Делимая группа - Divisible group

В математике , особенно в области теории групп , делимая группа - это абелева группа, в которой каждый элемент в некотором смысле может быть разделен на положительные целые числа, или, точнее, каждый элемент является n- м кратным для каждого положительного целого числа n. . Делимые группы важны для понимания структуры абелевых групп, особенно потому, что они инъективные абелевы группы.

Определение

Абелева группа является делимым , если для любого положительного целого числа и каждого , существует такое , что . Эквивалентное условие: для любого положительного целого числа , , так как существование для каждого и означает , что и в другом направлении , правда , для каждой группы. Третье эквивалентное условие состоит в том, что абелева группа делима тогда и только тогда, когда является инъективным объектом в категории абелевых групп ; по этой причине делимая группа иногда называется инъективной группой . ${\ Displaystyle (G, +)}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle g \ in G}$${\ displaystyle y \ in G}$${\ displaystyle ny = g}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle nG = G}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle nG \ supseteq G}$${\ displaystyle nG \ substeq G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$

Абелева группа - делится на простое число, если для каждого существует такое, что . Эквивалентно абелева группа -делимая тогда и только тогда, когда . ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle g \ in G}$${\ displaystyle y \ in G}$${\ displaystyle py = g}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle pG = G}$

Примеры

• В рациональных числах образуют делимое группы по сложению.${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$
• В более общем смысле основная аддитивная группа любого векторного пространства над делима.${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$
• Каждый фактор делимой группы делим. Таким образом, делится.${\ Displaystyle \ mathbb {Q} / \ mathbb {Z}}$
• Р - первичный компонент из , который является изоморфной к р - квазициклическая группа делится.${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [1 / p] / \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q} / \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [п ^ {\ infty}]}$
• Мультипликативная группа комплексных чисел делимая.${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {*}}$
• Всякая экзистенциально замкнутая абелева группа (в теоретико-модельном смысле) делима.

Свойства

• Если делимая группа является подгруппой абелевой группы, то она является прямым слагаемым этой абелевой группы.
• Любую абелеву группу можно вложить в делимую группу.
• Нетривиальные делимые группы не конечно порождены .
• Кроме того, каждая абелева группа может быть вложена в делимую группу как существенная подгруппа единственным способом.
• Абелева группа делима тогда и только тогда, когда она p -делима для любого простого числа p .
• Пусть будет кольцо . Если это делимая группа, то инъективен в категории из - модулей . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle \ mathrm {Hom} _ {\ mathbf {Z} {\ text {-Mod}}} (A, T)}$${\ displaystyle A}$

Структурная теорема делимых групп

Пусть G - делимая группа. Тогда периодическая подгруппа Tor ( G ) группы G делима. Так как делимая группа представляет собой инъективный модуль , Тор ( G ) является прямым слагаемым из G . Так

${\ displaystyle G = \ mathrm {Tor} (G) \ oplus G / \ mathrm {Tor} (G).}$

Как фактор делимой группы G / Tor ( G ) делима. Кроме того, он без кручения . Таким образом, это векторное пространство над Q и, значит, существует такое множество I , что

${\ displaystyle G / \ mathrm {Tor} (G) = \ bigoplus _ {i \ in I} \ mathbb {Q} = \ mathbb {Q} ^ {(I)}.}$

Структуру подгруппы кручения определить сложнее, но можно показать, что для всех простых чисел p существует такое, что ${\ displaystyle I_ {p}}$

${\ displaystyle (\ mathrm {Tor} (G)) _ {p} = \ bigoplus _ {i \ in I_ {p}} \ mathbb {Z} [p ^ {\ infty}] = \ mathbb {Z} [ p ^ {\ infty}] ^ {(I_ {p})},}$

где - p -первичная компонента Tor ( G ). ${\ Displaystyle (\ mathrm {Tor} (G)) _ {p}}$

Таким образом, если P - множество простых чисел,

${\ Displaystyle G = \ left (\ bigoplus _ {p \ in \ mathbf {P}} \ mathbb {Z} [p ^ {\ infty}] ^ {(I_ {p})} \ right) \ oplus \ mathbb {Q} ^ {(I)}.}$

Мощности множеств I и I _р для р  ∈  P однозначно определяется группой G .

