Эффективная масса (система пружина – масса) - Effective mass (spring–mass system)

В реальной системе весна-массовой , то пружина имеет не ничтожную массу . Поскольку не вся длина пружины движется с той же скоростью, что и подвешенная масса , ее кинетическая энергия не равна . Таким образом, ее нельзя просто добавить для определения частоты колебаний, а эффективная масса пружины определяется как масса, которую необходимо добавить, чтобы правильно спрогнозировать поведение системы. ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} мв ^ {2}}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M}$

Идеальная равномерная пружина

Эффективная масса пружины в системе пружина-масса при использовании идеальной пружины с однородной линейной плотностью составляет 1/3 массы пружины и не зависит от направления системы пружина-масса (т. Е. Горизонтальное, вертикальное, и наклонные системы имеют одинаковую эффективную массу). Это связано с тем, что внешнее ускорение не влияет на период движения вокруг точки равновесия.

Эффективную массу пружины можно определить, определив ее кинетическую энергию. Это требует сложения кинетической энергии всех массовых элементов и требует следующего интеграла , где - скорость массового элемента: ${\ displaystyle u}$

${\ displaystyle T = \ int _ {m} {\ tfrac {1} {2}} u ^ {2} \, dm}$

Поскольку пружина однородная,, где - длина пружины. Следовательно, ${\ displaystyle dm = \ left ({\ frac {dy} {L}} \ right) m}$${\ displaystyle L}$

${\ displaystyle T = \ int _ {0} ^ {L} {\ tfrac {1} {2}} u ^ {2} \ left ({\ frac {dy} {L}} \ right) m \!}$

${\ displaystyle = {\ tfrac {1} {2}} {\ frac {m} {L}} \ int _ {0} ^ {L} u ^ {2} \, dy}$

Скорость каждого элемента массы пружины прямо пропорциональна длине от положения, в котором она прикреплена (если рядом с блоком, то скорость больше, а если рядом с потолком, то скорость меньше), т. Е. Откуда следует: ${\ displaystyle u = {\ frac {vy} {L}}}$

${\ displaystyle T = {\ tfrac {1} {2}} {\ frac {m} {L}} \ int _ {0} ^ {L} \ left ({\ frac {vy} {L}} \ right ) ^ {2} \, dy}$

${\ displaystyle = {\ tfrac {1} {2}} {\ frac {m} {L ^ {3}}} v ^ {2} \ int _ {0} ^ {L} y ^ {2} \, dy}$

${\ displaystyle = {\ tfrac {1} {2}} {\ frac {m} {L ^ {3}}} v ^ {2} \ left [{\ frac {y ^ {3}} {3}} \ right] _ {0} ^ {L}}$

${\ displaystyle = {\ tfrac {1} {2}} {\ frac {m} {3}} v ^ {2}}$

По сравнению с ожидаемой исходной формулой кинетической энергии, эффективная масса пружины в этом случае равна m / 3. Используя этот результат, полную энергию системы можно записать в терминах смещения пружины из нерастянутого положения (игнорируя члены постоянного потенциала и принимая направление вверх как положительное): ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} mv ^ {2},}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle T}$(Общая энергия системы)

${\ displaystyle = {\ tfrac {1} {2}} ({\ frac {m} {3}}) \ v ^ {2} + {\ tfrac {1} {2}} Mv ^ {2} + { \ tfrac {1} {2}} kx ^ {2} - {\ tfrac {1} {2}} mgx-Mgx}$

Обратите внимание, что это ускорение свободного падения вдоль пружины. Путем дифференцирования уравнения по времени уравнение движения выглядит следующим образом: ${\ displaystyle g}$

${\ displaystyle \ left ({\ frac {-m} {3}} - M \ right) \ a = kx - {\ tfrac {1} {2}} mg-Mg}$

Точку равновесия можно найти, положив ускорение равным нулю: ${\ displaystyle x _ {\ mathrm {eq}}}$

${\ displaystyle x _ {\ mathrm {eq}} = {\ frac {1} {k}} \ left ({\ tfrac {1} {2}} мг + Mg \ right)}$

