displaystyle E_ {0}}$${\ displaystyle Im ({\ tilde {\ omega}} - {\ tilde {\ omega}} _ {0})}$${\ displaystyle \ Delta \ epsilon}$

Проблемы возникают из-за того, что резонатор - это открытая неэрмитова система с утечкой и поглощением. Теория неэрмитовых электромагнитных систем отказывается от энергии, то есть продуктов, и, скорее, фокусируется на продуктах, которые представляют собой сложные величины, мнимая часть которых связана с утечкой. Чтобы подчеркнуть разницу между нормальными модами эрмитовых систем и резонансными модами вытекающих систем, резонансные моды часто называют квазинормальными модами . В этой схеме частотный сдвиг и изменение Q предсказываются ${\ displaystyle | EE |}$${\ displaystyle EE}$

${\ displaystyle {\ frac {{\ tilde {\ omega}} - {\ tilde {\ omega}} _ {0}} {{\ tilde {\ omega}} _ {0}}} \ Thickapprox - {\ frac {\ iiint _ {V} (\ mu _ {0} H_ {0} ^ {2} + \ Delta \ epsilon E_ {0} ^ {2}) dv} {\ iiint _ {V} (\ mu _ { 0} H_ {0} ^ {2} + \ epsilon E_ {0} ^ {2}) dv}} \,}$

( 2 )

Точность основного уравнения 2 была проверена на множестве сложных геометрий. Для низкодобротных резонаторов, таких как плазмонные нанорезонаторы, которые используются для зондирования, было показано , что уравнение 2 предсказывает как сдвиг, так и расширение резонанса с высокой точностью, тогда как уравнение 1 неверно предсказывает и то, и другое. Для фотонных резонаторов с высокой добротностью, таких как резонаторы фотонного кристалла или микрокольца, эксперименты показали, что уравнение 2 точно предсказывает как сдвиг, так и изменение добротности, тогда как уравнение 1 предсказывает только сдвиг. Следующее написано с помощью произведений, но его лучше понять с помощью произведений теории квазинормальных режимов . ${\ displaystyle | EE |}$${\ displaystyle EE}$

Материальное возмущение

Возмущение материала полости

Когда материал внутри полости изменяется ( диэлектрическая проницаемость и / или проницаемость ), соответствующее изменение резонансной частоты можно приблизительно представить как:

${\ displaystyle {\ frac {\ omega - \ omega _ {0}} {\ omega _ {0}}} \ Thickapprox - {\ frac {\ iiint _ {V} (\ Delta \ mu | H_ {0} | ^ {2} + \ Delta \ epsilon | E_ {0} | ^ {2}) dv} {\ iiint _ {V} (\ mu | H_ {0} | ^ {2} + \ epsilon | E_ {0} | ^ {2}) dv}} \,}$

( 3 )

где - угловая резонансная частота возмущенной полости, - это резонансная частота исходной полости, и представляют собой исходное электрическое и магнитное поле соответственно, и являются исходной проницаемостью и диэлектрической проницаемостью соответственно, в то время как и - изменения исходной проницаемости и диэлектрической проницаемости, вызванные изменением материала. . ${\ displaystyle \ omega}$ ${\ displaystyle \ omega _ {0}}$${\ displaystyle E_ {0}}$${\ displaystyle H_ {0}}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ epsilon}$${\ displaystyle \ Delta \ mu}$${\ displaystyle \ Delta \ epsilon}$

Выражение ( 3 ) можно переписать в терминах накопленных энергий как:

${\ displaystyle {\ frac {\ omega - \ omega _ {0}} {\ omega _ {0}}} \ Thickapprox - {\ frac {1} {W}} \ iiint _ {V} ({\ frac { \ Delta \ epsilon} {\ epsilon}} \ cdot {\ bar {w_ {e}}} + {\ frac {\ Delta \ mu} {\ mu}} \ cdot {\ bar {w_ {m}}}) dv \,}$

( 4 )

где W - полная энергия, запасенная в исходном резонаторе, и - плотности электрической и магнитной энергии соответственно. ${\ displaystyle {\ bar {w_ {e}}}}$${\ displaystyle {\ bar {w_ {m}}}}$

Возмущение формы

Нарушение формы полости

При изменении общей формы резонансной полости соответствующее изменение резонансной частоты можно приблизительно представить как:

${\ displaystyle {\ frac {\ omega - \ omega _ {0}} {\ omega _ {0}}} \ Thickapprox {\ frac {\ iiint _ {\ Delta V} (\ mu | H_ {0} | ^ {2} - \ epsilon | E_ {0} | ^ {2}) dv} {\ iiint _ {V} (\ mu | H_ {0} | ^ {2} + \ epsilon | E_ {0} | ^ { 2}) dv}} \,}$

( 5 )

Выражение ( 5 ) для изменения резонансной частоты может быть дополнительно записано в терминах средней по времени сохраненной энергии как:

${\ displaystyle {\ frac {\ omega - \ omega _ {0}} {\ omega _ {0}}} \ Thickapprox {\ frac {\ Delta W_ {m} - \ Delta W_ {e}} {W_ {m } + W_ {e}}} \,}$

( 6 )

где и представляют собой средние по времени электрическую и магнитную энергии, содержащиеся в . ${\ displaystyle \ Delta W_ {m}}$${\ displaystyle \ Delta W_ {e}}$${\ displaystyle \ Delta V}$

Это выражение также может быть записано в терминах плотности энергии как:

${\ displaystyle {\ frac {\ omega - \ omega _ {0}} {\ omega _ {0}}} \ Thickapprox {\ frac {({\ bar {w_ {m}}} - {\ bar {w_ { e}}}) \ cdot \ Delta V} {W}} \,}$

( 7 )

Значительное повышение точности предсказательной силы уравнения ( 5 ) может быть достигнуто за счет включения поправок на локальное поле, которые просто являются результатом условий границы раздела для электромагнитных полей , которые различаются для векторов поля смещения и электрического поля на границах формы.