Инъективный конверт

Как указано выше, любая абелева группа A однозначно вкладывается в делимую группу D как существенная подгруппа . Эта группа делится D является инпективной оболочкой из А , и это понятием является инъективной оболочкой в категории абелевых групп.

Редуцированные абелевы группы

Абелева группа называется редуцированной, если ее единственная делимая подгруппа равна {0}. Каждая абелева группа является прямой суммой делимой подгруппы и редуцированной подгруппы. Фактически, в любой группе существует единственная наибольшая делимая подгруппа, и эта делимая подгруппа является прямым слагаемым. Это особенность наследственных колец, таких как целые числа Z : прямая сумма инъективных модулей инъективна, потому что кольцо нётерово , а факторы инъективных инъективны, потому что кольцо наследственно, поэтому любой подмодуль, порожденный инъективными модулями, инъективен. Обратное является результатом ( Matlis 1958 ): если каждый модуль имеет единственный максимальный инъективный подмодуль, то кольцо наследственно.

Полную классификацию счетных редуцированных периодических абелевых групп дает теорема Ульма .

Обобщение

Несколько различных определений обобщают делимые группы на делимые модули. Для определения делимого модуля M над кольцом R в литературе использовались следующие определения :

1. тм  =  М для всех ненулевых г в R . (Иногда требуется, чтобы r не было делителем нуля, и некоторые авторы требуют, чтобы R было областью .)
2. Для каждого главного левого идеала Ra , любой гомоморфизм из Ra в М продолжается до гомоморфизма из R в M . (Этот тип делимого модуля также называется принципиально инъективным модулем .)
3. Для каждого конечно порожденного левого идеала L из R , любой гомоморфизм из L в М продолжается до гомоморфизма из R в M .

Последние два условия являются «ограниченными версиями» критерия Бэра для инъективных модулей . Поскольку инъективные левые модули продолжают гомоморфизмы всех левых идеалов на R , инъективные модули, очевидно, делимы в смысле 2 и 3.

Если R дополнительно является областью, то все три определения совпадают. Если R - область главных левых идеалов, то делимые модули совпадают с инъективными модулями. Таким образом, в случае кольца целых чисел Z , которое является областью главных идеалов, Z -модуль (который в точности является абелевой группой) делим тогда и только тогда, когда он инъективен.

Если R - коммутативная область, то инъективные R- модули совпадают с делимыми R- модулями тогда и только тогда, когда R - дедекиндова область .

Смотрите также

• Инъективный объект
• Инъективный модуль

Ноты

Ссылки

• Картан, Анри ; Эйленберг, Самуэль (1999), Гомологическая алгебра , Princeton Landmarks in Mathematics, Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. Xvi + 390, ISBN 0-691-04991-2, Руководство по ремонту  1731415С приложением Дэвида А. Бухсбаума; Перепечатка оригинала 1956 г.
• Файгельсток, Шалом (2006), «Делимое инъективно», Soochow J. Math. , 32 (2): 241–243, ISSN  0250-3255 , MR  2238765
• Гриффит, Филипп А. (1970). Теория бесконечных абелевых групп . Чикагские лекции по математике. Издательство Чикагского университета. ISBN 0-226-30870-7.
• Холл, Маршалл-младший (1959). Теория групп . Нью-Йорк: Макмиллан. Глава 13.3.
• Каплански, Ирвинг (1965). Бесконечные абелевы группы . Пресса Мичиганского университета.
• Фукс, Ласло (1970). Бесконечные абелевы группы Том 1 . Академическая пресса.
• Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам , Тексты для выпускников по математике № 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0525-8 , ISBN 978-0-387-98428-5, Руководство по ремонту  1653294
• Серж Ланг (1984). Алгебра, второе издание . Менло-Парк, Калифорния: Аддисон-Уэсли.
• Матлис, Эбен (1958). «Инъективные модули над нётеровыми кольцами» . Тихоокеанский математический журнал . 8 : 511–528. DOI : 10,2140 / pjm.1958.8.511 . ISSN  0030-8730 . Руководство по ремонту  0099360 .
• Николсон, WK; Юсиф, MF (2003), Квазифробениусовые кольца , Cambridge Tracts in Mathematics, 158 , Cambridge: Cambridge University Press, стр. Xviii + 307, DOI : 10.1017 / CBO9780511546525 , ISBN 0-521-81593-2, MR  2003785