Определяя , уравнение движения принимает следующий вид: ${\ displaystyle {\ bar {x}} = x-x _ {\ mathrm {eq}}}$

${\ displaystyle \ left ({\ frac {m} {3}} + M \ right) \ a = -k {\ bar {x}}}$

Это уравнение для простого гармонического осциллятора с периодом:

${\ displaystyle \ tau = 2 \ pi \ left ({\ frac {M + m / 3} {k}} \ right) ^ {1/2}}$

Таким образом, эффективная масса пружины, добавленная к массе груза, дает нам «эффективную общую массу» системы, которую необходимо использовать в стандартной формуле для определения периода колебаний. ${\ displaystyle 2 \ pi \ left ({\ frac {m} {k}} \ right) ^ {1/2}}$

Общий случай

Как было показано выше, эффективная масса пружины не зависит от «внешних» факторов, таких как ускорение свободного падения вдоль нее. Фактически, для неоднородной пружины эффективная масса зависит исключительно от ее линейной плотности по длине: ${\ Displaystyle \ rho (х)}$

${\ displaystyle T = \ int _ {m} {\ tfrac {1} {2}} u ^ {2} \, dm}$

${\ displaystyle = \ int _ {0} ^ {L} {\ tfrac {1} {2}} u ^ {2} \ rho (x) \, dx}$

${\ displaystyle = \ int _ {0} ^ {L} {\ tfrac {1} {2}} \ left ({\ frac {vx} {L}} \ right) ^ {2} \ rho (x) \ , dx}$

${\ displaystyle = {\ tfrac {1} {2}} \ left [\ int _ {0} ^ {L} {\ frac {x ^ {2}} {L ^ {2}}} \ rho (x) \, dx \ right] v ^ {2}}$

Итак, эффективная масса пружины составляет:

${\ displaystyle m _ {\ mathrm {eff}} = \ int _ {0} ^ {L} {\ frac {x ^ {2}} {L ^ {2}}} \ rho (x) \, dx}$

Этот результат также показывает , что с происходит в случае нефизической пружины, масса которой находится чисто в конце , наиболее удаленном от опоры. ${\ Displaystyle м _ {\ mathrm {eff}} \ leq m}$${\ displaystyle m _ {\ mathrm {eff}} = m}$

Настоящая весна

Приведенные выше расчеты предполагают, что коэффициент жесткости пружины не зависит от ее длины. Однако в случае настоящих пружин дело обстоит иначе. При малых значениях смещение не настолько велико, чтобы вызвать упругую деформацию . Дзюн-ичи Уэда и Йоширо Садамото обнаружили, что при увеличении свыше 7 эффективная масса пружины в вертикальной системе пружина-масса становится меньше, чем значение Рэлея, и в конечном итоге достигает отрицательных значений. Такое неожиданное поведение эффективной массы можно объяснить с помощью упругого последействия (которое заключается в том, что пружина не возвращается к своей исходной длине после снятия нагрузки). ${\ displaystyle M / m}$${\ displaystyle M / m}$${\ displaystyle m / 3}$

Приложение

Система пружина-масса может использоваться в самых разных приложениях. Например, его можно использовать для моделирования движений сухожилий человека для компьютерной графики и деформации кожи стопы.

Смотрите также

• Примеры простого гармонического движения (SHM) .
• Уменьшенная масса

использованная литература

внешние ссылки

• http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1405121418180
• http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1509031308350
• https://web.archive.org/web/20110929231207/http://hk.knowledge.yahoo.com/question/article?qid=6908120700201
• https://web.archive.org/web/20080201235717/http://www.goiit.com/posts/list/mechanics-effective-mass-of-spring-40942.htm
• http://www.juen.ac.jp/scien/sadamoto_base/spring.html
• «Эффективная масса колеблющейся пружины» Am. J. Phys., 38, 98 (1970)
• «Эффективная масса колеблющейся пружины» Учитель физики, 45, 100 (2007)