Теорема о краю клина - Edge-of-the-wedge theorem

В математике из теоремы Боголюбова о ребре клина следует, что голоморфные функции на двух «клиньях» с общим «ребром» являются аналитическими продолжениями друг друга при условии, что обе они дают одну и ту же непрерывную функцию на ребре. Он используется в квантовой теории поля , чтобы построить аналитическое продолжение из функций Вайтмана . Формулировка и первое доказательство теоремы были представлены Николаем Боголюбовым на Международной конференции по теоретической физике в Сиэтле, США (сентябрь 1956 г.), а также опубликованы в книге « Проблемы теории дисперсионных соотношений» . Дальнейшие доказательства и обобщения теоремы были даны Р. Йостом и Х. Леманом (1957), Ф. Дайсоном (1958), Х. Эпштейном (1960) и другими исследователями.

Одномерный случай

Непрерывные граничные значения

В одном измерении простой случай теоремы о крае клина может быть сформулирован следующим образом.

• Предположим, что f - непрерывная комплекснозначная функция на комплексной плоскости , голоморфная на верхней полуплоскости и на нижней полуплоскости . Тогда он везде голоморфен.

В этом примере два клина - это верхняя полуплоскость и нижняя полуплоскость, а их общий край - это действительная ось . Этот результат можно доказать с помощью теоремы Мореры . В самом деле, функция голоморфна, если ее интеграл вокруг любого контура равен нулю; контур, пересекающий действительную ось, может быть разбит на контуры в верхней и нижней полуплоскостях, и интеграл вокруг них по гипотезе равен нулю.

Граничные значения распределения на окружности

Более общий случай сформулирован в терминах распределений. Это технически проще всего в случае, когда общей границей является единичный круг на комплексной плоскости. В этом случае голоморфные функции f , g в областях и имеют разложения Лорана ${\ displaystyle | z | = 1}$${\ Displaystyle г <| г | <1}$${\ Displaystyle 1 <| г | <R}$

${\ Displaystyle е (z) = \ сумма _ {- \ infty} ^ {\ infty} a_ {n} z ^ {n}, \, \, \, \, g (z) = \ sum _ {- \ infty} ^ {\ infty} b_ {n} z ^ {n}}$

абсолютно сходятся в одних и тех же областях и имеют граничные значения распределения, заданные формальным рядом Фурье

${\ Displaystyle е (\ theta) = \ сумма _ {- \ infty} ^ {\ infty} a_ {n} e ^ {in \ theta}, \, \, \, \, g (\ theta) = \ sum _ {- \ infty} ^ {\ infty} b_ {n} e ^ {in \ theta}.}$

Их граничные значения распределения равны, если для всех n . Тогда элементарно, что общий ряд Лорана абсолютно сходится во всей области . ${\ displaystyle a_ {n} = b_ {n}}$${\ Displaystyle г <| г | <R}$

Граничные значения распределения на интервале

В общем случае дан открытый интервал на вещественной оси и голоморфные функции, определенные в и удовлетворяющие ${\ Displaystyle I = (а, Ь)}$${\ displaystyle f _ {+}, \, \, \ f _ {-}}$${\ Displaystyle (а, Ь) \ раз (0, р)}$${\ Displaystyle (а, Ь) \ раз (-R, 0)}$

${\ Displaystyle | е _ {\ pm} (х + iy) | <C | y | ^ {- N}}$

для некоторых неотрицательных целого числа N , граничные значения из могут быть определены как распределения на вещественной ось по формулам ${\ displaystyle T _ {\ pm}}$${\ displaystyle f _ {\ pm}}$

${\ displaystyle \ langle T _ {\ pm}, \ varphi \ rangle = \ lim _ {\ varepsilon \ downarrow 0} \ int f (x \ pm i \ varepsilon) \ varphi (x) \, dx.}$

Существование можно доказать, отметив, что, согласно гипотезе, это -я комплексная производная голоморфной функции, которая продолжается до непрерывной функции на границе. Если f определяется как выше и ниже действительной оси, а F - это распределение, определенное в прямоугольнике по формуле ${\ displaystyle f _ {\ pm} (г)}$${\ Displaystyle (N + 1)}$${\ displaystyle f _ {\ pm}}$${\ Displaystyle (а, Ь) \ раз (-R, R)}$

${\ Displaystyle \ langle F, \ varphi \ rangle = \ int \ int f (x + iy) \ varphi (x, y) \, dx \, dy,}$

тогда F равно отклонению от действительной оси, и распределение индуцируется распределением на действительной оси. ${\ displaystyle f _ {\ pm}}$${\ displaystyle F _ {\ overline {z}}}$${\ displaystyle {1 \ over 2} (T _ {+} - T _ {-})}$

В частности, если применимы условия теоремы о крае клина, т. Е. Тогда ${\ displaystyle T _ {+} = T _ {-}}$

${\ displaystyle F _ {\ overline {z}} = 0.}$

Отсюда по эллиптической регулярности следует, что функция F голоморфна в . ${\ Displaystyle (а, Ь) \ раз (-R, R)}$

В этом случае эллиптическая регулярность может быть выведена непосредственно из того факта, что известно как фундаментальное решение для оператора Коши – Римана . ${\ displaystyle (\ pi z) ^ {- 1}}$ ${\ Displaystyle \ partial / \ partial {\ overline {z}}}$

Используя преобразование Кэли между кругом и действительной линией, этот аргумент можно перефразировать стандартным образом в терминах рядов Фурье и пространств Соболева на окружности. В самом деле, пусть и - голоморфные функции, определенные снаружи и внутри некоторой дуги на единичной окружности так, что локально они имеют радиальные пределы в некотором пространстве Собелева, Тогда, позволяя ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$

${\ Displaystyle D = Z {\ partial \ over \ partial z},}$

уравнения

${\ Displaystyle D ^ {к} F = е, \, \, \, D ^ {k} G = g}$

может быть решена локально таким образом, что радиальные пределы G и F стремятся локально к одной и той же функции в более высоком пространстве Соболева. При достаточно большом k эта сходимость равномерна по теореме вложения Соболева . По аргументам в пользу непрерывных функций, F и G поэтому соединяются, чтобы дать голоморфную функцию около дуги, а значит, и f и g .