Приложения

Методы микроволновых измерений, основанные на теории возмущений полости, обычно используются для определения диэлектрических и магнитных параметров материалов и различных компонентов схемы, таких как диэлектрические резонаторы . Поскольку предварительное знание резонансной частоты, сдвига резонансной частоты и электромагнитных полей необходимо для экстраполяции свойств материала, эти методы измерения обычно используют стандартные резонансные полости, где резонансные частоты и электромагнитные поля хорошо известны. Двумя примерами таких стандартных резонансных резонаторов являются прямоугольные и круглые волноводные резонаторы и резонаторы коаксиальных кабелей . Методы измерения возмущений резонатора для определения характеристик материалов используются во многих областях, от физики и материаловедения до медицины и биологии.

Примеры

${\ displaystyle TE_ {10n}}$ прямоугольный волноводный резонатор

Образец материала введен в резонатор прямоугольного волновода.

Для резонатора прямоугольного волновода хорошо известно распределение поля доминирующей моды. В идеале измеряемый материал вводится в полость в положении максимального электрического или магнитного поля. Когда материал вводится в положение максимального электрического поля, тогда вклад магнитного поля в возмущенный сдвиг частоты очень мал, и им можно пренебречь. В этом случае мы можем использовать теорию возмущений, чтобы получить выражения для действительных и мнимых компонентов комплексной диэлектрической проницаемости материала как: ${\ displaystyle TE_ {10n}}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {r} = \ epsilon _ {r} '+ j \ epsilon _ {r}' '}$

${\ displaystyle \ epsilon _ {r} '- 1 = {\ frac {f_ {c} -f_ {s}} {2f_ {s}}} {\ frac {V_ {c}} {V_ {s}}} \,}$

( 8 )

${\ displaystyle \ epsilon _ {r} '' = {\ frac {V_ {c}} {4V_ {s}}} {\ frac {Q_ {c} -Q_ {s}} {Q_ {c} Q_ {s }}} \,}$

( 9 )

где и представляют резонансные частоты исходной полости и возмущенной полости соответственно, и представляют объемы исходной полости и образца материала соответственно, и представляют коэффициенты качества исходной и возмущенной полостей соответственно. ${\ displaystyle f_ {c}}$${\ displaystyle f_ {s}}$${\ displaystyle V_ {c}}$${\ displaystyle V_ {s}}$${\ displaystyle Q_ {c}}$${\ displaystyle Q_ {s}}$

Как только комплексная диэлектрическая проницаемость материала известна, мы можем легко вычислить его эффективную проводимость и тангенс угла диэлектрических потерь как: ${\ displaystyle \ sigma _ {e}}$ ${\ displaystyle \ tan \ delta}$

${\ displaystyle \ sigma _ {e} = \ omega \ epsilon '' = 2 \ pi f \ epsilon _ {0} \ epsilon _ {r} '' \,}$

( 10 )

${\ displaystyle tan \ delta = {\ frac {\ epsilon _ {r} ''} {\ epsilon _ {r} '}} \,}$

( 11 )

где f - интересующая частота, а - диэлектрическая проницаемость свободного пространства. ${\ displaystyle \ epsilon _ {0}}$

Точно так же, если материал вводится в полость в положении максимального магнитного поля, то вклад электрического поля в возмущенный частотный сдвиг очень мал, и им можно пренебречь. В этом случае мы можем использовать теорию возмущений, чтобы получить выражения для комплексной проницаемости материала как: ${\ displaystyle \ mu _ {r} = \ mu _ {r} '+ j \ mu _ {r}' '}$

${\ displaystyle \ mu _ {r} '- 1 = ({\ frac {\ lambda _ {g} ^ {2} + 4a ^ {2}} {8a ^ {2}}}) ({\ frac {f_ {c} -f_ {s}} {f_ {s}}}) ({\ frac {V_ {c}} {V_ {s}}}) \,}$

( 12 )

${\ displaystyle \ mu _ {r} '' = ({\ frac {\ lambda _ {g} ^ {2} + 4a ^ {2}} {16a ^ {2}}}) ({\ frac {V_ { c}} {V_ {s}}}) ({\ frac {Q_ {c} -Q_ {s}} {Q_ {c} Q_ {s}}}) \,}$

( 13 )

где - длина направляющей волны (рассчитывается как ). ${\ displaystyle \ lambda _ {g}}$${\ displaystyle \ lambda _ {g} = {\ frac {2l} {n}}}$

Рекомендации