Эластичность замены - Elasticity of substitution

Эластичность замещения - это эластичность отношения двух вводимых ресурсов к производственной функции (или полезности) по отношению к соотношению их предельных продуктов (или полезностей). На конкурентном рынке он измеряет процентное изменение двух используемых ресурсов в ответ на процентное изменение их цен. Он дает меру кривизны изокванты и, таким образом, взаимозаменяемость между входами (или товарами), то есть насколько легко заменить один вход (или товар) другим.

История концепции

Джон Хикс представил эту концепцию в 1932 году. Джоан Робинсон независимо открыла ее в 1933 году, используя математическую формулировку, которая была эквивалентна формулировке Хикса, хотя в то время это не было реализовано.

Определение

Общее определение эластичности X по отношению к Y сводится к бесконечно малым изменениям и дифференцируемым переменным. Эластичность замещения - это изменение соотношения использования двух товаров по отношению к соотношению их предельной стоимости или цен. Чаще всего применяется отношение капитала (K) и труда (L) к соотношению их предельного продукта и / или цены аренды (r) и заработной платы (w). Другое приложение - отношение потребительских товаров 1 и 2 к соотношению их предельных полезностей или их цен. Начнем с приложения потребления. ${\ displaystyle E_ {Y} ^ {X} = {\ frac {\% \ {\ mbox {изменение в X}}} {\% \ {\ mbox {изменение в Y}}}}}$${\ displaystyle E_ {Y} ^ {X} = {\ frac {dX} {dY}} {\ frac {Y} {X}}}$${\ displaystyle MP_ {K}}$${\ displaystyle MP_ {L}}$

Пусть полезность сверх потребления дается выражением and let . Тогда эластичность замещения равна: ${\ Displaystyle U (c_ {1}, c_ {2})}$${\ Displaystyle U_ {c_ {i}} = dU (c_ {1}, c_ {2}) / d {c_ {i}}}$

${\ displaystyle E_ {21} = {\ frac {d \ ln (c_ {2} / c_ {1})} {d \ ln (MRS_ {12})}} = {\ frac {d \ ln (c_ { 2} / c_ {1})} {d \ ln (U_ {c_ {1}} / U_ {c_ {2}})}} = {\ frac {\ frac {d (c_ {2} / c_ {1 })} {c_ {2} / c_ {1}}} {\ frac {d (U_ {c_ {1}} / U_ {c_ {2}})} {U_ {c_ {1}} / U_ {c_ {2}}}}} = {\ frac {\ frac {d (c_ {2} / c_ {1})} {c_ {2} / c_ {1}}} {\ frac {d (p_ {1} / p_ {2})} {p_ {1} / p_ {2}}}}}$

где - предельная норма замещения . Последнее равенство представляет , где - цены товаров 1 и 2. Это соотношение из условия первого порядка для задачи максимизации потребительской полезности во внутреннем равновесии Эрроу – Дебре, где предельные полезности двух товаров пропорциональны ценам. Интуитивно мы смотрим на то, как меняется выбор потребителя в отношении предметов потребления по мере изменения их относительных цен. ${\ displaystyle MRS}$${\ displaystyle MRS_ {12} = p_ {1} / p_ {2}}$${\ displaystyle p_ {1}, p_ {2}}$

Также обратите внимание, что : ${\ displaystyle E_ {21} = E_ {12}}$

${\ displaystyle E_ {21} = {\ frac {d \ ln (c_ {2} / c_ {1})} {d \ ln (U_ {c_ {1}} / U_ {c_ {2}})}} = {\ frac {d \ left (- \ ln (c_ {2} / c_ {1}) \ right)} {d \ left (- \ ln (U_ {c_ {1}} / U_ {c_ {2}) }) \ right)}} = {\ frac {d \ ln (c_ {1} / c_ {2})} {d \ ln (U_ {c_ {2}} / U_ {c_ {1}})}} = E_ {12}}$

Эквивалентная характеристика эластичности замещения:

