Треугольное число по центру - Centered triangular number

По центру (или по центру ) треугольное числом является центр фигурного числа , которое представляет собой треугольник с точкой в центре и все другие точками , окружающих центр в последовательных слоях треугольных. Центрированное треугольное число для n определяется формулой

{\ displaystyle {\ frac {3n ^ {2} + 3n + 2} {2}}.}

На следующем изображении показано построение центрированных треугольных чисел с использованием связанных фигур: на каждом шаге предыдущая фигура, показанная красным, окружается треугольником новых точек синего цвета.

Первые несколько центрированных треугольных чисел:

1 , 4 , 10 , 19 , 31 , 46 , 64 , 85 , 109 , 136 , 166 , 199 , 235 , 274 , 316, 361, 409, 460, 514, 571, 631, 694, 760, 829, 901, 976, 1054, 1135, 1219, 1306, 1396, 1489, 1585, 1684, 1786, 1891, 1999, 2110, 2224, 2341, 2461, 2584, 2710, 2839, 2971,… (последовательность A005448 в OEIS ).

Каждое центрированное треугольное число, начиная с 10, является суммой трех последовательных правильных треугольных чисел . Также каждое центрированное треугольное число имеет остаток 1 при делении на три, а частное (если оно положительное) является предыдущим правильным треугольным числом.

Сумма первого п по центру треугольных чисел является постоянная волшебной для п по п нормальным квадрата магического для п > 2.

Гномон

Гномон в n'th центре треугольной формы составляет: ${\ displaystyle {\ frac {3 (n + 1) ^ {2} +3 (n + 1) +2} {2}} - {\ frac {3n ^ {2} + 3n + 2} {2}} = {\ frac {3n ^ {2} + 9n + 8-3n ^ {2} -3n-2} {2}} = {\ frac {6n + 6} {2}} = 3n + 3.}$