Общий случай

Клин является продуктом конуса с некоторым набором.

Позвольте быть открытым конусом в реальном векторном пространстве с вершиной в начале координат. Пусть E - открытое подмножество , называемое ребром. Напишите W для клина в комплексном векторном пространстве и напишите W ' для противоположного клина . Затем два клина W и W ' встречаются на краю E , где мы отождествляем E с произведением E на кончик конуса.${\ displaystyle C}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ displaystyle E \ times iC}$${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$${\ displaystyle E \ times -iC}$

• Предположим, что f - непрерывная функция на объединении , голоморфная на обоих клиньях W и W ' . Тогда теорема о ребре клина говорит, что f также голоморфна на E (точнее, ее можно продолжить до голоморфной функции в окрестности E ).${\ Displaystyle W \ чашка E \ чашка W '}$

Условия истинности теоремы можно ослабить. Необязательно предполагать, что f определено на всех клиньях: достаточно предположить, что оно определено вблизи кромки. Также нет необходимости предполагать, что f определена или непрерывна на ребре: достаточно предположить, что функции, определенные на любом из клиньев, имеют одинаковые граничные значения распределения на ребре.

Приложение к квантовой теории поля

В квантовой теории поля распределения Вайтмана являются граничными значениями функций Вайтмана W ( z ₁ , ...,  z _n ), зависящими от переменных z _i в комплексификации пространства-времени Минковского. Они определены и голоморфны в клине, где мнимая часть каждого z _i - z _{i −1} лежит в открытом положительном времениподобном конусе. Переставляя переменные, мы получаем n ! различные функции Вайтмана, определенные в n ! разные клинья. Применяя теорему о ребре клина (с ребром, заданным набором полностью пространственноподобных точек), можно вывести, что все функции Вайтмана являются аналитическими продолжениями одной и той же голоморфной функции, определенной на связной области, содержащей все n ! клинья. (Равенство граничных значений на краю, необходимое для применения теоремы о краю клина, следует из аксиомы локальности квантовой теории поля.)

Связь с гиперфункциями

Теорема о крае клина имеет естественную интерпретацию на языке гиперфункций . Гиперфункции примерно сумма граничных значений голоморфных функций , а также можно рассматривать как нечто вроде «распределения бесконечного порядка». Набор аналитических волновых фронтов гиперфункции в каждой точке представляет собой конус в котангенсном пространстве этой точки, и его можно рассматривать как описывающий направления, в которых движется сингулярность в этой точке.

В теореме о ребре клина у нас есть распределение (или гиперфункция) f на ребре, заданное как граничные значения двух голоморфных функций на двух клиньях. Если гиперфункция является граничным значением голоморфной функции на клине, то ее аналитическое множество волновых фронтов лежит в двойственном к соответствующему конусу. Таким образом, набор аналитических волновых фронтов f лежит в двойниках двух противоположных конусов. Но пересечение этих двойников пусто, поэтому набор аналитических волновых фронтов f пуст, что означает, что f является аналитическим. Это теорема о краю клина.

В теории гиперфункций есть расширение теоремы о ребре клина на случай, когда имеется несколько клиньев вместо двух, называемое теоремой Мартино о ребре клина . Подробности см. В книге Хёрмандера .

Примечания

использованная литература

• Беренштейн, Карлос А .; Гей, Роджер (1991), Комплексные переменные: введение , Тексты для выпускников по математике, 125 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-0-387-97349-4

дальнейшее чтение

• Боголюбов Н.Н. ; Логунов, АА; Тодоров, ИТ (1975), Введение в аксиоматическую квантовую теорию поля , Серия монографий по математической физике, 18 , Рединг, Массачусетс : В.А. Бенджамин, ISBN 978-0-8053-0982-9, Zbl  1114,81300.
• Боголюбов Н.Н. ; Логунов, АА; Оксак А.И.; ИТ, Тодоров (1990), Общие принципы квантовой теории поля , математической физики и прикладной математики, 10 , Дордрехт - Бостон - Лондон : Kluwer Academic Publishers , ISBN 978-0-7923-0540-8, Zbl  0732,46040

Связь с гиперфункциями описана в:

• Хёрмандер, Ларс (1990), Анализ линейных дифференциальных операторов в частных производных I , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaft, 256 (2-е изд.), Берлин - Гейдельберг - Нью-Йорк : Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-52343-9, Zbl  0712,35001.
• Рудин, Уолтер (1971), Лекции по теореме о ребре клина , Серия региональных конференций CMBS по математике, 6 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-1655-4, Руководство по ремонту  0310288 , Zbl  0214.09001

О применении теоремы о краю клина к квантовой теории поля см .:

• Streater, РФ ; Wightman, AS (2000), PCT, Spin and Statistics, and All That , Princeton Landmarks in Mathematics and Physics (1978 ed.), Princeton, NJ : Princeton University Press , ISBN 978-0-691-07062-9, Zbl  1026,81027

• Владимиров, В.С. (2001) [1994], "Теорема Боголюбова" , Энциклопедия математики , EMS Press