${\ displaystyle E_ {21} = {\ frac {d \ ln (c_ {2} / c_ {1})} {d \ ln (MRS_ {12})}} = - {\ frac {d \ ln (c_ {2} / c_ {1})} {d \ ln (MRS_ {21})}} = - {\ frac {d \ ln (c_ {2} / c_ {1})} {d \ ln (U_ { c_ {2}} / U_ {c_ {1}})}} = - {\ frac {\ frac {d (c_ {2} / c_ {1})} {c_ {2} / c_ {1}}} {\ frac {d (U_ {c_ {2}} / U_ {c_ {1}})} {U_ {c_ {2}} / U_ {c_ {1}}}}} = - {\ frac {\ frac {d (c_ {2} / c_ {1})} {c_ {2} / c_ {1}}} {\ frac {d (p_ {2} / p_ {1})} {p_ {2} / p_ {1}}}}}$

В моделях с дискретным временем, эластичность замещения потребления в периоды , и известна как эластичность межвременного замещения . ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle t + 1}$

Точно так же, если производственная функция равна, то эластичность замещения равна: ${\ displaystyle f (x_ {1}, x_ {2})}$

${\ displaystyle \ sigma _ {21} = {\ frac {d \ ln (x_ {2} / x_ {1})} {d \ ln MRTS_ {12}}} = {\ frac {d \ ln (x_ { 2} / x_ {1})} {d \ ln ({\ frac {df} {dx_ {1}}} / {\ frac {df} {dx_ {2}}})}} = {\ frac {\ гидроразрыв {d (x_ {2} / x_ {1})} {x_ {2} / x_ {1}}} {\ frac {d ({\ frac {df} {dx_ {1}}} / {\ frac {df} {dx_ {2}}})} {{\ frac {df} {dx_ {1}}} / {\ frac {df} {dx_ {2}}}}}} = - {\ frac {\ гидроразрыв {d (x_ {2} / x_ {1})} {x_ {2} / x_ {1}}} {\ frac {d ({\ frac {df} {dx_ {2}}} / {\ frac {df} {dx_ {1}}})} {{\ frac {df} {dx_ {2}}} / {\ frac {df} {dx_ {1}}}}}}}$

где - предельная скорость технического замещения . ${\ displaystyle MRTS}$

Эластичность замещения, обратная эластичности, - это эластичность дополнительности .

Пример

Рассмотрим производственную функцию Кобба – Дугласа . ${\ displaystyle f (x_ {1}, x_ {2}) = x_ {1} ^ {a} x_ {2} ^ {1-a}}$

Предельная норма технической замены составляет

${\ displaystyle MRTS_ {21} = {\ frac {1-a} {a}} {\ frac {x_ {1}} {x_ {2}}}}$

Обозначения удобно менять. Обозначить

${\ displaystyle {\ frac {1-a} {a}} {\ frac {x_ {1}} {x_ {2}}} = \ theta}$

Переписывая это, мы имеем

${\ displaystyle {\ frac {x_ {1}} {x_ {2}}} = {\ frac {a} {1-a}} \ theta}$

Тогда эластичность замещения равна

${\ displaystyle \ sigma _ {21} = {\ frac {d \ ln ({\ frac {x_ {1}} {x_ {2}}})} {d \ ln (MRTS_ {21})}} = { \ frac {d \ ln ({\ frac {x_ {1}} {x_ {2}}})} {d \ ln (\ theta)}} = {\ frac {d {\ frac {x_ {1}}) {x_ {2}}}} {\ frac {x_ {1}} {x_ {2}}}} {\ frac {\ theta} {d \ theta}} = {\ frac {d {\ frac {x_ {) 1}} {x_ {2}}}} {d \ theta}} {\ frac {\ theta} {\ frac {x_ {1}} {x_ {2}}}} = {\ frac {a} {1 -a}} {\ frac {1-a} {a}} {\ frac {x_ {1}} {x_ {2}}} {\ frac {x_ {2}} {x_ {1}}} = 1 }$

Экономическая интерпретация

Учитывая исходное распределение / комбинацию и конкретную замену при распределении / комбинации для исходного, чем больше величина эластичности замещения (предельная степень эластичности замещения относительного распределения), тем выше вероятность замещения. У рынка всегда есть 2 стороны; здесь мы говорим о получателе, поскольку эластичность предпочтений - это эластичность предпочтения получателя.

