Гипотеза Крамера - Cramér's conjecture

В теории чисел , гипотеза Крамера , сформулированная шведской математик Харальд Крамер в 1936 году, является оценкой размера промежутков между последовательными простыми числами : интуитивно, что промежутки между последовательными простыми числами всегда малы, и гипотезой квантифицирует асимптотический насколько они малы должно быть. В нем говорится, что

${\ displaystyle p_ {n + 1} -p_ {n} = O ((\ log p_ {n}) ^ {2}), \}$

где p _n обозначает n- е простое число , O - нотация большого O , а log - натуральный логарифм . Хотя это утверждение явно выдвинуто Крамером, его эвристика фактически поддерживает более сильное утверждение

${\ displaystyle \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {p_ {n + 1} -p_ {n}} {(\ log p_ {n}) ^ {2}}} = 1,}$

и иногда эту формулировку называют гипотезой Крамера. Однако эта более сильная версия не поддерживается более точными эвристическими моделями, которые, тем не менее, подтверждают первую версию гипотезы Крамера. Ни одна из форм еще не доказана или опровергнута.

Условно доказанные результаты на простых промежутках

Крамер дал условное доказательство гораздо более слабого утверждения, что

${\ displaystyle p_ {n + 1} -p_ {n} = O ({\ sqrt {p_ {n}}} \, \ log p_ {n})}$

в предположении гипотезы Римана . Самая известная безусловная оценка

${\ displaystyle p_ {n + 1} -p_ {n} = O (p_ {n} ^ {0.525})}$

из-за Бейкера, Хармана и Пинца .

В другом направлении Э. Вестзинтиус доказал в 1931 г., что промежутки между простыми числами растут более чем логарифмически. Это,

${\ displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ frac {p_ {n + 1} -p_ {n}} {\ log p_ {n}}} = \ infty.}$

Его результат улучшил Р. А. Ранкин , который доказал, что

${\ displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ frac {p_ {n + 1} -p_ {n}} {\ log p_ {n}}} \ cdot {\ frac {\ left (\ log \ log \ log p_ {n} \ right) ^ {2}} {\ log \ log p_ {n} \ log \ log \ log \ log p_ {n}}}> 0.}$

Пол Эрдеш предположил, что левая часть приведенной выше формулы бесконечна, и это было доказано в 2014 году Кевином Фордом , Беном Грином , Сергеем Конягиным и Теренсом Тао .

Эвристическое обоснование

Гипотеза Крамера основана на вероятностной модели - по сути эвристической, - в которой вероятность того, что число размера x является простым, равна 1 / log x . Это известно как случайная модель Крамера или модель Крамера простых чисел.

В случайной модели Крамера

${\ displaystyle \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {p_ {n + 1} -p_ {n}} {\ log ^ {2} p_ {n}}} = 1}$

с вероятностью один . Однако, как указал Эндрю Гранвилл , теорема Майера показывает, что случайная модель Крамера неадекватно описывает распределение простых чисел на коротких интервалах, а уточнение модели Крамера с учетом делимости на малые простые числа предполагает, что ( OEIS :  A125313 ), где - постоянная Эйлера – Маскерони . Янош Пинц предположил, что предел sup может быть бесконечным, и аналогично Леонард Адлеман и Кевин МакКерли пишут ${\ displaystyle c \ geq 2e ^ {- \ gamma} \ приблизительно 1,1229 \ ldots}$${\ displaystyle \ gamma}$

В результате работы Х. Майера над промежутками между последовательными простыми числами точная формулировка гипотезы Крамера была поставлена ​​под сомнение [...] Вероятно, все еще верно, что для каждой константы существует такая константа , что существует штрих между и .${\ displaystyle c> 2}$${\ displaystyle d> 0}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle х + d (\ журнал х) ^ {с}}$

Связанные предположения и эвристики

Дэниел Шанкс предположил следующее асимптотическое равенство, более сильное, чем гипотеза Крамера, для пробелов в рекордах: ${\ Displaystyle G (x) \ sim \ log ^ {2} x.}$

Дж. Х. Кэдвелл предложил формулу максимальных зазоров: которая формально идентична гипотезе Шанкса, но предлагает член более низкого порядка. ${\ Displaystyle G (х) \ sim \ журнал х (\ журнал х- \ журнал \ журнал х),}$

Марек Вольф предложил формулу максимальных промежутков, выраженную через функцию подсчета простых чисел : ${\ Displaystyle G (х)}$ ${\ Displaystyle \ пи (х)}$

${\ displaystyle G (x) \ sim {\ frac {x} {\ pi (x)}} (2 \ log \ pi (x) - \ log x + c_ {0}),}$

где и - удвоенная постоянная двойных простых чисел ; см. OEIS :  A005597 , OEIS :  A114907 . Используя приближение Гаусса, это дает ${\ displaystyle c_ {0} = \ log (C_ {2}) = 0,2778769 ...}$${\ displaystyle C_ {2} = 1,3203236 ...}$ ${\ Displaystyle \ пи (х) \ сим х / \ журнал (х)}$

${\ Displaystyle G (х) \ сим \ журнал (х) (\ журнал х-2 \ журнал \ журнал х),}$

которая при большом также асимптотический эквивалентна догадках Крамер и Shanks: . ${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle G (x) \ sim \ log ^ {2} (x)}$

Томас Найсли рассчитал много больших пробелов между простыми числами. Он измеряет качество соответствия гипотезе Крамера, измеряя отношение

${\ displaystyle R = {\ frac {\ log p_ {n}} {\ sqrt {p_ {n + 1} -p_ {n}}}}.}$

Он пишет: «Для самых больших из известных максимальных зазоров осталось около 1,13». Однако все еще меньше 1. ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle 1 / R ^ {2}}$

Смотрите также

• Теорема о простых числах
• Гипотеза Лежандра и гипотеза Andrica в гораздо более слабые , но все еще непроверенные верхние границы простых пробелов
• Гипотеза Фирозбахта
• Теорема Майера о количестве простых чисел на коротких интервалах, для которых модель предсказывает неправильный ответ

Рекомендации

• Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.). Springer-Verlag . А8. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl  1058.11001 .
• Пинц, Янош (2007). «Крамер против Крамера. О вероятностной модели Крамера для простых чисел» . Функции и приближение математических комментариев . 37 : 361–376. DOI : 10.7169 / FACM / 1229619660 . ISSN  0208-6573 . Руководство по ремонту  2363833 . Zbl  1226.11096 .
• Саундарараджан, К. (2007). «Распределение простых чисел». В Гранвилле, Эндрю ; Рудник, Зеев (ред.). Равное распределение в теории чисел, введение. Труды Института перспективных исследований НАТО по равнораспределенности в теории чисел, Монреаль, Канада, июль 11--22, 2005 . Наука НАТО II: математика, физика и химия. 237 . Дордрехт: Springer-Verlag . С. 59–83. ISBN 978-1-4020-5403-7. Zbl  1141.11043 .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Гипотеза Крамера» . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. "Гипотеза Крамера-Гранвиля" . MathWorld .