Эластичность замещения также определяет, как изменяются относительные расходы на товары или вводимые факторы при изменении относительных цен. Пусть обозначают расходы по сравнению с , что на . То есть: ${\ displaystyle S_ {21}}$${\ displaystyle c_ {2}}$${\ displaystyle c_ {1}}$

${\ Displaystyle S_ {21} \ Equiv {\ frac {p_ {2} c_ {2}} {p_ {1} c_ {1}}}}$

При изменении относительной цены относительные расходы изменяются в зависимости от: ${\ displaystyle p_ {2} / p_ {1}}$

${\ displaystyle {\ frac {dS_ {21}} {d \ left (p_ {2} / p_ {1} \ right)}} = {\ frac {c_ {2}} {c_ {1}}} + { \ frac {p_ {2}} {p_ {1}}} \ cdot {\ frac {d \ left (c_ {2} / c_ {1} \ right)} {d \ left (p_ {2} / p_ { 1} \ right)}} = {\ frac {c_ {2}} {c_ {1}}} \ left [1 + {\ frac {d \ left (c_ {2} / c_ {1} \ right)} {d \ left (p_ {2} / p_ {1} \ right)}} \ cdot {\ frac {p_ {2} / p_ {1}} {c_ {2} / c_ {1}}} \ right] = {\ frac {c_ {2}} {c_ {1}}} \ left (1-E_ {21} \ right)}$

Таким образом, приводит ли увеличение относительной цены к увеличению или уменьшению относительных расходов на, зависит от того, является ли эластичность замещения меньше или больше единицы. ${\ displaystyle c_ {2}}$${\ displaystyle c_ {2}}$

Интуитивно понятно, что прямым следствием повышения относительной цены является увеличение расходов на , поскольку данное количество является более дорогостоящим. С другой стороны, если предположить, что рассматриваемые товары не являются товарами Гиффена , повышение относительной цены на них ведет к падению относительного спроса на них , так что количество покупаемых товаров падает, что снижает расходы на . ${\ displaystyle c_ {2}}$${\ displaystyle c_ {2}}$${\ displaystyle c_ {2}}$${\ displaystyle c_ {2}}$${\ displaystyle c_ {2}}$${\ displaystyle c_ {2}}$${\ displaystyle c_ {2}}$

Какой из этих эффектов преобладает, зависит от величины эластичности замещения. Когда эластичность замещения меньше единицы, преобладает первый эффект: относительный спрос на него падает, но пропорционально меньше, чем рост его относительной цены, так что относительные расходы возрастают. В этом случае товары являются брутто-дополнениями . ${\ displaystyle c_ {2}}$

И наоборот, когда эластичность замещения больше единицы, преобладает второй эффект: сокращение относительного количества превышает увеличение относительной цены, так что относительные расходы на продукцию падают. В этом случае товары являются валовыми заменителями . ${\ displaystyle c_ {2}}$

Обратите внимание, что когда эластичность замещения равна единице (как в случае Кобба – Дугласа), расходы по отношению к не зависят от относительных цен. ${\ displaystyle c_ {2}}$${\ displaystyle c_ {1}}$

Смотрите также

• Постоянная эластичность замещения
• Предельная ставка технического замещения

Примечания

использованная литература

• Хикс, младший (1932). Теория заработной платы . Макмиллан. Впервые определился там.
• Мас-Колелл, Андреу ; Уинстон; Зеленый (2007). Микроэкономическая теория . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0195073409.
• Вариан, Хэл (1992). Микроэкономический анализ (3-е изд.). WW Norton & Company . ISBN 978-0-393-95735-8.
• Кламп, Райнер; Макадам, Питер; Уиллман, Альпо (2007). «Факторное замещение и технический прогресс, увеличивающий фактор в Соединенных Штатах: Нормализованный системный подход на стороне предложения». Обзор экономики и статистики . 89 (1): 183–192. DOI : 10.1162 / rest.89.1.183 . S2CID  57570638 .

внешние ссылки

• Эластичность замещения , Гонсало Л. Фонсекка, эссе, Новая школа социальных исследований .